復(fù)合事件Compound Events, 互不相容事件 Mutually Exclusive Events 和窮盡事件 Collectively Exhaustive Events
假設(shè)有兩個(gè)事件A和B, 一個(gè)復(fù)合事件是2個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單事件的組合. 如果A和B是簡(jiǎn)單事件, 那么A∪B表示出現(xiàn) A或B 的事件,類(lèi)似的,A∩B表示A和B同時(shí)都出現(xiàn)的事件.
如果A和B沒(méi)有任何共享的元素(即A∩B=?且P(A∩B)=0), 那么A和B是互不相容(mutually exclusive)或者互斥(disjoint).
2個(gè)或多個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件中,出現(xiàn)任意個(gè)事件的概率, 就是出現(xiàn)事件的概率的并集(union). 因?yàn)榛コ飧怕蕸](méi)有共同的事件, 互斥事件的概率的并集就是單個(gè)事件的概率的和(加起來(lái)).
假設(shè)事件A和事件B覆蓋了樣本空間S中所有事件,則事件A和B是窮盡事件
A∪B = S 且 P(A∪B) = 1
這引出概率論的另一個(gè)基本定律:
如果兩個(gè)事件, A和B, 是窮盡事件, 則事件(A或B中任何一個(gè)發(fā)生)的概率就是這兩個(gè)事件的概率之和
P(A 或or B) = P(A) + P(B)
如果事件A的結(jié)果對(duì)事件B沒(méi)有影響, 則認(rèn)為這兩個(gè)是獨(dú)立事件(比如說(shuō),扔一次硬幣,第一次不會(huì)對(duì)第二次的結(jié)果有影響). 這引出概率論的下一個(gè)基本定律:
乘法定律:如果兩個(gè)事件A和B是獨(dú)立事件,那么這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的事件的概率就是這兩個(gè)事件的概率的乘積
P(A 且and B) = P(A) × P(B)
對(duì)于一系列事件發(fā)生的概率就是這些事件的交集(intersection ∩)
示例1
求扔兩個(gè)硬幣時(shí), 一個(gè)得到正面, 一個(gè)得到反面的概率.
解:
- 實(shí)驗(yàn): 扔兩個(gè)硬幣
- 樣本空間S: 扔一個(gè)硬幣的可能結(jié)果是{正, 反}; 如果扔兩個(gè)硬幣(a和b)我們就要考慮所有可能出現(xiàn)的結(jié)果, 由硬幣a和硬幣b的結(jié)果的笛卡爾積得到
樣本空間S = {{a正,a反} × {b正,b反}} = {(a正, b正), (a正, b反), (a反, b正), (a反, b反)}
- 事件(A∩B): 一個(gè)正面,一個(gè)反面, 符合這個(gè)條件的事件,就叫A吧,(即A={(a正, b反), (a反, b正)}.
回到概率P的公式定義,可以說(shuō):
P(A) = 所求的結(jié)果數(shù)量 / 結(jié)果總數(shù)
= |A| / |S|
= 2 / 4 = 1 / 2
示例2
設(shè)有事件A,其概率為P(A) = 2/5, 和事件B, 其概率為P(B) = 4/5. 如果事件(A或B)的概率是3/5, 求事件(A且B)的概率:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
P(A ∩ B) = 2/5 + 4/5 - 3/5 = 3/5
