矩陣變換學(xué)習(xí)筆記

二維矩陣變換：

我們把每個點(diǎn)坐標(biāo)A(x, y)看成一個行向量a(x, y)，采用齊次坐標(biāo)法收壕，即每個頂點(diǎn)坐標(biāo)增加一個相同的分量1作為矩陣的一行，即（x轨蛤，y蜜宪，1）

1.平移：

平移向量P為（a，b）祥山，點(diǎn)A（x圃验，y）平移后變?yōu)锳'（x + a， y + b）

點(diǎn)A的矩陣為[x枪蘑， y损谦， 1]岖免，平移變換矩陣為
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & 1 \end{matrix} \right]

點(diǎn)A的矩陣乘以平移變換矩陣得到平移后的矩陣為

\begin{matrix} A & 平移矩陣 & & 平移后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & 1 \\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x + a & y + b & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

2.旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)角度是β照捡。
矩陣中的θ是圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度颅湘。
旋轉(zhuǎn)變換矩陣
\left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ & 0 \\ -sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]
點(diǎn)A的矩陣[x, y, 1]乘以旋轉(zhuǎn)矩陣得到矩陣A'
\begin{matrix} A & 旋轉(zhuǎn)矩陣 & & 旋轉(zhuǎn)后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} cosθ & sinθ & 0 \\ -sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} xcosθ - ysinθ & xsinθ + ycosθ & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

3.縮放

縮放中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)(x,y)縮放到點(diǎn)(my,ny)栗精，m闯参、n是縮放因子。
縮放變換矩陣:
\left[ \begin{matrix} m & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]
點(diǎn)A(x,y)悲立，則點(diǎn)A的矩陣為[x鹿寨， y ，1]薪夕；當(dāng)點(diǎn)A的矩陣乘以縮放變換矩陣可以得到縮放后點(diǎn)的矩陣為：
\begin{matrix} A & 旋轉(zhuǎn)矩陣 & & 旋轉(zhuǎn)后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} m & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} mx & ny & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

4.對稱
（1）x軸對稱

A（x脚草，y） --> A'(x, -y)

對稱矩陣

\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

(2) y軸對稱

A(x, y) --> A'(-x, y)
對稱矩陣
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

(3)原點(diǎn)對稱

A(x, y) --> A'(-x, -y)
對稱矩陣
\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

5.錯切變換

（1）圖形關(guān)于X軸方向的錯切變換，各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變：
A(x, y) --> A'(x + cy , y)
關(guān)于X軸錯切變換矩陣為：
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

（2）圖形關(guān)于Y軸方向的錯切變換原献，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變：
A(x, y) --> A'(x , y + cx)
關(guān)于X軸錯切變換矩陣為：
關(guān)于Y軸錯切變換矩陣為：
\left[ \begin{matrix} 1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

6.組合變換

組合變換就是上面所介紹的平移變換馏慨，縮放變換，旋轉(zhuǎn)變換姑隅， 對稱變換写隶，錯切變換的相互作用之后產(chǎn)生的變換。

所有的圖形變換都是基本變換的組合讲仰，這樣圖形變換就容易多了

參考：
https://blog.csdn.net/a396901990/article/details/44905791

三維矩陣變換

對三維空間的點(diǎn)P＝[X Y Z]慕趴，采用規(guī)范齊次坐標(biāo)則與二維情況類似

1.平移變換

平移向量P為（tx，ty鄙陡，tz）冕房，點(diǎn)A（x，y柔吼，z）平移后變?yōu)锳'（x + tx毒费， y + ty丙唧，z + tz）
點(diǎn)A的矩陣為[x愈魏， y， z想际，1]培漏，平移變換矩陣為
\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ tx & ty &tz & 1\\ \end{matrix} \right]
點(diǎn)A的矩陣乘以平移變換矩陣得到平移后的矩陣為
\begin{matrix} A & 平移矩陣 & & 平移后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ tx & ty & tz & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x + tx & y + ty & z + tz & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

2.旋轉(zhuǎn)

矩陣中的θ是圖形繞坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度。

(1)繞z軸旋轉(zhuǎn)

A（x胡本，y牌柄，z）旋轉(zhuǎn)后變?yōu)锳'（xcosθ - ysinθ， xsinθ + ycosθ侧甫， z）
旋轉(zhuǎn)變換矩陣
\left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ & 0 & 0\\ -sinθ & cosθ & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]

