【題目】
n 皇后問題 研究的是如何將 n 個皇后放置在 n × n 的棋盤上，并且使皇后彼此之間不能相互攻擊。
給你一個整數(shù) n ，返回 n 皇后問題 不同的解決方案的數(shù)量。
示例 1：
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輸入： n = 4
輸出： 2
解釋： 如上圖所示，4 皇后問題存在兩個不同的解法不傅。
示例 2：
輸入： n = 1
輸出： 1
提示：
1 <= n <= 9
【題目解析】
解題方法
解決N皇后II問題的關(guān)鍵在于使用回溯算法∩团撸回溯算法是一種通過試錯來找到所有解的問題解決方法访娶，如果當(dāng)前選擇不滿足約束條件，則進行回溯觉阅。
- 維護狀態(tài)：為了快速檢查一個位置是否可以放置皇后震肮，我們使用三個集合來分別記錄已經(jīng)放置皇后的列、對角線和反對角線留拾。
- 深度優(yōu)先搜索：從棋盤的第一行開始戳晌，遞歸地嘗試在每一行的每一列放置皇后。如果當(dāng)前位置滿足約束條件（即不在同一列痴柔、對角線或反對角線上有其他皇后）沦偎，則遞歸地處理下一行。
- 計數(shù)解法：每當(dāng)?shù)竭_棋盤的底部（即所有皇后都成功放置）時咳蔚，增加解的計數(shù)豪嚎。
執(zhí)行效率
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【總結(jié)】
適用問題類型
N皇后II問題屬于約束滿足問題（CSP），這類問題要求在滿足一定條件或約束的前提下谈火，找到問題的所有解侈询。這種問題通常涉及組合優(yōu)化、邏輯推理糯耍，以及搜索策略扔字，廣泛存在于計劃和調(diào)度囊嘉、邏輯編程、人工智能革为、算法游戲理論等領(lǐng)域扭粱。
解決算法：回溯法結(jié)合深度優(yōu)先搜索（DFS）
算法描述：采用回溯法結(jié)合深度優(yōu)先搜索的策略，系統(tǒng)地探索所有可能的放置組合震檩。通過維護列琢蛤、對角線和反對角線上皇后的占據(jù)情況，對每一行的每一列嘗試放置皇后抛虏，并在發(fā)現(xiàn)當(dāng)前嘗試違反約束時回溯博其，尋找其他可能的放置方式。
-
算法特點：
- 高效的約束檢查：利用集合維護已放置皇后的狀態(tài)迂猴，快速檢查當(dāng)前放置是否滿足約束慕淡，避免了冗余計算。
- 動態(tài)搜索空間剪枝：通過回溯错忱，算法能夠在遇到死路時撤銷上一步的選擇，回到上一個決策點挂据，有效縮小搜索空間以清。
- 廣泛適用性：該方法不僅適用于N皇后問題，還可以擴展到其他需要遍歷解空間尋找所有可行解的問題崎逃。
時間復(fù)雜度與空間復(fù)雜度
- 時間復(fù)雜度：O(N!)掷倔，其中N是皇后的數(shù)量。雖然回溯法通過剪枝減少了搜索空間个绍，但在最壞情況下勒葱，算法仍需嘗試所有的排列方式。
- 空間復(fù)雜度：O(N)巴柿，主要空間消耗來源于遞歸調(diào)用棧及用于記錄皇后位置的輔助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)凛虽。
實踐意義
- 算法教育與研究：N皇后II問題及其解決方案是學(xué)習(xí)和教授回溯算法、深度優(yōu)先搜索的極好案例广恢，有助于深化對這些基本算法概念的理解和應(yīng)用凯旋。
- 問題解決能力的提升：掌握這種算法能夠增強解決實際約束滿足問題的能力，尤其是在對解的數(shù)量而非具體解本身感興趣時钉迷。
- 跨領(lǐng)域應(yīng)用：從理論到實踐至非，回溯法和深度優(yōu)先搜索在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，如自動化測試糠聪、人工智能（如游戲AI）荒椭、組合優(yōu)化問題等，具有廣泛的實踐意義和應(yīng)用價值舰蟆。
總之趣惠，通過深入探索N皇后II問題的解決方案狸棍，我們不僅可以提升算法設(shè)計與問題解決的能力，還能夠擴展這些策略到更廣泛的應(yīng)用場景中信卡，展現(xiàn)計算機科學(xué)的實用性和創(chuàng)新性隔缀。
