數(shù)字圖像處理——圖像插值
網(wǎng)上有很多介紹插值算法的，但感覺收獲都不大
簡(jiǎn)書的編譯器可能有點(diǎn)問(wèn)題tex公式在預(yù)覽模式公式可以顯示，從主頁(yè)瀏覽就顯示不出來(lái)卫键，都換了圖片
介紹三種圖像插值算法：最近鄰內(nèi)插，雙線性內(nèi)插虱朵，雙三次內(nèi)插（雙立方內(nèi)插）
1.數(shù)學(xué)原理
1.1線性插值
線性插值是指插值函數(shù)為一次多項(xiàng)式的插值方式莉炉，在已知原函數(shù)上兩點(diǎn)的情況下，用線性函數(shù)擬合原函數(shù)(應(yīng)該還有很多用途)碴犬。假設(shè)擬合的線性函數(shù)為
將已知兩點(diǎn)坐標(biāo)帶入絮宁，滿足上式的解為則線性擬合函數(shù)為
對(duì)兩點(diǎn)的坐標(biāo)做一個(gè)線性變化得到的表達(dá)式為
1.2三次插值（立方插值）
三次插值即用三階多項(xiàng)式擬合原函數(shù)（也應(yīng)該有其他用途）。假設(shè)三次擬合函數(shù)為
若我們可以得到原函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)信息服协，那么只需要兩點(diǎn)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)信息就可求解擬合函數(shù)绍昂。當(dāng)不能得到一階導(dǎo)數(shù)信息時(shí)，需要至少用四點(diǎn)坐標(biāo)值求解擬合函數(shù)偿荷。
為了方便計(jì)算窘游，在采樣時(shí)可以選擇等間隔采樣，進(jìn)行線性變化后跳纳，將橫坐標(biāo)變?yōu)?div id="iplhhbg" class="image-package">
將已知四點(diǎn)坐標(biāo)帶入忍饰，得到
不妨將上式表示為
其中
這里還有另一種三次內(nèi)插的方式，就是利用兩點(diǎn)之間的斜率來(lái)替代導(dǎo)數(shù)信息寺庄，根據(jù)兩點(diǎn)的函數(shù)以及一階導(dǎo)數(shù)值（指上一句話計(jì)算出的斜率）列一組方程解出擬合的方程艾蓝。
2.程序設(shè)計(jì)思路
2.1坐標(biāo)預(yù)處理
2.1.1坐標(biāo)映射
在matlab中力崇，圖像被定義為一個(gè)三維向量，若不考慮圖像的通道數(shù)赢织，可以將圖像看作一個(gè)二維矩陣處理餐曹。matlab圖像矩陣中坐標(biāo)值映射到二維坐標(biāo)系中，每一個(gè)像素塊對(duì)應(yīng)的是一個(gè)點(diǎn)，但實(shí)際的像素塊是有一定尺寸的。
為了保證圖像縮放時(shí)的相對(duì)位置不變换途，選取圖像左上角頂點(diǎn)為原點(diǎn)捉兴，每個(gè)像素塊中心坐標(biāo)為像素的坐標(biāo)，那么matlab中像素點(diǎn)坐標(biāo)映射到坐標(biāo)系中時(shí)，需要減去一個(gè)偏移量
在將縮放后的照片矩陣坐標(biāo)映射回原照片矩陣坐標(biāo)時(shí)，需要滿足如下關(guān)系
根據(jù)映射回原圖片矩陣的坐標(biāo)進(jìn)行插值操作。
2.1.2局部坐標(biāo)系
在進(jìn)行雙線性插值和雙三次插值時(shí)休讳，需要用坐標(biāo)值擬合函數(shù)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算尿孔，總是選取)
作為局部坐標(biāo)系原點(diǎn)俊柔，其中)
為待插值坐標(biāo)。
2.2邊框處理
在進(jìn)行雙線性內(nèi)插放大和雙立方內(nèi)插縮放是活合，需要用到的像素塊超出了圖像的邊界雏婶，即
當(dāng)出現(xiàn)這些情況時(shí)，補(bǔ)充這些像素的灰度值為圖像內(nèi)最相鄰像素塊的灰度值白指。
2.3最近鄰內(nèi)插
進(jìn)行坐標(biāo)變換后留晚，選取與內(nèi)插點(diǎn)歐式距離最近的像素值進(jìn)行插值。在程序中告嘲，使用將按照四舍五入的舍入方式選取最近鄰的像素塊错维。
2.4雙線性內(nèi)插
雙線性內(nèi)插是線性內(nèi)插的二維實(shí)現(xiàn)，在x維度先進(jìn)行線性插值橄唬，再由得到的值對(duì)y維度進(jìn)行插值赋焕。在局部坐標(biāo)系中，選取相鄰的四個(gè)像素進(jìn)行雙線性內(nèi)插仰楚。由在數(shù)學(xué)原理中的推導(dǎo)可知
將上式合并可得
當(dāng)然隆判，也可以跳過(guò)分析的步驟，直接求解雙線性擬合方程的系數(shù)缸血。設(shè)方程為
