一、回顧參考

最近在數(shù)學(xué)教研QQ群一位老師發(fā)出的數(shù)學(xué)問(wèn)題（及上圖）撰筷，當(dāng)然不知發(fā)帖人是出于指導(dǎo)角度來(lái)引起大家的注意畦徘，還是出于探討思考的角度希望得到參考的價(jià)值，總之隨后就有一些老師參與討論井辆，我大致摘錄歸納得出以下四種觀點(diǎn)：

觀點(diǎn)一：這道題看角度吧杯缺，兩個(gè)半圓。

觀點(diǎn)二：好像是一共滾10次夺谁，其中有3次A點(diǎn)未動(dòng)，一共滾了以三角形邊長(zhǎng)為半徑的7個(gè)120度的弧蜡塌，也就是2個(gè)圓周長(zhǎng)多120度的弧長(zhǎng)勿负。

觀點(diǎn)三：滾一次就是9×2×3.14的3分之一 ，即是18.84琅摩，10次就是10個(gè)18.84锭硼，結(jié)果是188.4。

觀點(diǎn)四：翻滾一次轰异，路程走過(guò)1/3圓暑始，1/3×2×π×9 ,等于6π，10次就是60π牙肝。

二、自主看法

雖然我的學(xué)識(shí)膚淺配椭，教學(xué)不精，但是我還是很喜歡和大家一起思考數(shù)學(xué)問(wèn)題吼渡。根據(jù)文字題意和圖形的認(rèn)知以及思維老師的答案乓序，如果就此題的答案我比較同意觀點(diǎn)乙的看法坎背。

對(duì)于觀點(diǎn)一的答案得滤，不知是我沒有理解清楚，還是他沒有闡述清楚懂更，我感覺好像不在邊上。

對(duì)于觀點(diǎn)三和觀點(diǎn)四兩位老師我感覺只是表述略有不同龄捡，意思是基本一致的慷暂，好像運(yùn)用的規(guī)律存在問(wèn)題。我們簡(jiǎn)單地看奸腺，似乎兩人說(shuō)的翻滾邏輯也對(duì)血久，但是仔細(xì)觀察A點(diǎn)位移與三角形的滾動(dòng)次數(shù)關(guān)系，翻滾一次是三分之一圓周長(zhǎng)6π讹蘑，而翻滾10次就是10個(gè)6π副砍，用這樣的公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算這道題顯然是不對(duì)的。比如說(shuō)把三角形原位置看成0次的基礎(chǔ)上角骤，三角形滾動(dòng)第2次和第3次A點(diǎn)的位移并沒有位移變化，第5次與第6次A點(diǎn)的位移也沒有變化邦尊，第8次與第9次A點(diǎn)的位移還是沒有變化蝉揍。這就說(shuō)當(dāng)三角形翻滾3n次和（3n-1）次時(shí)A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度是一樣的，所以觀點(diǎn)三四的規(guī)律在本題中也是行不通的又沾。

三杖刷、思維探討

如果說(shuō)我們把這道題作為一種題型進(jìn)行探討地話，那問(wèn)題就不僅僅于此了滑燃。

思考一：本題翻滾的次數(shù)不算很多表窘，學(xué)生完全可以運(yùn)用直觀畫圖的方法，然后數(shù)一數(shù)有多少個(gè)120度圓心角對(duì)的弧長(zhǎng)乐严，最后合并成圓周長(zhǎng)計(jì)算麦备，問(wèn)題就會(huì)得到解決。假如說(shuō)三角形翻滾的次數(shù)較多或者很多的時(shí)候凛篙，比如翻滾100次呛梆、1000次呢？很顯然作圖數(shù)一數(shù)就不適用了填物，那么就得去探討一種解題思路滞磺。以及探索出解決這一類問(wèn)題的公式思路才是最好的方法。

在此我們先梳理一下問(wèn)題中的知識(shí)點(diǎn)：

（1）本題圓心角120度與整圓360度的倍比是3倍關(guān)系击困。

（2）本題圓心角120度所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與整圓周長(zhǎng)的倍比也是3倍關(guān)系。

（3）本題每逢翻滾次數(shù)是3的倍數(shù)次數(shù)時(shí)蛛枚，A點(diǎn)回到原位置的形態(tài)，但在每一個(gè)循環(huán)中A點(diǎn)都只運(yùn)動(dòng)了2次扭吁，這里一定藏著一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律在其中盲镶，這是本著數(shù)學(xué)規(guī)律性解決問(wèn)題的思考。

前兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)大家都會(huì)考慮到系馆，關(guān)鍵是第三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的規(guī)律我們?nèi)绾翁接懖⒁源祟愅颇赝缯眨窟@解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在闽寡，也就是本題中三角形每翻滾3次為就會(huì)有一個(gè)循環(huán)的形態(tài)存在，而每一個(gè)循環(huán)中A點(diǎn)卻只移動(dòng)2次植影，即2個(gè)120度圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)涎永。

我認(rèn)為在整個(gè)循環(huán)翻滾中翻滾次數(shù)與循環(huán)次數(shù)會(huì)出現(xiàn)能夠被3整除和不能被3整除的兩種情況，其中不能整除的又分為余數(shù)是1和余數(shù)是2兩種谷饿。

所以妈倔，本類題型的解題思路：

思路一：循環(huán)翻滾中翻滾次數(shù)能夠被3整除的盯蝴。

（1）翻滾次數(shù)÷3=循環(huán)次數(shù)，

（2）循環(huán)次數(shù)×2=移動(dòng)了多少個(gè)120°圓心角個(gè)數(shù)捧挺，

（3）移動(dòng)了多少個(gè)120°圓心角個(gè)數(shù)÷3=合并為圓的個(gè)數(shù)（除不盡用分?jǐn)?shù)表示）闽烙，

（4）合并為圓的個(gè)數(shù)×2πr=點(diǎn)A移動(dòng)的路程長(zhǎng)度。

綜合公式：翻滾次數(shù)÷3×2÷3×2πr=點(diǎn)A移動(dòng)的路程。

思路二：循環(huán)翻滾中翻滾次數(shù)不能夠被3整除酥艳，有余數(shù)爬骤。（翻滾次數(shù)大于3次）

（1）翻滾次數(shù)÷3=循環(huán)次數(shù)……余數(shù)

（2）循環(huán)次數(shù)×2+余數(shù)=移動(dòng)了多少個(gè)120°圓心角個(gè)數(shù)霞玄，

（3）移動(dòng)了多少個(gè)120°圓心角個(gè)數(shù)÷3=合并為圓的個(gè)數(shù)（除不盡用分?jǐn)?shù)表示），

（4）合并為圓的個(gè)數(shù)×2πr=點(diǎn)A移動(dòng)的路程長(zhǎng)度惰爬。

綜合公式：（循環(huán)次數(shù)×2+余數(shù)）÷3×2πr=點(diǎn)A移動(dòng)的路程惫企。

由于本題滾動(dòng)10屬于循環(huán)有余數(shù)的情形，顧解題如下：

10÷3=3（次）……1（次）丛版，

（3×2+1）÷3×18π

=7÷3×18π

=42π

所以本題答案按π的通常值計(jì)算偏序，A點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為131.88厘米。

四豫缨、思維拓展

本題型還可以讓學(xué)生拓展思考第一次繞A點(diǎn)翻滾和第一次不繞A點(diǎn)翻滾兩種模型端朵，即每翻滾一圈(3次）點(diǎn)A所走的路徑是兩個(gè)120度的圓弧，半徑為9cm 如果第一次是繞A翻滾栓撞，10次后點(diǎn)A所走的途徑是6個(gè)120度的圓弧碗硬，即2個(gè)圓周長(zhǎng)。即A點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為（36π）如果第一次不是繞A翻滾弛说，10次后點(diǎn)A所走的途徑是7個(gè)120度的圓弧翰意，即2個(gè)圓周長(zhǎng)+1個(gè)120度圓弧長(zhǎng)信柿。（42π）

也許有人看到這里可能認(rèn)為我是多此一舉渔嚷，就那么一個(gè)問(wèn)題說(shuō)這么廢話稠曼，還不一定完全正確。當(dāng)然對(duì)于學(xué)生做題時(shí)來(lái)說(shuō)漠吻，只需要答案正確不就行了嗎司恳？如果在考試時(shí)確實(shí)是那樣的。但是對(duì)我們教師來(lái)說(shuō)就不能那么簡(jiǎn)單了吧耍共，我們不但要知道答案猎塞，還要懂得算法和算理，這就是俗話說(shuō)的“不但要知其然，而且還要知其所以然”的道理淡诗。學(xué)習(xí)是無(wú)窮止盡的，探索是源于興趣的開始款违。