0x00 前言
首先要說(shuō)明的是迈嘹，本文的標(biāo)題事實(shí)上來(lái)自于知乎上的一個(gè)同名問(wèn)題：為什么directX里表示三維坐標(biāo)要建一個(gè)4*4的矩陣鸟蟹？ - 編程（https://www.zhihu.com/question/36296104） 。因此森书，正如Milo Yip大神所說(shuō)的這個(gè)標(biāo)題事實(shí)上是存在問(wèn)題的：矩陣是用于表示變換而不是坐標(biāo)的靶端。再了解了矩陣的作用之后，我們就要繼續(xù)思考為什么變換要使用一個(gè)4×4的矩陣而不是3×3的矩陣呢凛膏？是不是多此一舉呢杨名？下面我們就來(lái)聊聊這個(gè)話題。
0x01 怎么平移一個(gè)三維空間中的點(diǎn)猖毫？
我們應(yīng)該怎么平移一個(gè)三維空間中的點(diǎn)呢镣煮？答案很簡(jiǎn)單，我們只需要對(duì)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)中的每個(gè)分量（x,y,z)和對(duì)應(yīng)軸上的平移距離相加即可鄙麦。
例如典唇，點(diǎn)p1(x1,y1,z1)在X軸Y軸以及Z軸上分別平移Δx,Δy,Δz到新的點(diǎn)p2(x2,y2,z2)镊折，那么我們只需在坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的分量上加上這些增量就可以確定點(diǎn)p2的坐標(biāo)了。
x2 = x1 + Δx
y2 = y1 + Δy
z2 = z1 + Δz
很簡(jiǎn)單是嗎介衔？那么接下來(lái)再讓我們來(lái)看一看另一種變換：旋轉(zhuǎn)恨胚。
0x02 再來(lái)旋轉(zhuǎn)一個(gè)點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)相比較平移來(lái)說(shuō)，會(huì)略顯復(fù)雜一些炎咖。因?yàn)槲覀冃枰该饕韵聨讉€(gè)方面來(lái)描述一個(gè)旋轉(zhuǎn)：
旋轉(zhuǎn)軸
旋轉(zhuǎn)方向
旋轉(zhuǎn)角度
在這里赃泡，我們假設(shè)點(diǎn)p需要繞Z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β度。
如這個(gè)很難看的圖所示乘盼，我們的點(diǎn)P1(x1,y1,z1)以Z軸位軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β度之后來(lái)到了點(diǎn)P2(x2,y2,z2)升熊。接下來(lái)，讓我們假設(shè)原點(diǎn)到P1的距離位L绸栅，且P1和Y軸之間的夾角位α级野，那么根據(jù)三角函數(shù)公式我們就可以計(jì)算出P1點(diǎn)的具體坐標(biāo)了：
x1 = L·sinα
y1 = L·cosα
由于是繞Z軸旋轉(zhuǎn)，因此z坐標(biāo)不變粹胯，因此此處不考慮蓖柔。
同樣根據(jù)三角函數(shù)公式，我們可以繼續(xù)計(jì)算出P2的具體坐標(biāo)：
x2 = L·sin(α + β)
y2 = L·cos(α + β)
再讓我們回憶一下中學(xué)時(shí)代的幾何數(shù)學(xué)的內(nèi)容风纠，對(duì)青春的回憶又把我們帶回了課堂上老師聲嘶力竭向我們傳授的內(nèi)容——兩角和與差：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
回憶起老師傳授給我們的知識(shí)之后况鸣，接下來(lái)結(jié)合P1的坐標(biāo)表示形式我們就可以把P2的坐標(biāo)換一個(gè)表示形式了。
x2 = L·(sinα·cosβ+cosα·sinβ) = cosβ·x1 + sinβ·y1
y2 = L·(cosα·cosβ-sinα·sinβ) = cosβ·y1 - sinβ·x1
z2 = z1
因此竹观，在已知P1點(diǎn)坐標(biāo)以及旋轉(zhuǎn)角度β的情況下镐捧，我們就可以根據(jù)以上公式分別求出P2點(diǎn)坐標(biāo)的各個(gè)分量。如果再結(jié)合上一小節(jié)中平移一個(gè)點(diǎn)的公式來(lái)看臭增，我們可以發(fā)現(xiàn)似乎并不需要矩陣愤估，而僅僅通過(guò)兩組表達(dá)式就能實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)的變換。但是......
