CG中的仿射(affine transformation)和法線變換

Note

這是對MIT Foundation of 3D Computer Graphics第3章的翻譯冠王，本章講解了仿射變換的基本概念，變換矩陣的由來以及分解舌镶、通用法線變換的推導(dǎo)等內(nèi)容柱彻。本書內(nèi)容仍在不斷的學(xué)習(xí)中豪娜，因此本文內(nèi)容會不斷的改進。若有任何建議哟楷，請不吝賜教ninetymiles@icloud.com

注：文章中相關(guān)內(nèi)容歸原作者所有瘤载，翻譯內(nèi)容僅供學(xué)習(xí)參考。
另：Github項目CGLearning中擁有相關(guān)翻譯的完整資料卖擅、內(nèi)容整理鸣奔、課程項目實現(xiàn)。

已經(jīng)完成的章節(jié)

仿射（并行）（Af?ne）

3.1 點和幀（Points and Frames）

將點和矢量看作是兩種不同的概念是有用的惩阶。點表示在幾何世界中的某種固定位置挎狸，而矢量表示世界中兩個點之間的運動。我們會使用兩種不同的標記區(qū)分點和矢量断楷。矢量 $\vec{v}$ 會有一個箭頭在頂部伟叛，而點 $\tilde{p}$ 會有波浪線在頂部。

如果我們認為矢量表達兩點之間的運動脐嫂，那么矢量操作（加法和標量乘法）就有明確的意義。如果我們把兩個矢量加起來紊遵，我們在表達兩個運動的串接（concatenation）账千。如果我們用一個標量乘以矢量，我們就在通過某個因子增加或減少運動暗膜。零矢量（zero vector）為一個特別矢量匀奏，其代表沒有運動。

這些操作對于點不會真正產(chǎn)生任何意義学搜。把兩個點加起來應(yīng)該表示什么含義娃善，比如說，哈佛廣場加上劍橋肯德爾廣場（這里是兩個地點名稱）是什么瑞佩？一個點被一個標量相乘又指得什么聚磺？什么是北極點的7倍？是否存在一個零點（zero point）和其它點的行為不一樣炬丸？

存在一種在兩個點之間確實有意義的操作：減法瘫寝。當我們從另一個點減去一個點，我們應(yīng)該會得到從第二個點到第一個點路徑之間的運動稠炬，
$\tilde{p} - \tilde{q} = \vec{v}$

反過來說焕阿，如果我們從一個點開始，然后移動一個矢量（位移）首启，我們應(yīng)該會到達另一個點暮屡。
$\tilde{q} + \vec{v} = \tilde{p}$

對一個點應(yīng)用線性變換同樣有意義。例如我們可以想象一個點圍繞某個固定原點的旋轉(zhuǎn)毅桃。而且平移點也是有意義的（但是這個概念對于矢量沒有任何意義）褒纲。要表達平移准夷，我們需要開發(fā)仿射變換（或并行變換 affine transformation）的概念。要完成這個任務(wù)外厂，我們借助 $4 \times 4$ 矩陣冕象。這些矩陣不僅對于處理本章的仿射（并行）變換很方便，而且對于描述（隨后在第十章會看到的）相機投射變換也是很有幫助汁蝶。

3.1.1 幀（Frames）

在仿射空間（affine space）中渐扮，我們描述任何點 $\tilde{p}$ 首先從某個原點 $\tilde{o}$ 開始，然后給其加上一個矢量的線性組合掖棉。這些矢量使用坐標 $c_i$ 和一個矢量基（basis of vectors）來表示墓律。

$\tilde{p} = \tilde{o} + \sum_i c_i\vec_i = \begin{bmatrix} \vec幔亥_1 & \vec耻讽_2 & \vec_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{bmatrix} = \vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c}$
此處 $1\tilde{o}$ 被定義為 $\tilde{o}$ 帕棉。

而下面這行表達
$\begin{bmatrix} \vec针肥_1 & \vec_2 & \vec香伴_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} = \vec{\mathbf{f}}^t$
被稱為一個仿射幀（affine space）慰枕；它就像一個基（basis），但是由3個矢量和一個點組成即纲。

為了借助一個幀指定一個點具帮，我們使用擁有4個條目（entries）的4部件坐標矢量（coordinate 4-vector），其中最后一個條目總為1低斋。要借助一個幀表達一個矢量蜂厅，我們使用一個讓0作為第4坐標的坐標矢量（也就是說，它只是基矢量之和）膊畴。當我們建模針孔相機的行為時掘猿，要表達幾何形狀（還有 $4 \times 4$ 矩陣），4部件坐標矢量的使用都會很便利唇跨。

