今天給學生上數(shù)字邏輯第一節(jié)課弄抬，主要講了數(shù)制，后面簡單提及了原碼宪郊、反碼和補碼掂恕，碰到了兩個問題：第一，十進制數(shù)轉八進制數(shù)废膘，學生練習時卡殼竹海，不知道無從下手；第二丐黄，原本以為原碼、反碼孔飒、補碼應該是一年級甚至中學時就應該解決的問題灌闺，實際上原來根本不是這么回事。中學老師即使講過坏瞄，估計也是對付考試的方式簡單提及桂对，并未從本質上進行講解（那時候他們忙著對付高考，哪有閑工夫講這些題外的知識）鸠匀。
真值（原碼）
首先蕉斜，我們明白計算機中的數(shù)都是用二進制表示的，如3用二進制表示為：
(3)10 = (11)2
那如果-3呢缀棍？
顯然宅此，最直接的辦法是用0或1來表示符號。很自然的爬范，我們可以在數(shù)值前加符號位來表示父腕，用0表示正數(shù)，用1表示負數(shù)青瀑。為了描述方便璧亮，我們后面統(tǒng)一用8位字長來舉例描述萧诫，如：
(3)10 = (00000011)2
(-3)10 = (10000011)2
對于8位二進制數(shù)，原碼的表示范圍是：[(11111111)2, (01111111)2]枝嘶，即[-127, 127].
從直覺上帘饶，貌似已經(jīng)解決了正負數(shù)的表示問題。但是群扶，問題來了尖奔，第一個問題是：0的表示不唯一（計算機的準確性和唯一性遭遇挑戰(zhàn)）：
0 = (+0)10 = (00000000)2
=(-0)10 = (10000000)2
隨之而來的是第二個問題，如3-5如何處理穷当？如果用二進制的減法規(guī)則
(00000011)2 - (00000101)2 = (11111110)2 (原碼中(11111110)2 = (-126)10)
如果按照3-5=3+（-5）提茁，則
(00000011)2 - (10000101)2 = (10001000) 2 = (-8)10
也就是說，不論按照原碼的減法和原碼的加法計算馁菜，我們不僅沒有得到正確的結果茴扁，而且兩種方式得到的結果還不一致。在計算機中汪疮，為了降低電路設計的復雜性峭火，所有的減法都是按照加法來計算的，但是從上面的結果看智嚷，這些結果無疑都是錯誤的卖丸；并且0有兩種表示方法，這就給計算中帶來了困難盏道，在計算時到底是用+0還是用-0稍浆？計算過程中的本質問題是：符號位參與計算，不可避免地會導致計算錯誤猜嘱，即原碼中的符號位是無法參與計算的衅枫。
正確的做法應該是：如果用原碼計算減法操作，我們需要先判斷誰的絕對值大朗伶，如果被減數(shù)的絕對值大弦撩，則計算結果的符號位為0，反之則為1论皆，結果中的數(shù)值應該是用絕對值大得減去絕對值小的即為正確結果益楼。如3-5的計算過程應該是：由于3<5,所以結果為負，符號位為1,5-3=2点晴，所以結果為-2感凤。如果是這樣的計算過程，計算機應該設計絕對值比較電路觉鼻，并且設計減法電路俊扭。很顯然，這會極大地增加電路設計的成本坠陈，并且增加運行中的功耗萨惑。
反碼
為了應對原碼計算中的問題捐康，有人發(fā)現(xiàn)反碼可以解決一些問題。首先庸蔼，我們看反碼的定義：
正數(shù)的反碼與原碼一樣解总，負數(shù)的反碼為：符號位取1，數(shù)值部分按位取反姐仅。
如-5可表示為(11111010)2花枫。 這樣，上例中的計算似乎可以順利解決了
3 - 5 = 3 + (-5) = (00000011)2 + (11111010)2 = (11111101) 2 = (-2)10掏膏，結果正確劳翰，ok了嗎？
那我們再看下面一個例子：-3 - 5 = -3 + （-5）
-3 + (-5) = (11111100)2 + (11111010)2 = (11110110)2 = -9
其結果顯然是錯誤的馒疹，即當符號位存在進位時佳簸，其結果不正確。那結果是否可以修正呢颖变？還是看-3 + （-5）生均，我們看其演化過程，如果符號位的進位不丟掉腥刹，則結果為：
-3 + (-5) = (11111100)2 - (11111010)2 = (111110110)2
如果此時马胧，我們將符號位進位加到最后一位，這結果變?yōu)?11110111)2=-8衔峰。也就是說佩脊，補碼運算允許符號位參與運算，但是朽色，當符號位存在進位時邻吞，我們需要對符號位進行修正，將進位加到計算結果的最后一位葫男，修正得到正確結果。但是崔列，這樣同樣需要設計判斷符號位是否存在的電路梢褐？
另外，在反碼中赵讯，也沒有解決0=+0=-0的二義性問題盈咳。
補碼
為此，又有人根據(jù)模運行的規(guī)律边翼，提出了補碼的規(guī)則鱼响。首先，我們看補碼的定義是什么组底？
正數(shù)的補碼與原碼相同丈积，負數(shù)的補碼為：符號位取1筐骇，數(shù)值部分為真值取反，然后再加1江滨，即[Y]補=2n+Y铛纬，這里Y是整數(shù), 2n為模M
如-3=(11111101)2, 0=-0=(11111111+1)2=(00000000)2 = +0，即對于0的問題唬滑，補碼將+0和-0統(tǒng)一起來了告唆，解決了關于0的二義性問題。
接著我們看3-5和-3-5兩個計算的問題
3-5=3+(-5)= (00000011)2 + (11111011)2 = (11111110)2 = -2
-3-5=(11111101)2 + (11111011)2 = (11111000)2 = -8
即補碼中的符號位參與運算晶密，完美地解決了原碼中和補碼中存在的問題擒悬。那為什么補碼能正確解決這些問題呢？下面我們給出一般的證明稻艰。
為什么補碼能正確進行計算
要證明補碼為什么能正確進行加法運算懂牧，其實需要證明：[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補
證明：
1）若X > 0, Y > 0, 這X+Y > 0,且X=[X]補, Y = [Y]補,所以[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補；
2）若X > 0, Y < 0, 則X=[X]補连锯， [Y]補=M+Y(mod M)归苍，所以[X]補 + [Y]補=M+X+Y，這里需要討論兩種情況：a）若X+Y>=0, 則M可舍掉运怖， [X]補 + [Y]補 = M+X+Y = [X+Y]補;b）若X+Y < 0,由補碼定義拼弃， [X]補 + [Y]補 = M+X+Y = [X+Y]補
3）若X < 0, Y > 0, 同2）
4）若X < 0, Y < 0, 則X+Y < 0. [X]補 = M + X (mod M), [Y]補 = M + Y (mod M), [X]補+[Y]補= M + X + M + Y = M + (M + X + Y) = M + [X+Y]補 = [X + Y]補(mod M)
后面這段證明，感興趣的童鞋要好好體會摇展，這個才是正確理解補碼運算的關鍵吻氧。
