這一章節(jié)我們介紹“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”爵卒。很多朋友聽(tīng)到“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”可能會(huì)望而生畏导帝，覺(jué)得動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問(wèn)題都很復(fù)雜守谓。但其實(shí)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃本質(zhì)依然是遞歸算法您单，只不過(guò)是滿(mǎn)足特定條件的遞歸算法斋荞。在這一章，我們就來(lái)逐步解開(kāi)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的神秘面紗虐秦。

從“斐波那契數(shù)列”認(rèn)識(shí)“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”

斐波那契數(shù)列的定義

斐波那契數(shù)列是“遞歸”定義的平酿，通過(guò)這個(gè)遞歸關(guān)系式，我們可以知道斐波那契數(shù)列中任意一個(gè)位置的數(shù)值悦陋。

Python 代碼：

def fib(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    return fib(n - 1) + fib(n - 2)

Java 代碼：

private int fib(int n) {
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

代碼本身用于計(jì)算是沒(méi)有問(wèn)題的蜈彼，但是仔細(xì)一看就會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然使用“遞歸”實(shí)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列在任意位置的值的計(jì)算俺驶，但是如果要我們手動(dòng)計(jì)算的話幸逆，肯定不會(huì)這樣做，因?yàn)檫@樣做的話做了很多重復(fù)的工作暮现。

事實(shí)上还绘，我們手工計(jì)算斐波拉契數(shù)列的第 項(xiàng)的時(shí)候，是不會(huì)遞歸去求解的栖袋。于是我們可以很輕松地寫(xiě)出一個(gè)使用數(shù)組拍顷，通過(guò)循環(huán)實(shí)現(xiàn)的代碼。

Java 代碼：

public class CalFib {
    public static void main(String[] args) {
        CalFib calFib = new CalFib();
        int n = 40;
        long start = System.currentTimeMillis();
        int fib = calFib.fib(n);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("遞歸版計(jì)算結(jié)果：" + fib);
        System.out.println("遞歸版耗時(shí)：" + (end - start));
        long start1 = System.currentTimeMillis();
        int fib2 = calFib.fib2(n);
        long end1 = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("非遞歸版計(jì)算結(jié)果：" + fib2);
        System.out.println("非遞歸版耗時(shí)：" + (end1 - start1));
    }

    // 遞歸方式塘幅，從上到下昔案，有很多重疊子問(wèn)題
    private int fib(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }

    // 非遞歸的方式，從下到上
    private int fib2(int n) {
        int[] memory = new int[n + 1];
        memory[0] = 0;
        memory[1] = 1;
        for (int i = 2; i < n + 1; i++) {
            memory[i] = memory[i - 1] + memory[i - 2];
        }
        return memory[n];
    }

}

斐波拉契數(shù)列的遞歸實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題

當(dāng) n = 40 的時(shí)候控制臺(tái)輸出：

遞歸版計(jì)算結(jié)果：102334155
遞歸版耗時(shí)：565
非遞歸版計(jì)算結(jié)果：102334155
非遞歸版耗時(shí)：0

當(dāng) n = 42 的時(shí)候控制臺(tái)輸出：

遞歸版計(jì)算結(jié)果：267914296
遞歸版耗時(shí)：1579
非遞歸版計(jì)算結(jié)果：267914296
非遞歸版耗時(shí)：0

當(dāng) n = 44 的時(shí)候控制臺(tái)輸出：

遞歸版計(jì)算結(jié)果：701408733
遞歸版耗時(shí)：4179
非遞歸版計(jì)算結(jié)果：701408733
非遞歸版環(huán)版耗時(shí)：0

可以發(fā)現(xiàn)晌块，當(dāng) 僅僅只是增加 的時(shí)候，遞歸版本的耗時(shí)在成倍地增加帅霜，但是非遞歸版的耗時(shí)卻沒(méi)有怎么改變匆背。那么是什么造成了遞歸函數(shù)的執(zhí)行效率如此之低呢？讓我們來(lái)分析一下整個(gè)函數(shù)的執(zhí)行流程身冀。

打印遞歸實(shí)現(xiàn)的 fib 的調(diào)用次數(shù)認(rèn)識(shí)到“重疊子問(wèn)題”

我們對(duì)上面的代碼在遞歸和循環(huán)的入口處增加計(jì)數(shù)器钝尸，來(lái)看看一看遞歸和循環(huán)分別調(diào)用的次數(shù)：