3.2 仿射變換和 $4\times4$ 矩陣（Af?ne transformations and Four by Four Matrices）

相似于線性變換的情形术奖，我們想要通過在一個4部件坐標矢量和一個幀之間放置一個合適的矩陣的形式，來定義出仿射變換的概念轻绞。

讓我們將仿射矩陣定義為一個如下形式的 $4 \times 4$ 矩陣
$\begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

然后我們對一個點 $\tilde{p} = \vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c}$ 應(yīng)用仿射變換如下
$\begin{array}{rl} & \begin{bmatrix} \vec采记_1 & \vec_2 & \vec政勃_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow & \begin{bmatrix} \vec唧龄_1 & \vec_2 & \vec奸远_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{bmatrix} \end{array}$

或者簡寫為
$\vec{\mathbf{f}}^t\mathbf{c} \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tA\mathbf{c}$

我們可以驗證上面表達的第二行描述了一個有效的點既棺，因為乘法
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{bmatrix}$
給出了我們一個帶有1作為第4條目的4部件坐標矢量讽挟。另一方面，我們也能夠看到乘法
$\begin{bmatrix} \vec丸冕_1' & \vec耽梅_2' & \vec_3' & \tilde{o} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec胖烛_1 & \vec眼姐_2 & \vec_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
此處 $0\tilde{o}$ 被定義為 $\vec{0}$ 佩番，給出了一個由3個矢量和一個原點組成的有效幀众旗。

同時也要注意到，如果矩陣的最后一行不是 $[0,0,0,1]$ 這種形式趟畏，變換就通常給出一個無效的結(jié)果贡歧。

類似于線性變換的情形，我們可以針對一個幀應(yīng)用仿射變換（affine transformation）為
$\begin{bmatrix} \vec赋秀_1 & \vec利朵_2 & \vec_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} \vec猎莲_1 & \vec哗咆_2 & \vec_3 & \tilde{o} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

或者簡寫為
$\vec{\mathbf{f}}^t \Rightarrow \vec{\mathbf{f}}^tA$

3.3 對點應(yīng)用線性變換（Applying Linear Transformations to Points）

假如我們有一個表達線性變換的 $3\times3$ 矩陣益眉。我們可以將其嵌入 $4\times4$ 矩陣的左上方角落，并且借助這個更大的矩陣對一個點（或者幀）應(yīng)用變換姥份。
$\begin{array}{rl} & \begin{bmatrix} \vec郭脂_1 & \vec_2 & \vec澈歉_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow & \begin{bmatrix} \vec展鸡_1 & \vec_2 & \vec埃难_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c & 0 \\ e & f & g & 0 \\ i & j & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{bmatrix} \end{array}$

這個變換在 $c_i$ 上擁有相同效果莹弊，就如之前其所參與的線性變換。如果我們把點 $\tilde{p}$ 當作從原點 $\tilde{o}$ 偏移矢量 $\vec{v}$ 涡尘，我們就明白這個變換和應(yīng)用線性變換到偏移矢量上具有相同效果忍弛。因而，以例子來說考抄，如果 $3\times3$ 矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣细疚，這個變換將圍繞原點旋轉(zhuǎn)這個點（參考圖示 $\text{Figure 3.1}$ ）。正如下面我們將在第4章中看到的川梅，當對一個點應(yīng)用一個線性變換疯兼，幀的原點位置扮演了一個重要的角色然遏。

我們借助下列縮寫用于描述一個 $4\times4$ 矩陣，其只是應(yīng)用了一個線性變換吧彪。
$L= \begin{bmatrix}l & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
此處 $L$ 是一個 $4\times4$ 矩陣待侵， $l$ 是一個 $3\times3$ 矩陣，右上角的0代表 $3\times1$ 由0組成的矩陣姨裸，右下角的1是一個標量(scalar)秧倾。

Figure3.1.png

Figure 3.1: 對一個點應(yīng)用線性變換±惭铮可以通過應(yīng)用線性變換到始于原點的偏移矢量上來完成中狂。

3.4 平移（Translations）

可以對點應(yīng)用平移變換是很有用的。這種變換不是線性的（參考課后練習(xí)6)扑毡。仿射變換的主要新威力就是在線性變換之上表達平移的能力胃榕。實際上，如果我們應(yīng)用變換
$\begin{array}{rl} & \begin{bmatrix} \vec瞄摊_1 & \vec勋又_2 & \vec_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow & \begin{bmatrix} \vec换帜_1 & \vec楔壤_2 & \vec_3 & \tilde{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1 \end{bmatrix} \end{array}$

我們看到變換在坐標上的效果為
$\begin{array}{rcl} c_1 & \Rightarrow & c_1 + t_x \\ c_2 & \Rightarrow & c_2 + t_y \\ c_3 & \Rightarrow & c_3 + t_z \end{array}$