0x03 帶來(lái)便捷的矩陣
當(dāng)然速址，從理論上講我們的確可以只通過(guò)數(shù)學(xué)公式就能實(shí)現(xiàn)變換，但實(shí)際的情況卻是在變換十分復(fù)雜時(shí)由驹，直接使用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)進(jìn)行運(yùn)算也是相當(dāng)繁復(fù)的芍锚。因此，在現(xiàn)實(shí)中常常使用矩陣（由m × n個(gè)標(biāo)量組成的長(zhǎng)方形數(shù)組）來(lái)表示諸如平移蔓榄、旋轉(zhuǎn)以及縮放等線性變換并炮。而兩個(gè)變換矩陣A和B的積P=AB，則變換矩陣P相當(dāng)于A和B所代表的變換甥郑。舉一個(gè)例子逃魄，若A為旋轉(zhuǎn)矩陣，B為平移矩陣澜搅，則矩陣P就能夠?qū)崿F(xiàn)旋轉(zhuǎn)和平移變換伍俘。不過(guò)需要注意的是邪锌，矩陣乘法不符合交換律，因此AB和BA并不相等癌瘾。
說(shuō)了這么多觅丰，我們似乎還是沒(méi)有回答為什么三維空間需要一個(gè)4×4矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)變換呢？下面我們就帶著這個(gè)問(wèn)題妨退，分別看看3×3矩陣和4×4矩陣的使用吧妇萄。
3×3矩陣和旋轉(zhuǎn)
首先，我們先來(lái)看一個(gè)矩陣乘以一個(gè)三維矢量的算式：
可以看到該矩陣為一個(gè)3×3的矩陣咬荷，矩陣的右側(cè)是點(diǎn)P1的坐標(biāo)冠句，而矩陣的左側(cè)則是點(diǎn)P2的坐標(biāo)。根據(jù)這個(gè)表達(dá)式幸乒，我們可以求出x2懦底、y2、z2的值：
x2 = a·x1 + b·y1 + c·z1
y2 = d·x1 + e·y1 + f·z1
z2 = g·x1 + h·y1 + i·z1
為了將矩陣等式和之前小節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式聯(lián)系起來(lái)逝变，下面我們就將旋轉(zhuǎn)表達(dá)式和該矩陣等式做一個(gè)對(duì)比基茵。
x2 = a·x1 + b·y1 + c·z1
x2 = cosβ·x1 + sinβ·y1
y2 = d·x1 + e·y1 + f·z1
y2 = cosβ·y1 - sinβ·x1
z2 = g·x1 + h·y1 + i·z1
z2 = z1
通過(guò)對(duì)比x2，我們可以發(fā)現(xiàn)a=cosβ壳影，b=sinβ拱层，c=0；
對(duì)比y2宴咧，也可以發(fā)現(xiàn)d=-sinβ根灯，e=cosβ，f=0掺栅；
最后對(duì)比z2烙肺，可以確定g=0，h=0氧卧，i=1桃笙；
將這個(gè)結(jié)果帶入到之前的矩陣中，我們的等式就可以變成下面這個(gè)樣子：
也就是說(shuō)沙绝，通過(guò)這個(gè)3×3的變換矩陣搏明，我們就已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了三維空間的旋轉(zhuǎn)變換。那么為什么還需要使用4×4矩陣呢闪檬？
搞不定的平移星著，4×4矩陣來(lái)救場(chǎng)
我們已經(jīng)通過(guò)一個(gè)3×3矩陣搞定了旋轉(zhuǎn)變換，顯然如果這個(gè)3×3矩陣真的是完美的解決變換的方案的話粗悯，那么它顯然也必須要適合于其他的變換虚循，例如平移。但是它到底能否滿足平移的需求呢？下面我們還是通過(guò)對(duì)比矩陣等式和數(shù)學(xué)表達(dá)式的方式横缔，來(lái)尋找答案铺遂。