Java 代碼：

public class CalFib {
    public static void main(String[] args) {
        CalFib calFib = new CalFib();
        int n = 40;
        long start = System.currentTimeMillis();
        int fib = calFib.fib(n);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("遞歸版：" + fib);
        System.out.println("遞歸版調(diào)用次數(shù)：" +  count1);
        System.out.println("遞歸版耗時(shí)：" + (end - start));
        long start1 = System.currentTimeMillis();
        int fib2 = calFib.fib2(n);
        long end1 = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("循環(huán)版：" + fib2);
        System.out.println("循環(huán)版調(diào)用次數(shù)：" + count2);
        System.out.println("循環(huán)版耗時(shí)：" + (end1 - start1));
    }

    static int count1 = 0;
    static int count2 = 0;
    // 遞歸方式
    private int fib(int n) {
        count1++;
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }

    // 非遞歸的方式
    private int fib2(int n) {
        int[] memory = new int[n + 1];
        memory[0] = 0;
        memory[1] = 1;
        for (int i = 2; i < n + 1; i++) {
            count2++;
            memory[i] = memory[i - 1] + memory[i - 2];
        }
        return memory[n];
    }

}

以 為例括享，運(yùn)行結(jié)果如下：

遞歸版：102334155
遞歸版調(diào)用次數(shù)：331160281
遞歸版耗時(shí)：616
循環(huán)版：102334155
循環(huán)版調(diào)用次數(shù)：39
循環(huán)版耗時(shí)：0

我們發(fā)現(xiàn)：這個(gè)問(wèn)題我們畫(huà)出的結(jié)構(gòu)是一個(gè)樹(shù)形結(jié)構(gòu)。

重疊子問(wèn)題

但是這個(gè)樹(shù)形結(jié)構(gòu)與我們?cè)凇盎厮荨眴?wèn)題中遇到的樹(shù)形結(jié)構(gòu)有一個(gè)很大的差別：存在大量的重復(fù)計(jì)算珍促。這就是為什么上面使用“遞歸”計(jì)算斐波拉契函數(shù)執(zhí)行效率低的原因铃辖。我們把這樣的含有大量重復(fù)計(jì)算的樹(shù)形問(wèn)題的現(xiàn)象叫做“重疊子問(wèn)題”。

“重疊子問(wèn)題”的一個(gè)特點(diǎn)是：遞歸調(diào)用雖然是調(diào)用自己猪叙，但是傳遞的參數(shù)有很多重復(fù)娇斩。“遞歸”調(diào)用其實(shí)也是順序執(zhí)行穴翩，函數(shù)一層一層調(diào)用自己犬第，雖然調(diào)用的是自己，但是傳遞的參數(shù)不同芒帕。

解決“重疊子問(wèn)題” 要使用“記憶化搜索”

做過(guò) Web 開(kāi)發(fā)的朋友們一定知道歉嗓，一個(gè) Web 服務(wù)的性能瓶頸在數(shù)據(jù)庫(kù)訪問(wèn)，那么優(yōu)化數(shù)據(jù)庫(kù)訪問(wèn)的一個(gè)措施就是對(duì)一些訪問(wèn)高頻但是修改并不頻繁的數(shù)據(jù)使用緩存背蟆。借助這個(gè)思路鉴分，我們對(duì)斐波拉契函數(shù)的遞歸版本也加上緩存，為此带膀，我們引入一個(gè)數(shù)組志珍。

下面的操作其實(shí)是套路，一定要非常熟練本砰。

Python 代碼：加入了記憶化搜索碴裙，即使用了緩存數(shù)組，以避免重復(fù)計(jì)算

memo = None

def _fib(n):
    if memo[n] != -1:
        return memo[n]
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    memo[n] = _fib(n - 1) + _fib(n - 2)
    return memo[n]


def fib(n):
    global memo
    memo = [-1] * (n + 1)
    return _fib(n)

Java 代碼實(shí)現(xiàn)：

private static int[] memory;

// 遞歸方式
private int fib(int n) {
    count1++;
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (memory[n] == -1) {
        memory[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
    return memory[n];
}

下面点额，我們就可以把 提高到 舔株，運(yùn)行代碼，控制臺(tái)輸出為：

遞歸版：1489622139
遞歸版調(diào)用次數(shù)：7999
遞歸版耗時(shí)：2
循環(huán)版：1489622139
循環(huán)版調(diào)用次數(shù)：3999
循環(huán)版耗時(shí)：0

