第二講數(shù)列極限

極限流炕，從通俗直觀的意義上講澎现，是一個(gè)無(wú)限趨近的過程
數(shù)列極限證明“三部曲”：證明 $\lim_{n\to\infty}X_n=a$

寫出距離 $|X_n-a|\lt\epsilon$
反解出 $n\gt g(\varepsilon)$
取 $N=[g(\varepsilon)]+1,(n\gt N)$

用定義證明 $\lim_{n\to\infty}q^n=0,|q|\lt 1$
第一步，寫距離： $|q^n-0|\lt\varepsilon$ 每辟，(不妨設(shè) $\varepsilon\lt 1$ )
第二步剑辫，反推n， $|q^n|\lt\varepsilon\Rightarrow\ln|q^n|<\ln\varepsilon\Rightarrow n\ln|q|<\ln\varepsilon$ 渠欺，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cln%7Cq%7C%5Clt%200" alt="\ln|q|\lt 0" mathimg="1">妹蔽，所以得 $n\gt\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}$
第三步，取 $N=[\frac{\ln\varepsilon}{\\ln|q|}]+1$
故挠将， $\forall\varepsilon\gt 0$ 胳岂，當(dāng) $n\gt N$ 時(shí)就有 $n\gt\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}$ ，都有 $|q^n-0|\lt\varepsilon$ 舔稀，所以 $\lim_{n\to\infty}q^n=0$

這一講涉及5個(gè)考點(diǎn)

第一個(gè)考點(diǎn)

用數(shù)列極限的定義來(lái)解決求極限或證明極限存在的問題乳丰，即定義法解決數(shù)列極限問題
ε-N語(yǔ)言： $\lim_{n\to\infty}X_n=a\iff\forall \varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0$ ，當(dāng) $n\gt N$ 時(shí)内贮，恒有 $|X_n-a|\lt\varepsilon$

$\color{red}{經(jīng)典例題}$
證明：若 $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ 产园，則 $\lim_{n\to\infty}|a_n|=|A|$
由數(shù)列極限得： $\lim_{n\to\infty}a_n=A\iff\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0\to\forall n\gt N,|a_n-A|\lt\varepsilon$
又有不等式 $||a|-|b||\le |a-b|$
所以 $\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0\to\forall n\gt N,||a_n|-|A||\le |a_n-A|<\varepsilon$
證畢.
結(jié)論：
1，此題結(jié)論反之不成立(反例： $\lim_{n\to\infty}|(-1)^n|=1,\lim_{n\to\infty}(-1)^n 不\exists$ )
2夜郁，如果A=0淆两，那么 $||a_n|-|A||=|a_n-A|$ 所以， $\lim_{n\to\infty}a_n=0\iff\lim_{n\to\infty}|a_n|=0$

$\color{red}{結(jié)論2的應(yīng)用}$ 拂酣，使用夾逼準(zhǔn)則證明數(shù)列極限( $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ )的時(shí)候，需要找到 $B_n\le A_n\le C_n$ 仲义，然后證明 $\lim_{n\to\infty}b_n=A,\lim_{n\to\infty}c_n=A$ 婶熬，但是當(dāng)A=0的時(shí)候，由上面的結(jié)論埃撵，可以直接把夾逼準(zhǔn)則寫成 $0\le |A_n|\le C_n$ 赵颅，從而只需要計(jì)算數(shù)列 $C_n$ 的極限

數(shù)列收斂與子數(shù)列收斂的關(guān)系：
定理：若數(shù)列{ $a_n$ }收斂，則其任何子數(shù)列{ $a_{n_k}$ }也收斂且 $\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=\lim_{n\to\infty}a_n$