x2 = a·x1 + b·y1 + c·z1
x2 = x1 + Δx
y2 = d·x1 + e·y1 + f·z1
y2 = y1 + Δy
z2 = g·x1 + h·y1 + i·z1
z2 = z1 + Δz
通過(guò)對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)平移和旋轉(zhuǎn)之間很有趣的一個(gè)區(qū)別剪廉，那就是平移的表達(dá)式中帶有常量Δx娃循，而無(wú)論是旋轉(zhuǎn)的表達(dá)式還是矩陣等式中都不存在這樣一個(gè)常量能夠與之對(duì)應(yīng)。那么問(wèn)題就來(lái)斗蒋，我們沒(méi)有辦法使用3×3的矩陣來(lái)表示平移捌斧。答案其實(shí)很簡(jiǎn)單，那就是使用4×4矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)泉沾。但是隨之而來(lái)的一個(gè)問(wèn)題就是如何一個(gè)三維坐標(biāo)如何能和一個(gè)4×4的矩陣相乘呢捞蚂？
齊次坐標(biāo)
為了解決三維矢量和4×4矩陣相乘的問(wèn)題，我們機(jī)智的為三維矢量添加了第四個(gè)分量跷究，這樣之前的三維矢量(x,y,z)就變成了四維的(x,y,z,w)姓迅，這樣由4個(gè)分量組成的矢量便被稱為齊次坐標(biāo)。需要說(shuō)明的是俊马，齊次坐標(biāo)(x,y,z,w)等價(jià)于三維坐標(biāo)(x/w,y/w,z/w)丁存，因此只要w分量的值是1，那么這個(gè)齊次坐標(biāo)就可以被當(dāng)作三維坐標(biāo)來(lái)使用柴我，而且所表示的坐標(biāo)就是以x解寝，y，z這3個(gè)值為坐標(biāo)值的點(diǎn)艘儒。
因此聋伦，為了和4×4矩陣相乘，我們的P1點(diǎn)坐標(biāo)就變成了(x1,y1,z1,1)界睁。而矩陣等式也變成了下面這個(gè)樣子：
我們?cè)賹⑦@個(gè)新的矩陣等式和平移的數(shù)學(xué)表達(dá)式做一番對(duì)比：
x2 = a·x1 + b·y1 + c·z1 + d
x2 = x1 + Δx
y2 = e·x1 + f·y1 + g·z1 + h
y2 = y1 + Δy
z2 = i·x1 + j·y1 + k·z1 + l
z2 = z1 + Δz
1 = m·x1 + n·y1 + o·z1 + p
通過(guò)對(duì)比x2觉增，我們可以發(fā)現(xiàn)a=1，b=0翻斟，c=0逾礁，d=Δx；
對(duì)比y2访惜，也可以發(fā)現(xiàn)e=0嘹履，f=1，g=0疾牲，h=Δy；
再對(duì)比z2衙解，可以確定i=0阳柔，j=0，k=1蚓峦，l=Δz舌剂；
最后還可以根據(jù)表達(dá)式求出m=0济锄，n=0，o=0霍转，p=1荐绝；
這樣，我們就求出了我們的4×4的平移矩陣：
0x04 總結(jié)
寫到這里避消，不知各位是否還記得之前在介紹矩陣乘法的時(shí)候我有提到過(guò)兩個(gè)變換矩陣A和B的積P=AB低滩，相當(dāng)于A和B所代表的變換。事實(shí)上在游戲編程中岩喷，常常需要把一連串的變換預(yù)先通過(guò)計(jì)算成為單一矩陣恕沫，所以就不能即存在3×3的矩陣又存在4×4的矩陣。而將3×3矩陣拓展成4×4矩陣還是相對(duì)更加容易的纱意。這樣婶溯，就通過(guò)一個(gè)4×4矩陣整合了平移矩陣、旋轉(zhuǎn)矩陣偷霉。
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