點(diǎn)A的矩陣乘以旋轉(zhuǎn)變換矩陣得到旋轉(zhuǎn)后的矩陣為
\begin{matrix} A & 繞z軸旋轉(zhuǎn)矩陣 & & 旋轉(zhuǎn)后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} cosθ & sinθ & 0 & 0\\ -sinθ & cosθ & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} xcosθ - ysinθ & xsinθ + ycosθ & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

（2）繞x軸旋轉(zhuǎn)

A（x珊佣，y蹋宦，z）旋轉(zhuǎn)后變?yōu)锳'（x， ycosθ - zsinθ咒锻， ysinθ + zcosθ）
旋轉(zhuǎn)變換矩陣
\left[ \begin{matrix} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & cosθ & sinθ & 0\\ 0 & -sinθ & cosθ& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]
點(diǎn)A的矩陣乘以旋轉(zhuǎn)變換矩陣得到旋轉(zhuǎn)后的矩陣為
\begin{matrix} A & 繞z軸旋轉(zhuǎn)矩陣 & & 旋轉(zhuǎn)后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & cosθ & sinθ & 0\\ 0 & -sinθ & cosθ& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & ycosθ - zsinθ & ysinθ + zcosθ & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

（3）繞y軸旋轉(zhuǎn)

A（x冷冗，y，z）旋轉(zhuǎn)后變?yōu)锳'（xcosθ + zsinθ惑艇，y蒿辙， zcosθ - xsinθ）
旋轉(zhuǎn)變換矩陣
\left[ \begin{matrix} cosθ& 0 & -sinθ & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ sinθ & 0& cosθ& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]
點(diǎn)A的矩陣乘以旋轉(zhuǎn)變換矩陣得到旋轉(zhuǎn)后的矩陣為
\begin{matrix} A & 繞y軸旋轉(zhuǎn)矩陣 & & 旋轉(zhuǎn)后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} cosθ& 0 & -sinθ & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ sinθ & 0& cosθ& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} xcosθ + zsinθ & y & zcosθ - xsinθ & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

3.縮放
（1）局部縮放

相對坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換
A（x，y滨巴，z）旋轉(zhuǎn)后變?yōu)锳'（xSx思灌， ySy， zSz）, Sx, Sy, Sz為縮放因子
縮放變換矩陣
\left[ \begin{matrix} Sx& 0 & 0 & 0\\ 0 & Sy & 0 & 0\\ 0 & 0& Sz& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]

點(diǎn)A的矩陣乘以縮放變換矩陣得到旋轉(zhuǎn)后的矩陣為
\begin{matrix} A & 縮放矩陣 & & 縮放后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} Sx& 0 & 0 & 0\\ 0 & Sy & 0 & 0\\ 0 & 0& Sz& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} xSx & ySy & zSz & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

（2）整體縮放

縮放矩陣為
\left[ \begin{matrix} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & s\\ \end{matrix} \right]
點(diǎn)A的矩陣乘以縮放變換矩陣得到旋轉(zhuǎn)后的矩陣為
\begin{matrix} A & 縮放矩陣 & & 縮放后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & s\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x/s & y/s & z/s & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

4.對稱變換
（1）關(guān)于對稱平面變換
1.1關(guān)于xoy平面對稱變換

\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} A & 變換矩陣 & & 變換后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

1.2關(guān)于xoz平面對稱變換

\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & -y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} A & 變換矩陣 & & 變換后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & -y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

1.3關(guān)于yoz平面對稱變換

\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} A & 變換矩陣 & & 變換后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

(2)關(guān)于對稱軸變換
2.1關(guān)于x軸對稱變換

\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & -y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} A & 變換矩陣 & & 變換后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & -y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

2.2關(guān)于y軸對稱變換

\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} A & 變換矩陣 & & 變換后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

2.3關(guān)于z軸對稱變換

\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & -y & 1z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}

\begin{matrix} A & 變換矩陣 & & 變換后的矩陣A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & -y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}

三維變換矩陣的功能分塊

\left[ \begin{array}{ccc|c} a11& a21 & a31 & Px\\ a12 & a22 & a32 & Py\\ a13 & a23& a33& Pz\\ \hline tx & ty & tz & s\\ \end{array} \right]
左下角三維平移變換部分恭取，左上角三維線性變換部分泰偿，右上角透視變換部分，右下角整體比例因子

任何三維變換都可以轉(zhuǎn)換為基本三維變換的組合
比如繞任意軸旋轉(zhuǎn)蜈垮，可通過平移甜奄，旋轉(zhuǎn)等基本三維變換轉(zhuǎn)換為繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)；

參考：
https://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/70171525

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