判斷數(shù)列發(fā)散：由上面的定理可以推知判斷數(shù)列發(fā)散的方法暂刘，對(duì)于一個(gè)數(shù)列饺谬，如果存在一個(gè)子數(shù)列是發(fā)散的，那么原數(shù)列也是發(fā)散的谣拣；如果能找到兩個(gè)收斂的子數(shù)列募寨，但他們收斂到不同的極限，那么原數(shù)列也是發(fā)散的森缠。

例題：
證明數(shù)列{ $n^{(-1)^n}$ }極限不存在
分析數(shù)列: $n^{(-1)^n}=\begin{cases}\frac{1}{2n-1}\\2n\end{cases}$
取原數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為子數(shù)列拔鹰，則 $\lim_{n\to\infty}2n=+\infty$ ，這個(gè)子數(shù)列是發(fā)散的贵涵，所以原數(shù)列也是發(fā)散的
證畢.

第二個(gè)考點(diǎn)

用數(shù)列極限的性質(zhì)來(lái)解決數(shù)列極限問題
數(shù)列收斂的性質(zhì)： $\begin{cases}唯一性\\有界性\\保號(hào)性\end{cases}$

數(shù)列極限的保號(hào)性是說列肢，如果數(shù)列存在一個(gè)極限恰画，如果這個(gè)極限值大于0（或者小于0），則存在正整數(shù)N瓷马，當(dāng)n>N時(shí)拴还，有 $a_n>0(or\space a_n<0)$ ，
也稱之為脫帽法： $\forall b,\lim_{n\to\infty}a_n=a\gt b\Rightarrow a_n\gt b(n\gt N)$
根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可以得到一個(gè)推論：
如果數(shù)列{ $a_n$ }從某項(xiàng)開始有 $a_n\ge 0$ 欧聘，且 $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ 片林，則 $a_n\ge 0$
也稱之為戴帽法： $\forall b,a_n\ge b,\lim_{n\to\infty}a_n=a\Rightarrow a\ge b$

第三個(gè)考點(diǎn)

用運(yùn)算規(guī)則來(lái)解決數(shù)列極限問題
極限的運(yùn)算法則，若 $\lim_{n\to\infty}x_n=a,\lim_{n\to\infty}y_n=b$ 則树瞭，
$\lim_{n\to\infty}(x\pm y)=a\pm b$
$\lim_{n\to\infty}(x\cdot y)=a\cdot b$
若 $a\ne 0,b\ne 0$ 拇厢，則 $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}$

例題：
$\lim_{n\to\infty}{a_n+b_n}=1,\lim_{n\to\infty}{a_n-b_n}=3$ 晒喷，計(jì)算 $\lim_{n\to\infty}a_n,\lim_{n\to\infty}b_n$
$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n+a_n-b_n)=2\lim_{n\to\infty}a_n=4$
$\lim_{n\to\infty}a_n=2$
$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n-a_n+b_n)=2\lim_{n\to\infty}b_n=-2$
$\lim_{n\to\infty}b_n=-1$

第四個(gè)考點(diǎn)

用夾逼準(zhǔn)則來(lái)解決數(shù)列極限問題( $\color{red}{重要等級(jí)一顆星}$ )
夾逼準(zhǔn)則：如果數(shù)列{ $x_n$ }孝偎，{ $y_n$ }以及{ $z_n$ }滿足，1. $\forall n,y_n\le x_n\le z_n$ 凉敲，2. $\lim_{n\to\infty}y_n=a,\lim_{n\to\infty}z_n=a$ 衣盾，則 $\lim_{n\to\infty}x_n=a$
需要注意的是， $x_n,y_n,z_n$ 之間的等號(hào)關(guān)系不必滿足等號(hào)關(guān)系

例題：( $\color{red}{只動(dòng)分母爷抓，不動(dòng)分子}$ )
求極限 $\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n+n})$
$\frac{\sum_{i=1}^ni}{n^2+2n}<\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2+n+i}<\frac{\sum_{i=1}^ni}{n^2+n+1}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^ni}{n^2+2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2(n^2+2n)}=\frac{1}{2}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^ni}{n^2+n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2(n^2+n+1)}=\frac{1}{2}$
$\therefore\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2+n+i}=\frac{1}{2}$