將四點(diǎn)與相應(yīng)的坐標(biāo)對(duì)帶入求解方程組蜜氨，所得結(jié)果相同械筛。
2.5雙立方內(nèi)插
雙三次內(nèi)插是三次插值的二維實(shí)現(xiàn)捎泻。選取與相鄰的16個(gè)像素進(jìn)行雙三次內(nèi)插，局部坐標(biāo)系中x與y坐標(biāo)范圍均為![[-1,0,1,2]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B-1%2C0%2C1%2C2%5D)
埋哟。由數(shù)學(xué)原理中的推到可知
其中
將上述幾式合并笆豁，可得(有點(diǎn)復(fù)雜郎汪，不過(guò)比矩陣求逆快多了，這個(gè)結(jié)果的推導(dǎo)我是用matlab的)
與雙線性插值相似闯狱，雙三次插值也可以直接求解擬合方程的系數(shù)煞赢。設(shè)擬合的方程為
將16各坐標(biāo)對(duì)與灰度值帶入方程，求解方程組可以得到的系數(shù)解為
將系數(shù)帶入哄孤，可得到與之前相同的結(jié)果
根據(jù)上述公式對(duì)圖像進(jìn)行雙三次內(nèi)插照筑。
3.實(shí)戰(zhàn)結(jié)果
對(duì)比三種插值方式得到的圖像，可以看出雙立方內(nèi)插效果最好瘦陈，雙線性內(nèi)插次之凝危，最近鄰內(nèi)插最差。lena圖像中對(duì)比帽子中的紋理可以得出最近鄰帽子紋理有許多馬塞克和斷層晨逝，雙線性的紋理更平滑蛾默，雙立方中帽子的紋理比起雙線性更銳化。放大圖像中比較瞳孔與眼白之間的區(qū)域可以看出捉貌，最近鄰的馬賽克現(xiàn)象很嚴(yán)重支鸡，雙線性也有一些馬賽克現(xiàn)象，雙立方的邊緣很平滑趁窃，在不放大的情況下幾乎看不出馬賽克現(xiàn)象牧挣。
cameraman縮小圖像中對(duì)比機(jī)架和人耳部分，可以看出雙立方內(nèi)插效果最好醒陆，雙線性內(nèi)插次之浸踩，最近鄰內(nèi)插最差。但是對(duì)于人臉部分和相機(jī)機(jī)身部分之類細(xì)節(jié)比較多的地方统求，由于圖像縮小的原因检碗，像素塊減少，三種內(nèi)插方法都比較模糊码邻。放大圖像中比較機(jī)架與人身體的邊緣可以看出折剃，最近鄰的鋸齒現(xiàn)象很嚴(yán)重，雙線性也有一些鋸齒現(xiàn)象像屋，雙立方的邊緣很平滑怕犁，在不放大的情況下幾乎看不出鋸齒現(xiàn)象。
building縮小圖像中對(duì)比屋頂紋理和牌樓圖案部分己莺，可以看出雙立方內(nèi)插效果最好并保留了更多的邊緣和細(xì)節(jié)的部分奏甫，雙線性內(nèi)插次之，最近鄰內(nèi)插最差凌受。但是整體上來(lái)看阵子，雙線性內(nèi)插與雙立方內(nèi)插區(qū)別并不大，原圖的細(xì)節(jié)過(guò)多胜蛉，這幾種方法都沒能很好保留原圖的細(xì)節(jié)挠进。放大圖像中可以很明顯的看出雙立方插值的優(yōu)勢(shì)色乾，線條的輪廓邊緣更細(xì)致。
4.結(jié)論
4.1最近鄰插值法
最近鄰插值法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量很小领突，運(yùn)算速度較快暖璧。但它僅使用離待測(cè)采樣點(diǎn)最近的像素的灰度值作為該采樣點(diǎn)的灰度值，而沒考慮其他相鄰像素點(diǎn)的影響君旦，因而重新采樣后灰度值有明顯的不連續(xù)性澎办，會(huì)產(chǎn)生明顯的馬賽克和鋸齒現(xiàn)象。
4.2雙線性插值法
雙線性插值法效果要好于最近鄰插值金砍，計(jì)算量較大浮驳。縮放后圖像質(zhì)量高捞魁，基本克服了最近鄰插值灰度值不連續(xù)的特點(diǎn)至会，因?yàn)樗紤]了待測(cè)采樣點(diǎn)周圍四個(gè)直接鄰點(diǎn)對(duì)該采樣點(diǎn)的相關(guān)性影響。但是谱俭，此方法未考慮到各鄰點(diǎn)間灰度值變化率的影響, 具有低通濾波器的性質(zhì), 從而導(dǎo)致縮放后圖像的高頻分量受到損失, 圖像邊緣在一定程度上變得較為模糊奉件，丟失了一些細(xì)節(jié)信息。
4.3雙立方插值法
雙立方插值計(jì)算量最大昆著，運(yùn)算速度慢县貌。雙立方插值用三階函數(shù)逼近，不僅考慮到周圍四個(gè)直接相鄰像素點(diǎn)灰度值的影響凑懂，還考慮到它們灰度值變化率的影響煤痕，能夠產(chǎn)生比雙線性插值更為平滑的邊緣，計(jì)算精度很高接谨，處理后的圖像細(xì)節(jié)損失最少摆碉，效果最佳。
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