二念搬、數(shù)字圖像處理基本運(yùn)算

一、圖像的像素級(jí)運(yùn)算

點(diǎn)運(yùn)算

? ? ? ? 點(diǎn)運(yùn)算具有如下特點(diǎn)：1）點(diǎn)運(yùn)算針對(duì)圖像中的每一個(gè)像素灰度涌矢，獨(dú)立地進(jìn)行灰度值的改變掖举；2）輸出圖像中每個(gè)像素點(diǎn)的灰度值，僅取決于相應(yīng)輸入像素點(diǎn)的值娜庇；3）點(diǎn)運(yùn)算不改變圖像內(nèi)的空間關(guān)系塔次；4）從像素到像素的操作方篮；5）點(diǎn)運(yùn)算可完全由灰度變換函數(shù)或灰度映射表確定。

線性點(diǎn)運(yùn)算

$\\D_{out}=f(D_{in})=aD_{in}+b$

圖1.1 線性點(diǎn)運(yùn)算示例

? ? ? ? 具體一點(diǎn)励负，對(duì)于一整張圖像來說： $\\I_{out}(x,y)=a*I_{in}(x,y)+b$

其中藕溅，對(duì)于a和b，有以下特點(diǎn)： $\\\begin{alignat*}{2}&a=1,b=0:\quad\quad&恒等\\&a\lt0:&黑白反轉(zhuǎn)\\&\vert a \vert>1:&增加對(duì)比度\\&\vert a \vert 0:&增加亮度\\&b</p><h3>非線性點(diǎn)運(yùn)算</h3><p><img class=$

圖1.2 非線性點(diǎn)運(yùn)算示例

映射表點(diǎn)運(yùn)算

? ? ? ? 這種運(yùn)算意思很明了继榆，就是一對(duì)一映射巾表。實(shí)際上，上述的線性和非線性點(diǎn)運(yùn)算到最后也可以看成是映射表點(diǎn)運(yùn)算略吨。

圖1.3 映射表點(diǎn)運(yùn)算示例

代數(shù)運(yùn)算

加法

????????加法運(yùn)算的定義： $\\C(x,y)=A(x,y)+B(x,y)$

主要應(yīng)用有去除“疊加性”噪音集币、生成圖像疊加效果等。

? ? ? ? 1）去除“疊加性”噪音翠忠。對(duì)于原圖像f(x,y)鞠苟，有一個(gè)噪音圖像集： $\left\{g_i(x,y)\right\} \quad i=1,2,\cdots,M$ ，其中： $g_i(x,y)=f(x,y)+h(x,y)_i$ 秽之，M個(gè)圖像的均值定義為： $g(x,y)=(g_0(x,y)+g_1(x,y)+\cdots+g_M(x,y))/M$ 当娱，當(dāng)噪音 $h(x,y)_i$ 為互不相關(guān)，且均值為0時(shí)考榨，上述圖像均值（即 $g(x,y)$ ）將降低噪音的影響跨细。通過這個(gè)事實(shí)，可以得出一個(gè)定理：對(duì)M幅加性噪聲圖像進(jìn)行平均董虱，可以使圖像的平方信噪比提高M(jìn)倍扼鞋。

圖1.4 去除“疊加性”噪音的示例

? ? ? ? 2）生成圖像疊加效果。對(duì)于兩個(gè)圖像f(x,y)和h(x,y)的均值有： $g(x,y)=\frac{1}{2}f(x,y)+\frac{1}{2}h(x,y)$ 愤诱，這樣會(huì)得到二次曝光的效果云头。推廣這個(gè)公式為： $g(x,y)=\alpha f(x,y)+\beta h(x,y),\quad 其中\(zhòng)alpha + \beta =1$ 。我們可以得到各種圖像合成的效果淫半，也可以用于兩張圖片的銜接溃槐。

圖1.5 圖像疊加示例

減法

? ? ? ? 減法的定義： $\\C(x,y)=A(x,y)-B(x,y)$

主要應(yīng)用有去除不需要的疊加性圖案、檢測(cè)同一場(chǎng)景兩幅圖像之間的變化等科吭。

? ? ? ? 1）去除不需要的疊加性圖案昏滴。設(shè)：背景圖像b(x,y)，前景背景混合圖像f(x,y)对人。則 $g(x,y)=f(x,y)-b(x,y)$ 谣殊，g(x,y)為去除了背景的圖像。電視制作的藍(lán)屏技術(shù)就基于此：

圖1.6 去除不需要的疊加性圖案示例

? ? ? ? 2）檢測(cè)同一場(chǎng)景兩幅圖像之間的變化牺弄。設(shè)：時(shí)間1的圖像為 $T_1(x,y)$ 姻几，時(shí)間2的圖像為 $T_2(x,y)$ 。則 $g(x,y)=T_2(x,y)-T_1(x,y)$