第五個(gè)考點(diǎn)

用單調(diào)有界準(zhǔn)則來(lái)解決數(shù)列極限問題( $\color{red}{重要等級(jí)三顆星势决，壓軸題考點(diǎn)}$ )
單調(diào)有界數(shù)列必有極限
單調(diào)： $X_{n+1}-X_n\le 0?$ 或者 $\frac{X_{n+1}}{X_n}\le1?$ （同號(hào)的情況下）
有界： $X_n\le M$ 或者 $X_n\ge M$

例題：
( $\color{red}{見到遞推式a_{n+1}=f(a_n)一般用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限}$ )
設(shè)數(shù)列{ $a_n$ }滿足 $a_1=a(a\gt 0),a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})$ ，證明極限 $\lim_{n\to\infty}a_n$ 存在并求其值
由其遞推式可以發(fā)現(xiàn)蓝撇， $\forall n,a_n\gt 0$
$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})\ge\sqrt{a_n\cdot\frac{2}{a_n}}=\sqrt{2}$
故{ $a_n$ }有下界
$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{a_n}-a_n=\frac{2-(a_n)^2}{2a_n}\le 0$
故{ $a_n$ }單調(diào)遞減
故數(shù)列{ $a_n$ }存在極限值果复，設(shè) $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ 則
$A=\frac{1}{2}(A+\frac{2}{A})$
$A^2=2$
$A=\pm\sqrt{2}$
由數(shù)列極限的保號(hào)性可得 $A=\sqrt{2}$ ，故
$\lim_{n\to\infty}a_n=A$

$\color{red}{經(jīng)典真題}$
設(shè)數(shù)列{ $x_n$ }滿足 $0\lt x_1\lt \pi,x_{n+1}=\sin x_n(n=1,2,\cdots)$ 渤昌，證明 $\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在虽抄，并求出這個(gè)值
$x_2=\sin x_1<x_1<\pi$
$\because 0\lt x_1\lt\pi$
$\therefore x_2=\sin x_1,0\lt x_2$
假設(shè) $0\lt x_n=\sin x_{n-1}<\pi$
則 $x_{n+1}=\sin x_n$
所以 $0\lt x_{n+1}\lt \pi$
$x_{n+1}=\sin x_n<x_n$
故數(shù)列{ $x_n$ }單調(diào)遞減有下界，所以極限存在記為A独柑，則
$A=\sin A$
有函數(shù)圖像可知A=0
故 $\lim_{n\to\infty}x_n=0$

直接計(jì)算法
當(dāng)涉及二階遞推式的時(shí)候迈窟，需要靈活運(yùn)用恒等變形然后再做計(jì)算

例題：
設(shè)數(shù)列{ $a_n$ }滿足 $a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$
(1)證明 $a_{n+1}-a_n=(-\frac{1}{2})^n,n=1,2,\cdots$
先變形：
$2a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$
$2a_{n+1}-2a_n=a_n+a_{n-1}-2a_n$
$2(a_{n+1}-a_n)=-(a_n-a_{n-1})$
$a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{2}(a_n-a_{n-1})$
令{ $b_n$ }= $a_n-a_{n-1}$
則數(shù)列{ $b_n$ }是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為 $\frac{-1}{2}$ 的等比數(shù)列
所以 $a_{n+1}-a_n=b_{n+1}=(-\frac{1}{2})^n$
(2)求 $\lim_{n\to\infty}a_n$
$a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n_2})+\cdots+(a_1-a_0)+a_0$
$a_n=b_n+b_{n-1}+\cdots+b_1+0=\frac{2}{3}[1-(-\frac{1}{2})^n]$
$\therefore \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{3}$

最后編輯于：2020.05.03 22:21:04

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