動態(tài)規(guī)劃之最長公共子序列

問題描述

給定兩個字符串，求解兩個字符串的最長公共子序列。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB批糟，則這兩個字符串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA

算法求解

設 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是兩個序列捏雌，將 X 和 Y 的最長公共子序列記為LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一個最優(yōu)化問題。因為笆搓，我們需要找到X 和 Y中最長的那個公共子序列性湿。而要找X 和 Y的LCS，首先考慮X的最后一個元素和Y的最后一個元素满败。
1）如果 xn=ym肤频，即X的最后一個元素與Y的最后一個元素相同，這說明該元素一定位于公共子序列中算墨。因此宵荒，現(xiàn)在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)
LCS(Xn-1净嘀，Ym-1)就是原問題的一個子問題报咳。為什么叫子問題？因為它的規(guī)模比原問題小挖藏。（小一個元素也是小嘛....）
為什么是最優(yōu)的子問題暑刃？因為我們要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最長公共子序列啊。膜眠。岩臣。最長的！Ｏ颉架谎！換句話說，就是最優(yōu)的那個辟躏。（這里的最優(yōu)就是最長的意思）
2）如果xn != ym谷扣，這下要麻煩一點，因為它產生了兩個子問題：LCS(Xn-1捎琐，Ym) 和 LCS(Xn抑钟，Ym-1)
因為序列X 和 序列Y 的最后一個元素不相等嘛，那說明最后一個元素不可能是最長公共子序列中的元素嘛野哭。在塔。
LCS(Xn-1，Ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找拨黔。
LCS(Xn蛔溃，Ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長贺待，那誰就是 LCS（X,Y）徽曲。用數(shù)學表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)麸塞，LCS(Xn秃臣，Ym-1)}
由于條件 1) 和 2) 考慮到了所有可能的情況。因此哪工，我們成功地把原問題 轉化 成了 三個規(guī)模更小的子問題奥此。

代碼求解

public class LCSLength {
    public static void lcsLength(int m,int n, char[] x,char[] y,int[][]c,int[][]b){
        int i,j;
        for(i=1;i<=m;i++)c[i][0]=0;
        for(j=1;j<=n;j++)c[0][j]=0;
        for(i=1;i<=m;i++){
            for(j=1;j<=n;j++){
                if(x[i]==y[j]){
                    c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; //兩個字符串的最后一個字母相同，根絕遞推式得到此關系
                    b[i][j]=1; //用b[i][j]記錄是哪一種情況雁比，后面在構造最長公共字串有用
                }
                   // 兩個字符串最后一個字母不相同的情亂
                else if(c[i-1][j]>c[i][j-1]){
                    c[i][j]=c[i-1][j];
                    b[i][j]=2;
                }
                else{
                    c[i][j]=c[i][j-1];
                    b[i][j]=3;
                }
            }
        }
        System.out.println(c[m][n]);
        
    }
   //構造最長公共字串
    public static void LCS(int i,int j,char[]x,int[][]b){
        if(i==0||j==0) return;
        if(b[i][j]==1){
            LCS(i-1,j-1,x,b);
            System.out.print(x[i]+" ");
        }
        else if(b[i][j]==2)
            LCS(i-1,j,x,b);
        else 
            LCS(i,j-1,x,b);
    }
    public static void main(String[] args){
        char[] x = {'0','A','B','C','B','D','A','B'};
        char[] y = {'0','B','D','C','A','B','A'};
        int[][] c = new int[x.length][y.length];
        int[][] b = new int[x.length][y.length];
        lcsLength(7,6,x,y,c,b);
        LCS(7,6,x,b);
    }
}