針對平移惯驼，我們使用簡寫
$T= \begin{bmatrix} i & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

此處 $T$ 為一個 $4\times4$ 矩陣蹲嚣， $i$ 為一個 $3\times3$ 同一矩陣（identity matrix），右上角的 $t$ 為一個表達平移的 $3\times3$ 矩陣祟牲，左下角的0表示一個由0組成的 $1\times3$ 矩陣隙畜，右下角的1為一個變量。

注意如果 $\mathbf{c}$ 在第4坐標中為0说贝，如此就表達了一個矢量而不是一個點议惰，從而不會被平移所影響。

3.5 匯總（Putting Them Together）

任何仿射矩陣（affine matrix）都可以被分解為線性部分和平移部分乡恕。
$\begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c & 0 \\ e & f & g & 0 \\ i & j & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & d \\ 0 & 1 & 0 & h \\ 0 & 0 & 1 & l \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

或者簡寫為
$\begin{bmatrix} l & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \tag{3.1}$
$A = TL \qquad\quad \tag{3.2}$

注意因為矩陣乘法不是可互換順序的言询，乘法 $TL$ 中的順序很關(guān)鍵。一個仿射矩陣（affine matrix）也可以借助一個不同的平移矩陣 $T'$ 被分解為 $A=LT'$ （線性部分是不會發(fā)生變化的）傲宜，但是我們不會使用這種形式运杭。

如果 $L$ ， $A$ 的線性部分函卒，是一個旋轉(zhuǎn)县习，我們把這種形式記作
$A=TR \tag{3.3} \qquad\quad$

在這種情形中，我們稱 $A$ 矩陣為剛體矩陣(rigid body matrix)，它所對應(yīng)的變化躁愿，剛體變換（rigid body transform）叛本，簡稱 $RBT$ 。剛體變換保留了矢量之間的點積（dot product）彤钟，基的手（螺旋）性（handedness）来候，還有點之間的距離。

3.6 法線（Normals）

在計算機圖形學(xué)中逸雹，我們經(jīng)常借助表面法線確定一個表面點如何被著色营搅。所以當表面點經(jīng)歷由矩陣 $A$ 表示的仿射變換時，我們需要懂得表面法線是如何變換的梆砸。

你可能猜測我們只要用矩陣 $A$ 乘以法線的坐標就可以了转质。例如，如果我們旋轉(zhuǎn)幾何形狀帖世，法線會以完全相同的方式旋轉(zhuǎn)休蟹。但是事實上使用矩陣 $A$ 不總是正確的。例如在圖示 $\text{Figure 3.2}$ 中日矫，我們順著 $y$ 軸擠壓一個球體赂弓。在這種情形中，實際的法線變換會順著 $y$ 軸拉伸而不是擠壓哪轿。在這里我們要推導(dǎo)出可以應(yīng)用在所有情形中的正確變換盈魁。

Figure3.2.png

Figure 3.2: 左側(cè)：藍色的形狀擁有以黑色表示的法線。中間：現(xiàn)在在軸方向上被縮小同時（未標準化的）法線在軸方向被拉伸窃诉。右側(cè)：法線被重新標準化從而給出被擠壓形狀的正確的單位法線杨耙。

讓我們定義位于點上平滑表面的法線為一個矢量，這個矢量正交于那個點表面的切線平面飘痛。切線平面是矢量平面珊膜，這個矢量平面通過臨近的（距離無限小地）表面點之間的減法來定義，所以敦冬，針對法線 $\vec{n}$ 和兩個非常接近的點 $\tilde{p}_1$ 和 $\tilde{p}_2$ ，我們有如下表達唯沮。
$\vec{n}.(\tilde{p}_1 - \tilde{p}_2) = 0$

在某種固定的正交標準化坐標系中脖旱，這可以被表達為
$\begin{bmatrix} nx & ny & nz & * \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x0 \\ y0 \\ z0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = 0 \tag{3.4}$
在這個公式中我們在前面的插槽中使用 $'*'$ 是因為它被0乘，從而和結(jié)果不相關(guān)介蛉。

假設(shè)存在一個由仿射矩陣 $A$ 表示的仿射變換萌庆，我們把這個變換應(yīng)用到所有的點上。什么矢量會和任意的切線矢量保持正交狀態(tài)币旧？讓我們重寫方程式(3.4)為
$（\begin{bmatrix} nx & ny & nz & * \end{bmatrix}A^{-1})(A \left( \begin{bmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x0 \\ y0 \\ z0 \\ 1 \end{bmatrix} \right)) = 0$