圖1.7 檢測(cè)同一場(chǎng)景兩幅圖像之間的變化示例

乘法

? ? ? ? 乘法的定義： $\\C(x,y)=A(x,y)\times B(x,y)$

主要應(yīng)用有圖形的局部顯示等。

圖1.8 用二值蒙板圖像與原圖像做乘法

除法

邏輯運(yùn)算

圖1.9 二值圖像的基本邏輯運(yùn)算概覽

求反

? ? ? ? 求反的定義： $\\g(x,y)=R-f(x,y)$

其中R為f(x,y)的灰度級(jí)蛇捌。主要應(yīng)用有獲得一個(gè)圖像的負(fù)像抚恒、獲得一個(gè)子圖像的補(bǔ)圖像等。

圖1.9 獲得一個(gè)圖像的負(fù)像示例

圖1.10 獲得一個(gè)子圖像的補(bǔ)圖像示例

異或

? ? ? ? 異或運(yùn)算的定義： $\\g(x,y)=f(x,y)\oplus h(x,y)$

主要應(yīng)用有獲得相交子圖像等络拌。

圖1.11 獲得相交子圖像示例

或

與

? ? ? ? 與運(yùn)算的定義： $\\g(x,y)=f(x,y)\land h(x,y)$

主要應(yīng)用有求兩個(gè)子圖像的相交子圖等俭驮。

圖1.12 求兩個(gè)子圖像的相交子圖示例

二、圖像的空域變換

? ? ? ? 在圖像空間春贸，對(duì)圖像的形狀混萝、像素值等進(jìn)行變化、映射等處理祥诽。

幾何變換

? ? ? ? 即改變圖像的形狀譬圣。主要有基本變換和灰度插值。

? ? ? ? 幾何變換的基本概念：對(duì)原始圖像雄坪，按照需要改變其大小、形狀和位置的變化屯蹦。

? ? ? ? 變換的類型：二維平面圖像的幾何變換维哈、三維圖像的幾何變換、由三維向二維平面的投影變換等登澜。

二維圖像幾何變換

? ? ? ? 定義：對(duì)于原始圖像f(x,y)阔挠，坐標(biāo)變換函數(shù) $\\x^{’}=a(x,y);\quad y^{’}=b(x,y)$

唯一確定了幾何變換： $\\g(x^{’},y^{’})=f(a(x,y),b(x,y))$

? ? ? ? 二維圖像幾何變換的基本方式有多項(xiàng)式變換、透視變換等脑蠕。

? ? ? ? 1）多項(xiàng)式變換购撼。基本公式： $\\\left\{\begin{array}{2}x^{’}=\sum_{i=0}^{M}\sum_{j=0}^{N}a_{ij}x_{i}y_j\\y^{’}=\sum_{i=0}^{M}\sum_{j=0}^{N}b_{ij}x_{i}y_j\end{array}\right.$

線性變換——多項(xiàng)式變換中的一階變換： $\\x^{’}=ax+by+e,\quad y^{’}=cx+dy+f$

使用多項(xiàng)式變換實(shí)現(xiàn)二維圖像的幾何變換即由線性變換確定的圖像的平移谴仙、縮放迂求、旋轉(zhuǎn)、鏡像與錯(cuò)切晃跺。

? ? ? ? 2）二維數(shù)字圖像基本幾何變換的矩陣計(jì)算揩局。

? ? ? ? 原始圖像與目標(biāo)圖像之間的坐標(biāo)變換函數(shù)為線性函數(shù)，這可以通過與之對(duì)應(yīng)的線性矩陣變換來實(shí)現(xiàn)凌盯。

? ? ? ? 齊次坐標(biāo)表示法——用n+1維向量表示n維向量烹玉。設(shè)有變換矩陣T驰怎，則二維圖像的基本幾何變換矩陣為： $\\\left[\begin{array}{aaa}x^{’}\\y^{’}\\1\end{array}\right]=T\times \left[\begin{array}{aaa}x\\y\\1\end{array}\right]\quad\quadT=\left[\begin{matrix}a&b&e\\c&d&f\\0&0&1\end{matrix}\right]$

? ? ? ? 二維圖像的基本幾何變換具有特征：1）變換前圖形上的每一點(diǎn)，在變換后的圖形上都有一確定的對(duì)應(yīng)點(diǎn)二打，如原來直線上的中點(diǎn)變換為新直線的中點(diǎn)县忌；2）平行直線變換后仍保持平行，相交直線變換后仍相交；3）變換前直線上的線段比等于變換后對(duì)應(yīng)的線段比芹枷。

? ? ? ? 變換矩陣T可以分解為2個(gè)子矩陣衅疙，子矩陣1： $\left[\begin{matrix}a&b\\c&d \end{matrix}\right]_{2\times 2}$ ，可實(shí)現(xiàn)恒等鸳慈、比例饱溢、鏡像、旋轉(zhuǎn)和錯(cuò)切變換走芋；子矩陣2： $\left[\begin{matrix}e&f\end{matrix}\right]^T$ 绩郎，可實(shí)現(xiàn)圖像的平移變換（e=0，f=0時(shí)無(wú)平移作用）翁逞。

? ? ? ? a）平移變換（只改變圖像位置肋杖，不改變圖像的大小和形狀）。設(shè)： $\\a(x,y)=x+x_0;\quad b(x,y)=y+y_0;$

