聲明：本套試題的填空題和計(jì)算題第二題的第二種解法解析是本人自己做的，? 其他的答案來(lái)自原題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請(qǐng)及時(shí)給我留言，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)表明出處。感謝所有提出意見和建議晌块，以及幫助過我的朋友。如果覺得還行帅霜，歡迎點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)匆背，謝謝！

????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 第一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)課程

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （共40 分）

一身冀、用邏輯符號(hào)表達(dá)下列語(yǔ)句（每小題2 分靠汁，共4 分）

1. 貓必捕鼠蜂大。

解：設(shè) C(x): x 是貓；M( y): y 是老鼠蝶怔；S(x, y)：x 捕 y奶浦。原句可形式化：

評(píng)分說明：設(shè)的符號(hào)形式可以不同，但必須設(shè) 3 項(xiàng)踢星。如缺少設(shè)置或邏輯符號(hào)使用有錯(cuò)

誤則只給 1 分（如 S(x, y)之前用的是∧）澳叉。

2. 任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)之間必存在另一個(gè)實(shí)數(shù)。

解：設(shè) R(x)：x 是實(shí)數(shù)沐悦，則原句可形式化為：

（1）

或設(shè) R(x)：x 是實(shí)數(shù)成洗；N(x, y)：x≠y；G(x, z, y): x<z<y, 則原句可形式化為：

（2）

評(píng)分說明：形式化結(jié)果不能缺項(xiàng)藏否，如蘊(yùn)含詞前面的部分書寫正確可給 1 分瓶殃，后面的部

分，析取詞兩端的內(nèi)容必須完整副签，否則需扣 1 分遥椿。

二、填空題（每小題2 分淆储，共6 分）

1．設(shè)??是個(gè)?n?頂點(diǎn)(n?為正整數(shù))的完全圖冠场，對(duì)??的每條邊進(jìn)行紅、藍(lán)兩種顏色任意著色本砰，都至少存在一個(gè)紅色邊三角形或藍(lán)色邊三角形碴裙，則最小的?n?是 ( 6 ) 。

解析：考的是鴿巢原理点额，假設(shè)個(gè)頂點(diǎn)还棱，每個(gè)頂點(diǎn)都有n-1條邊载慈，設(shè)每個(gè)點(diǎn)到其他任意點(diǎn)的邊涂成紅色或藍(lán)色即有n-1邊，根據(jù)鴿巢原理诱贿，當(dāng)n=6時(shí)娃肿，n-1=5才能保證與關(guān)聯(lián)的邊中有3條邊同色咕缎，不妨設(shè)這三條邊為 若這三條邊為紅色珠十，當(dāng)之間有一條是紅色，比方,構(gòu)成一個(gè)紅色三角形凭豪，當(dāng)沒有紅邊焙蹭，則構(gòu)成一個(gè)藍(lán)色三角形。得證嫂伞。

2.（0） 孔厉。其中表示從n?個(gè)不同元素中取k?個(gè)的組合數(shù)拯钻。

解析：這個(gè)考的是牛頓二項(xiàng)式的展開式，,當(dāng)x=1時(shí)撰豺，就得到題干了粪般，

3．設(shè)G 是有n??個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖，除其中一個(gè)頂點(diǎn)外污桦，其余頂點(diǎn)的度（次）均為奇數(shù)亩歹。在G 的補(bǔ)圖中有? （ n-1 ）? 個(gè)度為奇數(shù)的頂點(diǎn)。

解析：簡(jiǎn)單圖的補(bǔ)圖合起來(lái)是一個(gè)完全圖凡橱，完全圖的總度數(shù)為偶數(shù)小作，題干中簡(jiǎn)單圖中奇度點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n-1，因此相對(duì)應(yīng)的補(bǔ)圖的奇度點(diǎn)的個(gè)數(shù)也為n-1稼钩。

三顾稀、計(jì)算題（共16 分）

1．（3??分）計(jì)算?xP(x)??→??yP(y)??的否定式。?否定式中僅可使用{?,∨,∧}中的聯(lián)結(jié)詞坝撑，且否定詞“?”不能出現(xiàn)在量詞的前面静秆。

