我們知道, 每個(gè)物理量都有自己所屬的量綱, 在通常情況下, 人們選定幾個(gè)基本的物理量的量綱作為基礎(chǔ), 那么其他的物理量的量綱都有這些基本的物理量的量綱所導(dǎo)出.
常用的基本物理量有如下七個(gè):
- 長度、
- 質(zhì)量、
- 時(shí)間急但、
- 電流赫段、
- 熱力學(xué)溫度da
- 物質(zhì)的量融师、
- 發(fā)光強(qiáng)度
通常人們對這些物理量會(huì)進(jìn)行描述, 為了有一個(gè)公共的語言, 從而避免像通天塔故事里面一樣大家語言不通, 人們商量了一下, 選定了一些國際標(biāo)準(zhǔn)單位.于是我們就見到了下表.
| 基本物理量名稱 | 量綱 | 國際標(biāo)準(zhǔn)單位名稱 | 中文單位名稱 |
|---|---|---|---|
| 長度 | L | m(meter) | 米 |
| 質(zhì)量 | M | kg(kilogram) | 千克 |
| 時(shí)間 | T | s(second) | 秒 |
| 電流 | I | A(ampere) | 安 |
| 熱力學(xué)溫度 | K | K(Kelvin) | 開 |
| 物質(zhì)的量 | N | mol (mole) | 摩 |
| 發(fā)光強(qiáng)度 | J | cd(candela) | 坎 |
基本物理量的量綱及SI 單位
別下看這一個(gè)分析, 如果我們承認(rèn)一些基本的事實(shí),
定理: 兩個(gè)物理量可以相加當(dāng)且僅當(dāng)其具有相同的量綱.
定理: 任何物理量的量綱式都是基本量綱的冪次的單項(xiàng)式的形式.
于是我們就可以考慮基本量綱來描述物理量的本領(lǐng)了.
定義: 設(shè) 是一組給定的物理量, 如果存在一組不全為零的實(shí)數(shù) , 使得
是無量綱的, 則我們稱 是量綱相關(guān)的, 否則就稱 是量綱無關(guān)的.
一個(gè)量是無量綱的,當(dāng)且僅當(dāng)其是一個(gè)常數(shù), 因此可以想象, 量綱相關(guān)與線性空間的元素線性相關(guān)本質(zhì)是一回事.
定義: 設(shè) 是一組給定的物理量, 如果存在 , 使得
是無量綱的, 則我們稱物理量 可被物理量 量綱表出.
注意到上面方程在本質(zhì)上就是
這也就是為什么稱物理量 可被物理量 量綱表出的原因.
當(dāng)然, 這一切都還沒有真正的神奇, 神奇的是美國物理學(xué)家 Edgar Buckingham (July 8, 1867 – April 29, 1940 ) 于1914 年發(fā)表了一個(gè)關(guān)于量綱分析的如下定理, 由于 Edgar Buckingham 的論文中的無量綱量用希臘大寫字母 表示, 因此在1922 年美國學(xué)者 P.W.Bridgman 將其命名為 Buckingham 定理.
定理 (Buckingham 定理): 設(shè)某個(gè)物理現(xiàn)象中的物理量 的關(guān)系由如下方程
所刻畫, 不妨設(shè) 是 中一組極大量綱無關(guān)租, 則其余的物理量 的關(guān)系式可以化成只聯(lián)系 個(gè)無量綱量 的方程
其中
是無量綱量.
下面我們來看這個(gè)定理的精彩的妙用.
例 1. 估計(jì)一人通常的走路速度.
事實(shí)上, 一個(gè)人通常的走路速度與很多因素有關(guān), 這種問題丟給數(shù)學(xué)家, 在嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)家眼里, 他不算個(gè)三天三夜才怪, 當(dāng)然, 他也可能會(huì)給出一個(gè)看起來讓人害怕的模型. 不過在物理學(xué)家眼里, 呵呵, 你不用想那么復(fù)雜, 想想走路跟什么有關(guān), 當(dāng)然跟腿長有關(guān), 于是在物理學(xué)家眼里有了一個(gè)物理量, 腿長, 還很什么東西有關(guān)呢, 仔細(xì)思考你會(huì)發(fā)現(xiàn), 跟重力場有關(guān), 沒有重力你當(dāng)然在地上是無法行走的, 當(dāng)然, 細(xì)致的人當(dāng)然會(huì)說還跟空氣阻力有關(guān), 還跟地面的情況有關(guān), 等等,不過物理學(xué)家才不管你所考慮的那些, 現(xiàn)在他得到了三個(gè)物理量, 速度 , 腿長 , 還有重力加速度 .
各自分析其量綱如下
于是物理學(xué)家開心極了, 連小學(xué)生都能看到的關(guān)系是
于是物理學(xué)家就下斷言了,
其中 是某個(gè)實(shí)數(shù). 你還真別不服氣, 下面物理學(xué)家就開始計(jì)算了, 取 , 一個(gè)人的腿長通常是 1 米左右, 于是 , 通常取 , 還小數(shù), 太麻煩,干脆取 , 于是
你還別說, 在基本上就是一個(gè)普通人的正常走路速度, 關(guān)鍵的是物理學(xué)家這一通操作猛如虎, 居然還告訴我們, 如果重力加速度小的話, 走路的速度是要減小的, 事實(shí), 在月球上的行走還真是如此. 因此不能不嘆服, 這真是物理學(xué)家的騷操作.
也許有人會(huì)說, 這種數(shù)學(xué)模型其實(shí)是半定量的, 要想完全定量還是有困難, 其實(shí)不然, 在得到一個(gè)半定量模型之后, 結(jié)合進(jìn)一的分析,是有可能得到一些精確得定理模型.
下面我們來這方面用法的一個(gè)精彩運(yùn)用.
例 2 : 證明勾股定理.
我們知道, 關(guān)于勾股定理的證法大約已經(jīng)超過 360 種以上了, 然而使用物理學(xué)家這種分析,的確是別開生面.
下面我們來考慮一個(gè)直角三角形 .
比如角 是直角, 我們知道, 對于一個(gè)直角三角形, 其可以完全由斜邊和與斜邊上的一個(gè)角完全確定, 因此三角形的面積為斜邊與斜邊上的一個(gè)角的函數(shù), 不妨設(shè)對直角三角形 分析, 記 的面積為 , 其函數(shù)為, 也就有
現(xiàn)在我們來考慮其量綱, 于是有
注意到 是無量綱的量, 因此
其 是 的函數(shù), 并且 . 當(dāng)然我們類似可以分析直角三角形 和 直角三角形 ,自然有
注意到
也就是 , 兩邊除以 也就得到
我還能說什么呢, 收下我的膝蓋吧.