可有： $g(x^{’},y^{’})=f(x+x_0,y+y_0)$ 挖函。

圖2.1 平移變換示例

? ? ? ? b）水平鏡像状植。 $a(x,y)=-x;b(x,y)=y;\quadT=\left[\begin{matrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]$

圖2.2 水平鏡像示例

? ? ? ? c）垂直鏡像。 $a(x,y)=x;b(x,y)=-y;\quadT=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]$

圖2.3 垂直鏡像示例

? ? ? ? d）縮放變換：x方向縮放c倍怨喘，y方向縮放d倍 $\\a(x,y)=x\times c;\quad b(x,y)=y\times d;$

$\\\left[\begin{array}{aaa}x^{’}\\y^{’}\\1\end{array}\right]_{new}=\left[\begin{matrix}a(x,y)\\b(x,y)\\1\end{matrix}\right]_{new}=\left[\begin{matrix}\frac{1}{c}&0&0\\0&\frac{1}qcawicu&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{array}{aaa}x\\y\\1\end{array}\right]_{old}$

c津畸，d相等，按比例縮放：

圖2.4 按比例縮放示例

c必怜，d不相等肉拓，不按比例縮放——幾何畸變：

圖2.5 幾何畸變示例

? ? ? ? e）旋轉(zhuǎn)變換：繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) $\theta$ 度。設(shè)： $\\\left\{\begin{array}{aa}x^{’}=xcos\theta -ysin\theta\\y^{’}=xsin\theta +ycos\theta\end{array}\right.$

圖2.6 旋轉(zhuǎn)變換示意圖

$\\\left[\begin{array}{aaa}x^{’}\\y^{’}\\1\end{array}\right]_{new}=\left[\begin{matrix}a(x,y)\\b(x,y)\\1\end{matrix}\right]_{new}=\left[\begin{matrix}cos(\theta)&-sin(\theta)&0\\sin(\theta)&cos(\theta)&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{array}{aaa}x\\y\\1\end{array}\right]_{old}$

圖2.7 旋轉(zhuǎn)變換示例

????????旋轉(zhuǎn)變換的注意點(diǎn)：

? ? ? ? i）圖像旋轉(zhuǎn)之前梳庆，為了避免信息的丟失暖途，一定有平移坐標(biāo)。具體有如下兩種方法：

圖2.8 平移坐標(biāo)方法一

圖2.9 平移坐標(biāo)方法二

? ? ? ? ii）圖像旋轉(zhuǎn)之后膏执，會(huì)出現(xiàn)許多的空洞點(diǎn)驻售，對(duì)這些空洞點(diǎn)必須進(jìn)行填充處理，否則畫面效果不好胧后。這種操作被稱之為插值處理芋浮。

圖2.10 出現(xiàn)空洞點(diǎn)示例

圖2.11 插值處理示例

? ? ? ? f）錯(cuò)切變換：圖像的錯(cuò)切變換實(shí)際上是景物在平面上的非垂直投影效果。

x方向的錯(cuò)切： $\\\left\{\begin{array}{aa}x^{’}=x+d_xy\\y^{’}=y\end{array}\right.\quad\left[\begin{array}{aaa}x^{’}\\y^{’}\\1\end{array}\right]_{new}=\left[\begin{matrix}1&d_x&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{array}{aaa}x\\y\\1\end{array}\right]_{old}$

y方向的錯(cuò)切： $\\\left\{\begin{array}{aa}x^{’}=x\\y^{’}=y+d_yx\end{array}\right.\quad\left[\begin{array}{aaa}x^{’}\\y^{’}\\1\end{array}\right]_{new}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\d_y&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{array}{aaa}x\\y\\1\end{array}\right]_{old}$

圖2.12 錯(cuò)切變換示例

錯(cuò)切之后壳快，原圖像的像素排列方向改變纸巷。與旋轉(zhuǎn)不同的是，x方向與y方向獨(dú)立變化眶痰。

? ? ? ? g）偽仿射變換——雙線性幾何變換： $\\x^{’}=ax+by+gxy+e\\y^{’}=cx+dy+hxy+f$

圖2.13 偽仿射變換示意圖

偽仿射變換有兩個(gè)特點(diǎn)：與xy平面上坐標(biāo)軸平行的直線瘤旨，變換為 $x^{’}y^{’}$ 平面上的直線；與xy平面上坐標(biāo)軸不平行的直線竖伯，變換為 $x^{’}y^{’}$ 平面上的曲線存哲。

? ? ? ? h）任意變形變換——非線性幾何變換因宇。可以有以下兩種作用：在二維平面上祟偷，實(shí)現(xiàn)圖像幾何形狀的任意變換察滑；在二維平面上，校正圖像的幾何失真修肠。

圖2.14 實(shí)現(xiàn)圖像幾何形狀的任意變化示例

圖2.15 校正圖像的幾何失真示例

????????特征：一般的贺辰，原始圖像與目標(biāo)圖像之間，存在一一對(duì)應(yīng)的特征點(diǎn)（tiepoints嵌施，GCPs）饲化。