如果我們定義 $[x',y',z',1]^t=A[x,y,z,1]^t$ 為被變換點的坐標践险，同時讓 $[nx',ny',nz',*]=[nx,ny,nz,*]A^{-1}$ ，那么我們就得到如下表達
$（\begin{bmatrix} nx' & ny' & nz' & * \end{bmatrix})( \left( \begin{bmatrix} x1' \\ y1' \\ z1' \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x0' \\ y0' \\ z0' \\ 1 \end{bmatrix} \right)) = 0$

并且我們看到 $[nx',ny',nz']^t$ 是被變換的幾何體法線的坐標（要依靠伸縮變換來獲得標準態(tài)）。

注意因為我們不關(guān)注 $'*'$ 值巍虫，因而我們不需要關(guān)注 $A^{-1}$ 的第四列彭则。同時，因為A是一個仿射矩陣（affine matrix）占遥，所以 $A^{-1}$ 也是俯抖，進而剩下三列的第四行全部是0，從而可以安全地被忽略瓦胎。因而芬萍，參考簡寫方式
$A= \begin{bmatrix} l & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

我們可以得到這種關(guān)系
$\begin{bmatrix} nx' & ny' & nz' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx & ny & nz \end{bmatrix}l^{-1}$

此時調(diào)換整個表達式，我們就獲得最終表達式
$\begin{bmatrix} nx' \\ ny' \\ nz' \end{bmatrix} = l^{-t}\begin{bmatrix} nx \\ ny \\ nz \end{bmatrix}$
此處 $l^{-t}$ 是 $3\times3$ 矩陣的反轉(zhuǎn)加調(diào)換（等價于調(diào)換加反轉(zhuǎn)）搔啊。注意如果 $l$ 為一個旋轉(zhuǎn)矩陣柬祠，且這個矩陣是正交標準化的，那么它的反轉(zhuǎn)加調(diào)換事實上仍然是 $l$ 负芋。在這種情形中法線的坐標表現(xiàn)的就像點的坐標一樣漫蛔。然而對于其它線性變換，法線的表現(xiàn)就不相同了示罗。（參考圖示 $\text{Figure 3.2}$ 惩猫。）同時也要注意到A的平移部分對法線沒有影響。

最后編輯于：2020.03.04 15:37:08

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末蚜点，一起剝皮案震驚了整個濱河市轧房，隨后出現(xiàn)的幾起案子，更是在濱河造成了極大的恐慌绍绘，老刑警劉巖奶镶，帶你破解...
沈念sama閱讀 217,907評論 6贊 506
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件，死亡現(xiàn)場離奇詭異陪拘，居然都是意外死亡厂镇，警方通過查閱死者的電腦和手機，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 92,987評論 3贊 395
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進店門左刽，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來捺信，“玉大人，你說我怎么就攤上這事欠痴∑浚” “怎么了？”我有些...
開封第一講書人閱讀 164,298評論 0贊 354
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵喇辽，是天一觀的道長掌挚。經(jīng)常有香客問我，道長菩咨，這世上最難降的妖魔是什么吠式？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 58,586評論 1贊 293
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任陡厘，我火速辦了婚禮，結(jié)果婚禮上特占，老公的妹妹穿的比我還像新娘糙置。我一直安慰自己，他們只是感情好摩钙，可當我...
茶點故事閱讀 67,633評論 6贊 392
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布罢低。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般胖笛。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪网持。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開封第一講書人閱讀 51,488評論 1贊 302
城市分裂傳說
那天长踊，我揣著相機與錄音功舀，去河邊找鬼。笑死身弊，一個胖子當著我的面吹牛辟汰，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播阱佛，決...
沈念sama閱讀 40,275評論 3贊 418
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼帖汞，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼！你這毒婦竟也來了凑术？” 一聲冷哼從身側(cè)響起翩蘸，我...
開封第一講書人閱讀 39,176評論 0贊 276
萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎淮逊，沒想到半個月后催首，有當?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
沈念sama閱讀 45,619評論 1贊 314
?護林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡泄鹏，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點故事閱讀 37,819評論 3贊 336
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年郎任，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
茶點故事閱讀 39,932評論 1贊 348
活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情串结，我是刑警寧澤，帶...
沈念sama閱讀 35,655評論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站，受9級特大地震影響韩脏，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏缩麸。R本人自食惡果不足惜铸磅，卻給世界環(huán)境...
茶點故事閱讀 41,265評論 3贊 329
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧阅仔，春花似錦吹散、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 31,871評論 0贊 22
一樁弒父案空民，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽。三九已至羞迷，卻和暖如春界轩，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背衔瓮。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 32,994評論 1贊 269
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工浊猾，沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人热鞍。一個月前我還...
沈念sama閱讀 48,095評論 3贊 370
代替公主和親
正文我出身青樓葫慎，卻偏偏與公主長得像，于是被迫代替她去往敵國和親薇宠。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子偷办，可洞房花燭夜當晚...
茶點故事閱讀 44,884評論 2贊 354