機(jī)器學(xué)習(xí)之線性回歸(1.3.1)

(readme:1.3.1 以“.”為區(qū)分可以分為三部分碳默,第二部分該部分有共有幾個(gè)小節(jié)侵俗,第三部分為當(dāng)前為第幾小節(jié))

? ? ? ?這里主要介紹的是線性回歸的理論佑刷,將在線性回歸(1.3.3)中具體介紹線性回歸的開發(fā)流程玖媚。

1.什么是線性回歸

? ? ? ?在統(tǒng)計(jì)學(xué)中挠唆,線性回歸(linear regression)是利用稱為線性回歸方程的最小二乘函數(shù)對一個(gè)或多個(gè)自變量和因變量之間關(guān)系進(jìn)行建模的一種回歸分析贿条。這種函數(shù)是一個(gè)或多個(gè)稱為回歸系數(shù)的模型參數(shù)的線性組合。只有一個(gè)自變量的情況稱為簡單回歸增热,大于一個(gè)自變量情況的叫做多元回歸(multivariate linear regression)整以。(來自維基百科)? ? ? ? ? ? ?簡單的說,線性回歸就是給出一個(gè)點(diǎn)集D峻仇,用一個(gè)函數(shù)去擬合這個(gè)點(diǎn)集公黑,并且使得點(diǎn)集與擬合函數(shù)間的誤差最小。

? ? ? ?對于給定數(shù)據(jù)集\mathbb{D}=\left\{\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}_{1}, \tilde{y}_{1}\right),\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}_{2}, \tilde{y}_{2}\right), \cdots,\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}_{N}, \tilde{y}_{N}\right)\right\}摄咆,其中\overrightarrow{\mathbf{x}}_{i}=\left(x_{i, 1}, x_{i, 2}, \cdots, x_{i, n}\right)^{T} \in \mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^{n}, \tilde{y}_{i} \in \mathcal{Y} \subseteq \mathbb{R}凡蚜。

線性回歸模型試圖找到一個(gè)參數(shù)\overrightarrow{\mathbf{w}}來表述特征值與目標(biāo)之間的關(guān)系:\overrightarrow{y}=f(\overrightarrow{\mathbf{x}})=\overrightarrow{\mathbf{w}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{x}}+b? ? ? ? (1)

為了表示方便 可以將(1)式寫成:

f(\overrightarrow{\mathbf{x}})=\overrightarrow{\mathbf{w}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{x}}=\sum_{j=0}^{N} w_{j}\cdot x_{j}? ? ? ? (2)? ?

i表示第 i 個(gè)樣本,j 表示樣本中第 j 個(gè)屬性吭从。

? ? ? ? 注意:上面定義中 j 的取值范圍是1~n朝蜘; (2)式中 j 的取值范圍是0~n,此時(shí)\overrightarrow{\mathbf{x}}_{i}=\left(1,x_{i, 1}, x_{i, 2}, \cdots, x_{i, n}\right)?此時(shí)w_{0}即為(1)式中的偏移量b。

? ? ? ? 形如f(\overrightarrow{\mathbf{x}})=\overrightarrow{\mathbf{w}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{x}}+b?如果特征向量\overrightarrow{\mathbf{x}}?只有一個(gè)信息字段特征1 影锈,則該問題被稱作一元線性回歸(simple linear regression?)芹务;如果特征向量\overrightarrow{\mathbf{x}}?有多個(gè)字段信息特征, 該問題也被稱作多元線性回歸(multivariate linear regression)鸭廷。

1.2 線性回歸的損失函數(shù)

? ? ? ?在線性回歸的過程中枣抱,預(yù)測結(jié)果和真實(shí)結(jié)果是存在誤差的,誤差的大小通常用損失函數(shù) 表示辆床。在回歸里面每個(gè)方法都有自己的損失函數(shù)佳晶。所以本文中(1)式可以寫成\overrightarrow{y}=f(\overrightarrow{\mathbf{x}}) + \xi =\overrightarrow{\mathbf{w}}^{T} \cdot \overrightarrow{\mathbf{x}}+b +\xi ? ? ? ? (3)?

(2)式中b表示函數(shù)的偏置,為了表示方便可以將(2)中f(\overrightarrow{\mathbf{x}})一樣寫成\overrightarrow{y}=f(\overrightarrow{\mathbf{x}}) + \xi =\overrightarrow{\mathbf{w}}^{T} \cdot \overrightarrow{\mathbf{x}} +\xi ? ? ? ? (4)

一般來說讼载,在機(jī)器學(xué)習(xí)算法表示中轿秧,更習(xí)慣用(2)式和(4)來表示。

1.3 廣義線性回歸的定義

? ? ? ? 在現(xiàn)實(shí)生活中并不是所有的特征向量都能夠用簡單的用特征與權(quán)重的線性組合表示咨堤,如下圖菇篡,函數(shù)與某些特征向量之間可能是平方、立方等的關(guān)系一喘,這種情況的回歸方程被稱作廣義線性回歸驱还。

圖.1? 廣義線性回歸舉例

? ? ? ??f(\overrightarrow{\mathbf{x}})=\overrightarrow{\mathbf{w}}^{T} \cdot \mathbf{\phi}(\overrightarrow{\mathbf{x}})=w_{0}+\sum_{j=1}^{N} w_{j} \phi_{j}(x)其中凸克,w_{j} 是系數(shù)议蟆,w是這個(gè)系數(shù)組成的向量,它的影響著不同維度的\phi_{j}(x)在回歸函數(shù)中的影響度萎战。例如咐容,對于房子的售價(jià)來說,表示房子朝向的權(quán)重w_{face}一定比表示房子面積權(quán)重的w_{area}更小蚂维。

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