圖2.16 原始圖像與目標(biāo)圖像之間特征點(diǎn)的對(duì)應(yīng)示意圖

????????模型：一般的，原始圖像與目標(biāo)圖像之間的坐標(biāo)變換函數(shù)為非線性函數(shù)吗伤，需用高階多項(xiàng)式進(jìn)行近似描述吃靠。例如，三階多項(xiàng)式變換： $\\\begin{array}{2}&x=a_0+a_1X+a_2Y+a_3X^2+a_4XY+a_5Y^2+a_6X^3+a_7X^2Y+a_8XY^2+a_9Y^3\\&y=b_0+b_1X+b_2Y+b_3X^2+b_4XY+b_5Y^2+b_6X^3+b_7X^2Y+b_8XY^2+b_9Y^3\end{array}$

? ? ? ? 通過原始圖像與目標(biāo)圖像之間多個(gè)對(duì)應(yīng)特征點(diǎn)（GCP點(diǎn)）足淆，可以確定上述多項(xiàng)式中的未知參數(shù)巢块。

? ? ? ? 多項(xiàng)式階數(shù)與GCP數(shù)量的關(guān)系： $\\GCPs\geq\frac{(t+1)(t+2)}{2}\quad t:多項(xiàng)式階數(shù)$

? ? ? ? 通過多項(xiàng)式變換進(jìn)行任意變形變換后的誤差，通常用均方誤差表示： $\\RMS=\sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{n}(x_{jr}-x_{ji})^2+\sum_{j=1}^{n}(y_{jr}-y_{ji})^2}{n}}$

圖2.17 任意變形變換示例

? ? ? ? 3）二維圖像的透視變換缸浦。將一個(gè)平面上的點(diǎn) $P(x,y)$ 夕冲，以投影中心O為基準(zhǔn)，投影成另一個(gè)平面上的點(diǎn) $P^{’}(x,y)$ 裂逐；可看作為三維物體向二維圖像透視投影的特殊形式。

? ? ? ? 透視投影：當(dāng)人們站在玻璃窗內(nèi)用一只眼睛觀看室外的建筑物時(shí)泣栈，無(wú)數(shù)條視線與玻璃窗相交卜高，把各交點(diǎn)連接起來的圖形即為透視圖。

圖2.18 透視投影示意圖

? ? ? ? 透視投影相當(dāng)于以人的眼睛為投影中心的中心投影南片，符合人們的視覺形象掺涛，富有較強(qiáng)的立體感和真實(shí)感。

? ? ? ? 隨著觀看角度的變化疼进，可看到物體的一個(gè)或多個(gè)側(cè)面薪缆；在透視處理上，按照空間直角坐標(biāo)系的劃分伞广，相應(yīng)的分為單點(diǎn)透視投影拣帽、雙點(diǎn)透視投影和三點(diǎn)透視投影。

圖2.19 單點(diǎn)嚼锄、雙點(diǎn)减拭、三點(diǎn)透視投影示例

? ? ? ? 二維圖像透視變換函數(shù)及其齊次坐標(biāo)表示為： $\\x^{’}=\frac{ax+by+e}{mx+ly+1};\quady^{’}=\frac{cx+dy+f}{mx+ly+1}$

$\\\left[\begin{array}{}x^{’}\\y^{’}\\1\end{array}\right]=T\times \left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right] ,\quadT=\left[\begin{matrix}a&b&e\\c&d&f\\m&l&1\end{matrix}\right]$

與前面關(guān)于齊次變換矩陣的描述類似，這里引入第三個(gè)子矩陣 $[m \quad l]$ 区丑，實(shí)現(xiàn)圖像的透視變換拧粪。變換式中共有8個(gè)獨(dú)立的參數(shù)修陡，可采用圖像點(diǎn)對(duì)的方式（最少采用4對(duì)共8個(gè)點(diǎn)即可），進(jìn)行二維平面圖像的透視投影計(jì)算可霎。

圖2.20 二維平面圖像的透視投影計(jì)算示例

總結(jié)基本幾何變換的特征：

? ? ? ? 1）坐標(biāo)空間的變化：范圍發(fā)生變化魄鸦；大小發(fā)生變化。

? ? ? ? 2）像素值的變化：像素值不發(fā)生變化——位置改變癣朗；像素值發(fā)生變化——旋轉(zhuǎn)拾因、縮放、變形變換斯棒。

灰度插值

? ? ? ? 1）最近鄰插值法

? ? ? ? 選擇最臨近點(diǎn)像素灰度值盾致。如圖2.21中， $(x^{’},y^{’})$ 點(diǎn)像素的灰度值為原圖像中 $(x,y)$ 點(diǎn)的像素值荣暮。

圖2.21 最近鄰插值法示例

最近鄰插值法的特點(diǎn)有：a）簡(jiǎn)單快速庭惜；b）灰度保真性好；c）誤差較大穗酥；d）視覺特性較差（容易造成馬賽克效應(yīng)）护赊。

? ? ? ? 2）雙線性插值法（一階插值）

? ? ? ? 如圖2.22中，有 $\\\begin{alignat*}{1}f^{’}(x^{’},y^{’})&=a\cdot f(x,y)+b\cdot f(x,y+1)\\f^{’’}(x^{’},y^{’})&=c\cdot f(x,y)+d\cdot f(x+1,y)\\f^{’’’}(x^{’},y^{’})&=u\cdot f(x,y+1)+v\cdot f(x+1,y+1)\\f^{’’’’}(x^{’},y^{’})&=w\cdot f(x+1,y)+z\cdot f(x+1,y+1)\end{alignat*}$

