單位階躍信號、單位沖激信號的定義與關系

本文介紹了單位階躍信號、單位沖激信號分別在離散和連續(xù)下的定義及關系

1 離散時間

1. 1 單位階躍信號

數(shù)學表達式

u[n] = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, n \geqslant 0 & \\ 0, n < 0 & \end{array} \right. \end{equation}

1. 2 單位沖激信號

數(shù)學表達式

\delta[n] = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, n = 0 & \\ 0, n \neq 0 & \end{array} \right. \end{equation}

1.3 兩者關系

一階差分(First Diference)

\delta[n] = u[n] - u[n-1]

累加和(Running Sum)

u[n] = \sum_{m=0}^{\infty}{\delta[n-m]}

2 連續(xù)時間

2. 1 單位階躍信號

u(t) = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 1, t \geqslant 0 & \\ 0, t < 0 & \end{array} \right. \end{equation}

2. 2 單位沖激信號

連續(xù)時間下挎挖,單位沖激信號被定義為單位階躍信號的導數(shù)。實際上在t=0處,u(t)是不連續(xù)的航夺,自然也就是不可導的蕉朵。這里采用了一個近似的處理,具體原理這里不做敘述阳掐。

\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}

所得單位沖激信號是在t=0初始衅,寬度為0、高度為+\infty缭保、面積為1汛闸。其余處均為0的連續(xù)時間信號

2.3 兩者關系

一階導數(shù)

\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}

積分

u(t) = \int_\infty^t{\delta(x)dx}

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