Python 代碼：雖然很簡(jiǎn)單还棱，但是我們就可以稱(chēng)之為“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”的解法

這個(gè)版本是最接近我們自己去計(jì)算斐波那契數(shù)列的第 項(xiàng)载慈。想一想的確是這樣，聰明的你一定不會(huì)遞歸去計(jì)算波那契數(shù)列的珍手，因?yàn)槲覀兊哪X容量是有限办铡，不太適合做太深的遞歸思考，雖然計(jì)算機(jī)對(duì)于遞歸在行琳要，但是我們也沒(méi)有必要讓計(jì)算機(jī)做重復(fù)的遞歸工作寡具。

def fib(n):
    memo = [-1] * (n + 1)
    memo[0] = 0
    memo[1] = 1

    for i in range(2, n + 1):
        memo[i] = memo[i - 1] + memo[i - 2]
    return memo[n]

什么是“記憶化搜索”？

針對(duì)一個(gè)遞歸問(wèn)題稚补，如果它呈樹(shù)形結(jié)構(gòu)童叠，并且出現(xiàn)了很多”重疊子問(wèn)題”，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率低下课幕，“記憶化搜索”就是針對(duì)”重疊子問(wèn)題”的一個(gè)解決方案厦坛，實(shí)際上就是”加緩存避免重復(fù)計(jì)算”五垮。

“記憶化搜索”就是針對(duì)遞歸問(wèn)題的樹(shù)形結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)“重疊子問(wèn)題”而效率低下的一個(gè)解決方案，即“加緩存”杜秸。

什么是“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”放仗？

由上面的介紹我們就可以引出動(dòng)態(tài)規(guī)劃的概念了。

1撬碟、“記憶化搜索”可以稱(chēng)之為“重疊子問(wèn)題的加緩存優(yōu)化”的實(shí)現(xiàn)诞挨，此時(shí)我們的思考路徑是“自頂向下”，即為了解決數(shù)據(jù)規(guī)模大的問(wèn)題小作，我們假設(shè)已經(jīng)解決了數(shù)據(jù)規(guī)模較小的子問(wèn)題亭姥；

2、“循環(huán)版本”的實(shí)現(xiàn)顾稀，我們的思考路徑是“自下而上”达罗，我們是真正地解決了數(shù)據(jù)規(guī)模較小的問(wèn)題，然后一步一步地解決了數(shù)據(jù)規(guī)模較大的問(wèn)題静秆。

下面我們給出“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”的官方定義：

dynamic programming (also known as dynamic optimization) is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions – ideally, using a memory-based data structure.

翻譯：

將原問(wèn)題拆解成若干子問(wèn)題粮揉，同時(shí)保存子問(wèn)題的答案，使得每個(gè)子問(wèn)題只求解一次抚笔，最終獲得原問(wèn)題的答案扶认。

我們通常的做法是：使用“記憶化搜索”思考，使用“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”實(shí)現(xiàn)殊橙。

總結(jié)

對(duì)于一個(gè)遞歸結(jié)構(gòu)的問(wèn)題辐宾，如果我們?cè)诜治鏊倪^(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了它有很多“重疊子問(wèn)題”膨蛮，雖然并不影響結(jié)果的正確性叠纹，但是我們認(rèn)為大量的重復(fù)計(jì)算是不簡(jiǎn)潔，不優(yōu)雅敞葛，不高效的誉察，因此，我們必須將“重疊子問(wèn)題”進(jìn)行優(yōu)化惹谐，優(yōu)化的方法就是“加入緩存”持偏，“加入緩存”的一個(gè)學(xué)術(shù)上的叫法就是“記憶化搜索”。

另外氨肌，我們還發(fā)現(xiàn)鸿秆，直接分析遞歸結(jié)構(gòu)，是假設(shè)更小的子問(wèn)題已經(jīng)解決給出的實(shí)現(xiàn)怎囚，思考的路徑是“自頂向下”卿叽。但有的時(shí)候，“自底向上”的思考路徑往往更直接，這就是“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”附帽，我們是真正地解決了更小規(guī)模的問(wèn)題，在處理更大規(guī)模的問(wèn)題的時(shí)候井誉，直接使用了更小規(guī)模問(wèn)題的結(jié)果蕉扮。

（本節(jié)完）