圖2.22 雙線性插值示意圖

最終砾跃， $f(x^{’},y^{’})$ 由以上四個(gè)結(jié)果得出骏啰。

? ? ? ? 雙線性插值可以有簡(jiǎn)化的計(jì)算方法。如圖2.23中抽高，即有判耕，應(yīng)用雙曲拋物面方程： $\\f(x,y)=ax+by+cxy+d$

歸一化坐標(biāo)值： $\\0>x>1,0>y>1$

最終有： $\\\begin{array}{1}f(x,y)=&[f(1,0)-f(0,0)]x+[f(0,1)-f(0,0)]y+\\&[f(1,1)+f(0,0)-f(0,1)-f(1,0)]xy+f(0,0)\end{array}$

圖2.23 應(yīng)用雙曲拋物面方程簡(jiǎn)化雙線性插值法示例

雙曲拋物面的特點(diǎn)：a）計(jì)算中較為充分地考慮相鄰各點(diǎn)的特征，具有灰度平滑過渡特點(diǎn)翘骂；b）一般情況下可得到滿意結(jié)果壁熄；c）具有低通濾波特性，使圖像輪廓模糊碳竟；d）平滑作用使圖像細(xì)節(jié)退化草丧，尤其在放大時(shí)；e）不連續(xù)性會(huì)產(chǎn)生不希望的結(jié)果莹桅。

????????3）最佳插值函數(shù)昌执。在滿足Nyquist條件下，從離散信號(hào) $x(nT_s)$ 可恢復(fù)連續(xù)信號(hào)x(t)： $\\x(t)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}x(nT_s)sinc(\frac{\pi}{T_s}(t-nT_s))$

圖2.24 sinc函數(shù)示意圖

? ? ? ? 4)高階插值诈泼。如果簡(jiǎn)化計(jì)算懂拾，僅取原點(diǎn)周圍有限范圍函數(shù)（如圖2.25所示）；

圖2.25 簡(jiǎn)化的sinc函數(shù)示意圖

并利用三次多項(xiàng)式來近似理論上的最佳插值函數(shù)sinc(x): $\\S(x)=\left\{\begin{array}{1}&1-2\vert x \vert^2+\vert x\vert ^3, \quad\quad\quad &|x|<1\\&4-8|x|+5|x|^2-|x|^3, &1\leq|x|\leq2\\&0, &|x|>2\end{array}\right.$

由此形成常用的三次卷積插值算法厂汗，又稱三次內(nèi)插法委粉、兩次立方法（Cubic）、CC插值法等娶桦。

? ? ? ? 三次卷積插值算法特點(diǎn)：a）是滿足Nyquist下贾节，最佳重構(gòu)公式的近似汁汗；b）只有圖像滿足特定的條件，三次卷積插值算法才能獲得最佳結(jié)果栗涂；c）可使待求點(diǎn)的灰度值更好地模擬實(shí)際可能值知牌；d）可取得更好的視覺效果；e）三次卷積內(nèi)插突出的優(yōu)點(diǎn)是高頻信息損失少斤程，可將噪聲平滑角寸；f） $4\times 4$ 時(shí)，像元均值和標(biāo)準(zhǔn)差信息損失蟹奘扁藕；g）計(jì)算量大為增加。

? ? ? ? 5）圖像處理中內(nèi)插方法的選擇疚脐。內(nèi)插方法的選擇除了考慮圖像的顯示要求及計(jì)算量亿柑，還要考慮內(nèi)插結(jié)果對(duì)分析的影響。a）當(dāng)紋理信息為主要信息時(shí)棍弄，最近鄰采樣將嚴(yán)重改變?cè)瓐D像的紋理信息望薄；b）當(dāng)灰度信息為主要信息時(shí)，雙線性內(nèi)插及三次卷積內(nèi)插將減少圖像異質(zhì)性呼畸，增加圖像同質(zhì)性痕支，其中，雙線性內(nèi)插方法將使這種變化更為明顯蛮原。

非幾何變換

? ? ? ? 即改變圖像像素值卧须。主要有模板運(yùn)算、灰度變換和直方圖變換儒陨。

? ? ? ? 定義：對(duì)于原圖像 $f(x,y)$ 故慈，灰度值變換函數(shù) $T(f(x,y))$ 唯一確定了非幾何變換： $g(x,y)=T(f(x,y))$ ， $g(x,y)$ 是目標(biāo)圖像框全。

? ? ? ? 非幾何變換屬于像素值的變換——灰度變換，沒有幾何位置的改變干签。

? ? ? ? 對(duì)于彩色原圖像 $f(x,y)$ 津辩，顏色值變換函數(shù) $T_r(f(x,y))、T_g(f(x,y))容劳、T_b(f(x,y))$ 唯一確定了非幾何變換： $g_r(x,y)=T_r(f(x,y))喘沿、g_g(x,y)=T_g(f(x,y))、g_b(x,y)=T_b(f(x,y))竭贩。$

離散非幾何變換的計(jì)算

? ? ? ? 簡(jiǎn)單變換——像素值一一對(duì)應(yīng)的映射蚜印，如偽彩色變換；復(fù)雜變換——同時(shí)考慮相鄰各點(diǎn)的像素值留量，通常通過模板運(yùn)算進(jìn)行窄赋。? ? ? ??