解：記原式為。題目要求計(jì)算┐A绍载。

為書寫簡(jiǎn)便诡宗，設(shè) ， （1）

則原式可化為击儡。

代入式（1） 得到此步的結(jié)果給2分

（根據(jù)題目要求將量詞前面的否定詞挪到后面）

故 的否定式為 塔沃。

2．（5??分）求方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。

解：令 阳谍，則此問題等價(jià)于求滿足方程 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù) ------------------3 分

而 非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)等價(jià)于從 6＋4－1 個(gè)中取出 3 個(gè)的組合數(shù)蛀柴，即 ------------------2 分

評(píng)分說明：如果算出非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù) ,給3分。

這題建議使用母函數(shù)計(jì)算：要求正整數(shù)數(shù)矫夯，即0是整數(shù)鸽疾，但并不是正整數(shù)。正整數(shù)训貌，為大于0的整數(shù)制肮，也是正數(shù)與整數(shù)的交集.這母函數(shù)可以表示為：

則要求滿足4+k = 10，k = 6递沪，此時(shí)系數(shù)為

3．（8??分）設(shè)?n?個(gè)人的包事先存放在會(huì)議寄存處豺鼻，且寄存處只存有這?n?個(gè)包。會(huì)后款慨，這?n?個(gè)人隨機(jī)進(jìn)入這間黑暗的寄存處儒飒，每人隨意取回一個(gè)包。試問所有人都拿錯(cuò)包的概率是多少檩奠？

解：求所有人都拿錯(cuò)包的方法數(shù) 等價(jià)于求 n個(gè)數(shù)1,2,3,...,n? 的錯(cuò)排數(shù)目問題 ----2 分

設(shè) 是第 i 個(gè)人拿回自己包的結(jié)果集合桩了，則取回包的總方法數(shù)為? ,

利用容斥原理附帽，

---------4 分

n 個(gè)人取回包的總方法數(shù)是 n!

故所有人都拿錯(cuò)包的概率是 ?????? ---------2 分

評(píng)分說明：沒有證明過程直接給出 扣 2

四、證明題（共14 分）

1．（5??分）證明自然數(shù)集N??上的整除關(guān)系?R??是?N??上的偏序關(guān)系井誉。

證：需分別證明N上的整除關(guān)系R滿足自反性蕉扮、反對(duì)稱性和傳遞性。

（1）對(duì)任意 n∈N, 顯然有nRn, 故自反性成立颗圣。 -------1分

（2）對(duì)任意 m, n∈N慢显，

若mRn 且 nRm, 則有m≤n 且 n≤m, 從而m =n。故反對(duì)稱性成立欠啤。 -------2分

（3）對(duì)任意 m, n, k∈N,

若mRn 且 nRk, 設(shè)n=pm, k=qn (p, q為自然數(shù))

則k=qn =q(pm) = (qp)m荚藻，從而mRk。 故傳遞性成立洁段。 -------2分

綜合以上（1）,（2）,（3）即得应狱，自然數(shù)集N上的整除關(guān)系R是N上的偏序關(guān)系。證畢祠丝。

2．（4?分）設(shè)?f：A→B疾呻，g：B→C，其中写半，對(duì)于任意的?b∈B岸蜗，g(b)={x|x∈A∧f(x)=b}，證明：當(dāng)?f?為滿射時(shí)叠蝇，g??為單射璃岳。

證：因?yàn)?f 是滿射的，所以對(duì)于任意的b∈B, g(b)≠Φ悔捶。

若g非單射铃慷，必存在b1，b2∈B, 且b1≠b2蜕该，使得g(b1) = g(b2)犁柜。

于是，對(duì)于任意的x堂淡，馋缅，而

， （1）

绢淀， （2）

由（1）萤悴，（2）可知b1=b2，這與b1≠b2矛盾更啄。所以g是單射的稚疹。證畢居灯。

3．（5??分）設(shè)?G?是一個(gè)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為?n（n≥5）祭务、邊數(shù)為?m?的連通平面圖内狗，如果?G?的最小圈的長(zhǎng)度為?5，證明：? 义锥。

證：設(shè)G 的面的個(gè)數(shù)為 f 柳沙。因?yàn)镚的最小圈的長(zhǎng)度為 5，故G的每個(gè)面的度數(shù)（也稱為

‘次數(shù)’）至少為 5拌倍。由于面的度數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍赂鲤，故即

-------2分

將 代入歐拉公式 ，解得 柱恤。 -------3分