1.3 量子力學(xué)中的關(guān)鍵概念 Key concepts in QM

前言

本節(jié)就來介紹一下，量子力學(xué)中用到的關(guān)鍵工具，如波函數(shù)，算符票唆，薛定諤方程。

1. 波函數(shù)的特征

常用表達(dá)式為： $\Psi,\psi(x,y,z,t)$ （變量為：三維坐標(biāo)和時(shí)間t）
波函數(shù)通常是一個(gè)復(fù)數(shù)（下一節(jié)會(huì)介紹強(qiáng)大的復(fù)數(shù)可以用來干什么）
波函數(shù)可以用來描述體系狀態(tài)（也就相當(dāng)于經(jīng)典力學(xué)中的物體運(yùn)動(dòng)方程屹徘，利用波函數(shù)就可以得到物體運(yùn)動(dòng)的速度走趋，動(dòng)量等等信息）
波函數(shù)的平方可以給出粒子存在的概率。

2. 算符（Operators）是什么噪伊？

算符的作用是將波函數(shù) $\psi$ 與可觀測量（如能量）聯(lián)系起來簿煌，起到橋梁作用。

比如 $H(算符) \psi = E(能量)\psi$
算符作用到波函數(shù)等同于能量作用在波函數(shù)上鉴吹，這樣就從矩陣（等式左邊）變成了一個(gè)數(shù)值（等式右邊）姨伟。
ps：看到這里是不是發(fā)現(xiàn)，算符還挺像線性代數(shù) $A·X = \epsilon·X$ 里面的矩陣 $A$ 的豆励。

算符通常用帽子符號 $\hat \Box$ 表示夺荒，如 $\hat{x}\ \hat{y}$
算符的表達(dá)方式： $\hat{x} (\hat{x} 可以簡單表示為“x· ”作用在波函數(shù)上時(shí)，形式是x \cdot \psi(x))$
動(dòng)量算符： $\hat p = - \hbar \frac7vjyx7q{dx}$ (注意： $\hat{p}\psi$ 不能簡單理解成動(dòng)量 $\hat p$ 乘以 $\psi$ 良蒸，而是動(dòng)量作用于 $\psi$ 技扼，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Chat%7Bp%7D" alt="\hat{p}" mathimg="1">只有后面加上 $\psi$ 才有意義:“表示對波函數(shù)求導(dǎo)”。下面為完整的形式：
$\hat p = - \hbar \frac{d \psi}{dx}$

再次強(qiáng)調(diào)俺峡小：算符必須作用在波函數(shù)上才有意義！

3. 薛定諤方程

薛定諤方程當(dāng)然是由薛定諤想到私沮，該方程的產(chǎn)生并沒有物理意義始赎，至少我個(gè)人覺得和 $F=ma$ 相比，我實(shí)在沒法直觀理解它的物理意義仔燕，如果后面理解了造垛，我就把這句話改掉，如果沒改晰搀，就說明......
另外后面筆記2.20介紹線性代數(shù)時(shí)可發(fā)現(xiàn)五辽，該方程非常符合線性代數(shù)的求解習(xí)慣，下面就是一個(gè)典型的薛定諤方程：
$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial{t}}=\hat{H}\psi\\ =(\hat{KE}+\hat V)\psi \\ =-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V(x)\psi$