圖2.26 復(fù)雜變換示例

模板

? ? ? ? 1）定義哟冬。所謂模板就是一個(gè)系數(shù)矩陣；模板大幸浯隆：經(jīng)常是奇數(shù)浩峡，如 $3\times 3、5\times 5$ 等错敢；模板系數(shù)：矩陣的元素翰灾。? ? ??

? ? ? ? 2）模板運(yùn)算的定義。對(duì)于某圖像的子圖像： $\\\begin{matrix}Z_1&Z_2&Z_3 \\Z_4&Z_5&Z_6 \\Z_7&Z_8&Z_9 \end{matrix}$

$Z_5$ 的模板運(yùn)算公式為： $R=W_1Z_1+W_2Z_2+\cdots+W_9Z_9$ 叉跛， $W_1,W_2,\cdots,W_9$ 為加權(quán)系數(shù)挨队。

灰度變換

? ? ? ? 1）定義董栽。

????????定義1：對(duì)于輸入圖像f(x,y)，灰度變換T將產(chǎn)生一個(gè)輸出圖像g(x,y)咽块，g(x,y)的每一個(gè)像素值，均取決于f(x,y)中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的像素值： $g(x,y)=T(f(x,y))$ 虹蒋。

? ? ? ? 定義2：對(duì)于原圖像f(x,y)糜芳，灰度值變換函數(shù)T(f(x,y))，由于灰度值總是有限個(gè)（如0-255）魄衅，非幾何變換可定義為： $R=T(r)$ 峭竣，其中R，r在0-255之間取值晃虫。

? ? ? ? 2）實(shí)現(xiàn)皆撩。 $R=T(r)$ 定義了輸入像素值與輸出像素值之間的映射關(guān)系，通常通過查表來實(shí)現(xiàn)哲银。因此灰度值變換也被稱為L(zhǎng)UT（Look Up Table）變換扛吞。

? ? ? ? 3）示例。

? ??????圖像求反荆责、對(duì)比度拉伸滥比。

????????對(duì)比度展寬——突出圖像中關(guān)心的部分。方法： $g=\left\{\begin{array}{2}&\alpha f \quad\quad &0\leq f<a\\&\beta (f-a)+g_a &a\leq f<b\\&\gamma (f-b)+g_b &b\leq f<L\end{array}\right.$

圖2.27 對(duì)比度展寬方法示意圖

圖2.28 對(duì)比度展寬示例

????????灰度窗——只顯示指定灰度級(jí)范圍內(nèi)的信息做院。

? ? ? ? 灰度級(jí)切片——只保留感興趣的部分盲泛，其余部分置為0.

? ? ? ? 灰度級(jí)修正——通過記錄裝置把一景物變成一幅圖像時(shí)，景物上每一點(diǎn)所反射的光键耕，并不是按同一比例轉(zhuǎn)化成圖像上相應(yīng)點(diǎn)的灰度寺滚，靠近光軸的光要比遠(yuǎn)離光軸的光衰減得少一些；灰度級(jí)修正的目的是：使畫面中每個(gè)關(guān)心的細(xì)節(jié)信息通過灰度級(jí)修正之后屈雄，變得清晰可見村视。

圖2.29 灰度級(jí)修正示例

? ? ? ? 線性動(dòng)態(tài)范圍調(diào)整：作用是進(jìn)行亮暗限幅。

? ? ? ? 圖像輸入輸出的Gamma失真校正： $S=Cr^\gamma$ 酒奶。Gamma失真即灰度變化為非線性蚁孔、不夠順滑奶赔。1）校正圖像獲取設(shè)備（如照相機(jī)）對(duì)于圖像像素亮度相應(yīng)的非線性；2）校正圖像顯示設(shè)備（如顯示器）中輸入信號(hào)與亮度顯示之間的非線性關(guān)系勒虾；3）校正圖像中不同像素值顯示時(shí)的亮度感覺纺阔。

三、基本概念——灰度直方圖

? ? ? ? 灰度直方圖的概念在上一篇文章里說過了修然，不過當(dāng)時(shí)是網(wǎng)上找的笛钝，這里就再說一下劉定生老師上課時(shí)提到的，當(dāng)然內(nèi)容肯定是大同小異的愕宋。

? ? ? ? 定義：直方圖是用來表達(dá)一幅圖像灰度級(jí)分布情況的統(tǒng)計(jì)表玻靡。

圖3.1 灰度直方圖示例

圖中，橫坐標(biāo)表示灰度—— $r$ 中贝；縱坐標(biāo)為某一灰度值 $r_i$ 的像素個(gè)數(shù) $n_i$ 或稱之為 $r_i$ 出現(xiàn)的頻率囤捻。

