第一章：統(tǒng)一性（之三）
拉里·L·齊默曼于2015年9月9日 發(fā)表
非歐幾何
在1850年之前察皇，上帝經(jīng)常被認為是數(shù)學的創(chuàng)造者。然后非歐幾何的發(fā)展使數(shù)學到達了青春期泽台，并導致數(shù)學家們什荣，正如莫里斯·克萊因所言，“他們必須設法站在自己的立場上怀酷。他們不再記錄自然稻爬，他們解釋⊥梢溃”（25）
事實上桅锄，如果有哪一部分的數(shù)學能夠被歸于人類的發(fā)明琉雳，那它就是非歐幾何。但說那些“發(fā)明者”正在“解釋”自然友瘤，很顯然的是不正確的翠肘，因為這些幾何圖形是在抽象的純智力練習中揭開的，從“如果…………辫秧？”開始束倍。他們是數(shù)學家在證明歐幾里得的第五公設是依賴于其他公設的不成功嘗試中的副產(chǎn)品。一種方法是否定假設茶没，并檢查由此產(chǎn)生的矛盾中的藴涵式肌幽。
在1850年之前，上帝經(jīng)常被認為是數(shù)學的創(chuàng)造者抓半。
歐幾里的公設等價那個假設喂急，也就是在一個平面上，通過給定的點而不是給定的直線笛求，只有一條線平行于直線廊移。反過來，這就等價于假設三角形的三個內(nèi)角之和等于兩個直角的之和探入。由此產(chǎn)生的幾何圖形有時被稱為“拋物線的（parabolic）”狡孔。
約翰·波爾約（John Bolyai ）和尼古拉·I.羅巴切夫斯基（Nikolai I. Lobachevsky ）獨立地提出了一列不矛盾的狀態(tài)——一種新的幾何——通過假設至少有兩條平行線，或者蜂嗽，相應地苗膝，三角形的內(nèi)角之和小于兩個直角的和。這種幾何被稱為“雙曲幾何”植旧。后來辱揭，喬治·F.B. 黎曼（Georg F.B. Riemann ）通過假設沒有平行線，或者三角形的內(nèi)角之和大于兩個直角的和病附，發(fā)現(xiàn)了另一種幾何（橢圓形的）问窃。這種幾何是在球面上的。（實際上完沪，黎曼不僅改變了歐幾里得的第五公設域庇，而且改變了至少一個歐幾里得的暗示假設。）
這些幾何圖形——它們的假設相互矛盾覆积，但內(nèi)部機構始終一致——在數(shù)學的統(tǒng)一性中似乎是一個缺陷听皿。他們似乎支持這樣一種觀點，即在自己的想象范圍內(nèi)宽档，數(shù)學家完全是自由的尉姨，可以構建自己喜歡的世界。他想要想象的是他自己的隨想曲（caprice）雌贱；他并沒有發(fā)現(xiàn)宇宙的基本原理啊送，也沒有了解到上帝的想法偿短。（26）
居住在19世紀中期的數(shù)學世界中的人或許可以原諒他們?nèi)狈h見，因為他們急于將獨特的新幾何引入到所有數(shù)學的所有權中馋没。畢竟昔逗，如果數(shù)學的統(tǒng)一性是虛構的，那么也許人真的能獨立地發(fā)明出篷朵。在這種假設下勾怒，它應該反映出自由和破碎，在其中新的幾何就是“展覽品?A”声旺。
注視歷史的邊緣笔链，克萊因應該知道得更多，并且事實證明腮猖，他確實是這樣的鉴扫。在他的《西方文化中的數(shù)學》一書中，有幾頁來自他先前的聲明澈缺，他承認坪创，“......在一種公理的基礎之上，用其他三種幾何的定理導致專門的投影幾何定理這種方式姐赡，建立投影幾何是可能的莱预。換句話說，所有四個幾何的內(nèi)容現(xiàn)在都被整合到一個和諧的整體中了项滑∫谰冢”（27）
他暗指的是菲利克斯·克萊因（Felix Klein）的工作。菲利克斯·克萊因在凱利（Cayley ）和卡爾·G.C.馮·施陶特（Karl G.C. Von Staudt）所建立的基礎上證明了枪狂，如果考慮數(shù)學背景在內(nèi)的話危喉，在“其他三種幾何”之間沒有矛盾。在不同的參考系中使用“平行”而不去識別它們(就像一些數(shù)學家所做的那樣)摘完，就相當于在不給背景的情況下使用“驅(qū)動器”這樣的詞——高爾夫姥饰？道路傻谁？汽車孝治？籃球？牛审磁？當上下文框架被識別時谈飒，困難就消失了。正如凱利（Cayley）所宣稱的态蒂，“投射幾何是所有的幾何杭措。”（28）
關于數(shù)學的統(tǒng)一性和那種在并不知道那條軌跡將引領他們到何方的情況下數(shù)學家們真正遵循的是某個人的強有力的思想所留下的蒸汽軌跡的觀點的進一步證據(jù)來自H.W.特恩布爾（H.W. Turnbull.）钾恢。提到那之后手素，特恩布爾說鸳址，馮·施陶特“揭示了為所有類型的幾何所共用的堅實基礎∪常”
最值得注意的是稿黍，盡管使用了不必要的假設，但帕普斯（Pappus）和笛莎格（Desargues）實際上已經(jīng)觸及了幾何的基本定理崩哩。他們?yōu)檎_的結果提供出了錯誤的理由巡球，同樣的事情在微積分中也經(jīng)常發(fā)生。（29）
P.s.
1-括號里的數(shù)字為注釋邓嘹；
2-注釋及英語原文請參考網(wǎng)站：https://answersingenesis.org/answers/books/truth-transcendent/