? ? ? ? 從概率的觀點(diǎn)，灰度出現(xiàn)的頻率可看作其出現(xiàn)的概率邻寿，這樣直方圖就對(duì)應(yīng)于概率密度函數(shù) $p$ 蝎土，而概率分布函數(shù)就是直方圖的累積和，即概率密度函數(shù)的積分绣否，如圖3.2所示： $\\p(r)=\frac{dP(r)}{dr}\\P(r)=\int_{0}^{r} p(r)dr$

圖3.2 概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)示意圖

對(duì)于離散圖像：

$\\p(r_i)=\frac{n_i}{n}\\\sum_{i=0}^{k-1}p(r_i)=1$

彩色圖像的灰度直方圖——RGB各分量的直方圖分別顯示誊涯。

圖3.3 彩色圖像的灰度直方圖示例

? ? ? ? 直方圖的性質(zhì)。1）所有的空間信息全部丟失蒜撮；2）每一灰度值對(duì)應(yīng)的像素個(gè)數(shù)可直接得到暴构；3）任何一幅圖像，具有唯一對(duì)應(yīng)的直方圖段磨，但任何一個(gè)直方圖取逾，可能對(duì)應(yīng)多幅圖像；4）一幅圖像各子區(qū)的直方圖之和等于該全圖的直方圖苹支。

? ? ? ? 直方圖的用途砾隅。1）數(shù)字化參數(shù)。直方圖給出了一個(gè)簡(jiǎn)單可見的指示债蜜，用來判斷一幅圖像是否合理地利用了全部被允許地灰度級(jí)范圍琉用。一般一幅圖應(yīng)該利用全部或幾乎全部可能的灰度級(jí)，否則等于增加了量化間隔策幼。丟失的信息將不能恢復(fù)。2）邊界閾值選取奴紧。假設(shè)某圖像的灰度直方圖具有二峰性特姐，則表明這個(gè)圖像的較亮的區(qū)域和較暗的區(qū)域可以較好地分離，取二峰的中間點(diǎn)為閾值點(diǎn)黍氮，可以得到好的二值處理的結(jié)果唐含。

四浅浮、直方圖變換

基本理論

? ? ? ? 設(shè)連續(xù)圖像的概率分布為：

$\\\begin{array}{1}&P(r)=\lim_{\Delta r\to 0} \frac{A(r+\Delta r)-A(r)}{\Delta r}\quad\quad r——灰度 \\&\int_{r_{min}}^{r_{max}} P(r)dr=1\quad\quad 其中A為圖像的面積\end{array}$

? ? ? ? 對(duì)于離散圖像：

$\\\begin{array}{1}&P(r_i)=\frac{n_i}{n}\\&\sum_{i=0}^{k-1}P(r_i) =1\end{array}$

? ? ? ? 對(duì)[0,1]區(qū)間內(nèi)任意r值，按下式變換：

$\\s=T(r)$

? ? ? ? 上述變換式應(yīng)滿足條件： $(1)對(duì)于0\leq r\leq 1捷枯，有0\leq s\leq 1滚秩；(2)在0\leq r\leq 1區(qū)間內(nèi)，T(r)為單值單調(diào)增加淮捆。$ 這里的第一個(gè)條件保證了圖像的灰度級(jí)從白到黑的次序不變郁油，第二個(gè)條件則保證了映射變換后的像素灰度值在容許的范圍內(nèi)。

圖3.4 T(r)的一個(gè)示例

? ? ? ? 從s到r的反變換為： $\\ r=T^{-1}(s)\quad\quad 0\leq s\leq 1$

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=s%3DT(r)" alt="s=T(r)" mathimg="1">是單調(diào)增加的攀痊，由數(shù)學(xué)分析可知桐腌，它的反函數(shù) $r=T^{-1}(s)$ 也是單調(diào)函數(shù)。即反變換同樣滿足上述兩個(gè)條件苟径。

? ? ? ? 由概率論知案站，若 $P_r(r)$ 和變換函數(shù) $s=T(r)$ 已知， $r=T^{-1}(s)$ 是單調(diào)增長(zhǎng)函數(shù)棘街，則變換后的圖像灰度級(jí)的概率密度函數(shù) $P_s(s)$ 如下所示：

$\\P_s(s)=(P_r(r)\frac{dr}{ds})\vert _{r=T^{-1}(s)}$

? ? ? ? 直方圖變換技術(shù)正是通過選擇變換函數(shù) $T(r)$ 蟆盐，使目標(biāo)圖像的直方圖具有期望的形狀。

直方圖均衡

????????直方圖均衡方法的基本思想是使目標(biāo)圖像的直方圖具有平直的直方圖遭殉，從而改變圖像整體偏暗或整體偏亮石挂、灰度層次不豐富的情況。

????????直觀概念是對(duì)在圖像中像素個(gè)數(shù)多的灰度級(jí)進(jìn)行展寬恩沽，而對(duì)像素個(gè)數(shù)少的灰度級(jí)進(jìn)行縮減誊稚，從而達(dá)到清晰圖像的目的。

????????基本方法是通過灰度 $r$ 的概率密度函數(shù) $p(r_k)$ 罗心，求出灰度變換函數(shù) $T(r)$ 里伯，建立等值像素出現(xiàn)的次數(shù)與結(jié)果圖像像素值之間的關(guān)系。

? ? ? ? 形成一種自動(dòng)調(diào)節(jié)圖像對(duì)比度質(zhì)量的方法渤闷。

直方圖均衡化過程分析

? ? ? ? 設(shè)r和s分別表示原圖像灰度級(jí)和經(jīng)直方圖均衡化后的圖像灰度級(jí)疾瓮。為便于討論，對(duì)r和s進(jìn)行歸一化飒箭，使： $0\leq r,s\leq 1$ 狼电。

? ? ? ? 對(duì)于一幅給定的圖像，歸一化后灰度級(jí)分布在 $0\leq r\leq 1$ 范圍內(nèi)弦蹂。對(duì)[0, 1]區(qū)間內(nèi)的任一個(gè)r值進(jìn)行如下變換：

$\\s=T(r)$

該變換式應(yīng)滿足條件： $\\ \begin{array}{1}&(1)對(duì)于0\leq r\leq 1肩碟，有0\leq s\leq 1 \\&(2)在0\leq r\leq 1區(qū)間內(nèi)\end{array}$

直方圖均衡化算法

? ? ? ? 從s到r的反變換用下式表示：

$\\ r=T^{-1}(s)$

r的概率密度為 $P_r(r)$ ，s的概率密度可由 $P_r(r)$ 求出：

$\\P_s(s)=(P_r(r)\frac{dr}{ds})|_{r=T^{-1}(s)}$

假定變換函數(shù)為：

$\\s=T(r)=\int_0^{r}p_r(\omega )d\omega$

式中： $\omega$ 是積分變量凸椿，而 $\int_0^rp_r(\omega)d\omega$ 就是r的累積分布函數(shù)削祈。對(duì)式中的r求導(dǎo)，則：

$\\\frac{ds}{dr}=\frac{dT(r)}{dr}=p_r(r)$

再把結(jié)果代入前面公式，可有：

$\\\begin{array}{1}p_s(s)&=\left[p_r(r)\cdot\frac{dr}{ds}\right]_{r=T^{-1}(s)}\\&=\left[p_r(r)\cdot\frac{1}{ds/dr}\right]_{r=T^{-1}(s)}\\&=\left[p_r(r)\cdot\frac{1}{p_r(r)}\right]=1\end{array}$

由此可見髓抑，變換后變量s在其定義域內(nèi)的概率密度是均勻分布的咙崎。因此，用r的累積分布函數(shù)作為變換函數(shù)吨拍，可產(chǎn)生一幅灰度級(jí)分布具有均勻概率密度的圖像褪猛，其結(jié)果擴(kuò)展了像素取值的動(dòng)態(tài)范圍。

圖3.5 用累積分布函數(shù)作為變換函數(shù)的示例

? ? ? ? 從數(shù)學(xué)角度羹饰，直方圖均衡化處理是以累積分布函數(shù)變換法為基礎(chǔ)的直方圖修正法伊滋。

離散形式的直方圖均衡化

? ? ? ? 設(shè)一幅圖像的像元數(shù)為n，共有 $l$ 個(gè)灰度級(jí)严里， $n_k$ 代表灰度級(jí)為 $r_k$ 的像元的數(shù)目新啼，則第 $k$ 個(gè)灰度級(jí)出現(xiàn)的概率可表示為：

$\\P_r(r_k)=\frac{n_k}{n},\quad 0\leq r_k \leq 1,\quad k=0,1,\cdots,l-1$

變換函數(shù)T(r)可改寫為：

$\\s_k=T(r_k)=\sum_{j=0}^kP_r(r_j)=\sum_{j=0}^k\frac{n_j}{n},\quad 0\leq r_k\leq 1,k=0,1,\cdots,l-1$

均衡化后各像素的灰度值可直接由原圖像的直方圖算出。

算法

設(shè)f刹碾、g分別為原圖像和處理后的圖像燥撞。

? ? ? ? 1）求出原圖f的灰度直方圖，設(shè)為h迷帜。h為一個(gè)256維的向量物舒。

? ? ? ? 2）求出圖像f的總體像素個(gè)數(shù)： $N_f=m\times n（m，n分別為圖像的長(zhǎng)和寬）$ 戏锹；計(jì)算每個(gè)灰度的像素個(gè)數(shù)在整個(gè)圖像中所占的百分比： $hs(i)=h(i)/N_f\quad(i=0,1,\cdots,255)$ 冠胯。

? ? ? ? 3）計(jì)算圖像各灰度的累積分布 $hp$ ： $hp(i)=\sum_{k=0}^ihs(k)\quad(i=1,2,\cdots,255)$ 。

圖3.6 計(jì)算

hp

示例

? ? ? ? 4）求出新圖像g的灰度值： $\\\begin{array}{1}&g=255\cdot hp(i)\quad &i=1,2,\cdots,255 \\&g=0&i=0\end{array}$

圖3.7 求出新圖像示例

最后編輯于：2020.07.04 13:29:31

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