反射群，根系與格

MATHTH 筆記

1 反射與反射群

設 $(V,(\cdot,\cdot))$ 為實數(shù)域 $\mathbb{R}$ 上的歐氏空間鸵隧，對于任意的 $\alpha \in V,\alpha \neq 0$ , 我們稱映射
$r_{\alpha} : V \to V, x \mapsto r_{\alpha}(x)=x-\frac{2(x,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha$
為 $V$ 關(guān)于法向為 $\alpha$ 的鏡面反射张弛，或者稱其為由 $\alpha$ 確定的鏡面反射荒典。

命題：設 $r_{\alpha}$ 為歐式空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上的鏡面反射，則

$r_{\alpha}(\alpha)=-\alpha$
$r_{\alpha}^{1}=id$ , 即 $r_{\alpha}^{-1}=r_{\alpha}$ .
$r_{\alpha} : V \to V$ 是線性映射吞鸭，即
$r_{\alpha}(x+y) = r_{\alpha}(x) + r_{\alpha}(y), \forall x, y \in V \\ r_{\alpha}(kx) = kr_{\alpha}(x), \forall k \in \mathbb{R}, x \in V$

且
$\left (r_{\alpha}(x)寺董，r_{\alpha}(y)\right)=(x,y), \forall x, y \in V$
也就是說反射是保持距離的。

我們稱歐氏空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上若干反射生成的子群為反射變換群刻剥。

2. 根系

設 $(V,(\cdot,\cdot))$ 為實數(shù)域 $\mathbb{R}$ 上的歐氏空間螃征， $\Phi$ 為 $V$ 上的若干非零元構(gòu)成的集合，如果 $\Phi$ 滿足

$\Phi$ 張成整個向量空間 $V$ ,
若 $\alpha \in \Phi$ , $k \in \mathbb{R}$ , 則 $k\alpha \in \Phi$ 當且僅當 $k=\pm 1$ ,
對于任意的 $\alpha \in \Phi$ , $r_{\alpha}(\Phi)=\Phi$ ,
對于任意的 $\alpha, \beta \in \Phi$ , 有

$<\beta,\alpha>=\frac{2(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}透敌，$

則我們稱 $\Phi$ 為空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上的一組根系.

注意：

根系中不包含零向量
根系在在向量空間 $V$ 中不是線性無關(guān)的盯滚。
整性的要求是相當苛刻的踢械，其動機在于對于根系內(nèi)部的向量而已，一個向量關(guān)于另一個向量的反射只能用這個向量減去另一個向量的整數(shù)倍魄藕，這個要求就是個很強的要求内列。
當然對于任意給定的歐氏空間，其實的根系一定有無窮多個背率，因此如何選擇一組比較典型的是很關(guān)鍵的话瞧。

例：設
$\Phi=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},\}$
構(gòu)成歐氏平面 $(\mathbb{R}^2,(\cdot,\cdot)$ 的一組根系，其中
$e_{1}=(1,0),e_{2}=(-1,0),\\ e_{3}=(0,1),e_{2}=(0,-1).$
例對于任意的 $\alpha \in \mathbb{R},$$\alpha \neq 0$ ,
$\Phi =\{\alpha,-\alpha \}$
都是歐氏直線 $(\mathbb{R},(\cdot,\cdot)$ 上的根系寝姿。

設 $\Phi$ , 為歐氏空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上的一個根系交排， $\Delta$ 為 $\Phi$ 的一個非空子集，如果 $\Delta$ 滿足

$\Delta$ 構(gòu)成歐氏空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ 的一組基饵筑，
$\Phi$ 可以被 $\Delta$ 線性表出埃篓，且每個根的表出系數(shù)都同為非正或者同為非負的整數(shù)，即若 $\Delta=\{\alpha_i\}$ 根资，則

$\beta=\sum_{i}k_{i}\alpha_{i}, \forall \beta \in \Phi,$

且
$k_{i} \geq 0,\forall i,\quad 或者 k_{i} \leq 0 \forall i$
則我們稱 $\Delta$ 為 $\Phi$ 的一個基礎根系架专。

必須要注意：西方人的語言的邏輯是有毛病的，基礎根系不是根系玄帕，因此前面的基礎兩個字不能用中文語言的邏輯來理解部脚。當然，一個根系是否存在基礎根系現(xiàn)在看來不是一目了然的事情裤纹。

設 $\Phi$ , 為歐氏空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ 上的一個根系委刘， $r \in V$ , 如果
$r \notin \cup_{\alpha \in \Phi}P_{\alpha},$
則我們稱 $r$ 為關(guān)于根系 $\Phi$ 的正則元，其中
$P_{\alpha}=\{x \in V \mid (x,\alpha)=0\}$
為以 $\alpha$ 為法向的鏡面.

必須要注意：對于任意一個向量空間鹰椒，其有限多個子空間是并不稱整個空間的钱雷，這個是維數(shù)的問題，所以向量空間的線性運算是相當重要的吹零。

命題：設 $r \in V$ 是關(guān)于根系 $\Phi$ 的正則元罩抗，則
$\Phi =\Phi^{+}(r) \cup \Phi^{+}(r),$
其中
$\Phi^{+}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) > 0\}\\ \Phi^{-}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) < 0\}\\$
注 $\Phi^{-}(r)=-\Phi^{+}(r)$ .

例：對于歐氏平面 $(\mathbb{R}^2,(\cdot,\cdot)$ 的一組根系
$\Phi=\{e_{1}=(1,0),e_{2}=(-1,0),e_{3}=(0,1),e_{2}=(0,-1)\}.$
而言， $r=(1,1)$ 關(guān)于根系 $\Phi$ 而言是一個正則元灿椅，此時
$\Phi^{+}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) > 0\}=\{e_{1}=(1,0),e_{2}=(-1,0)\},\\ \Phi^{-}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) < 0\}=\{e_{3}=(0,1),e_{2}=(0,-1)\}.\\$
設 $r \in V$ 是關(guān)于根系 $\Phi$ 的正則元套蒂，我們稱 $\alpha \in \Phi^{+}(r)$ 在 $\Phi^{+}(r)$ 中是可分解的，如果存在 $\beta_1,\beta_2 \in \Phi^{+}(r)$ , 使得
$\alpha=\beta_1+\beta_2,$
否則我們稱 $\alpha \in \Phi^{+}(r)$ 在 $\Phi^{+}(r)$ 中是不可分解的茫蛹。

定理：設 $r \in V$ 是關(guān)于歐氏空間 $(V,(\cdot,\cdot))$ 的一組根系 $\Phi$ 的正則元操刀，我們記 $\Delta (\Phi)$ 為 $\Phi^{+}(r)$ 中不可分解的根所構(gòu)成的集合，則 $\Delta (\Phi)$ 構(gòu)成根系 $\Phi$ 的一組基礎根系婴洼。

注意：這個定理給出了我們?nèi)绾螐囊唤M根系中挑選出基礎根系的辦法骨坑，它同時解決了存在性和構(gòu)造性的問題。

例：對于歐氏平面 $(\mathbb{R}^2,(\cdot,\cdot)$ 的一組根系
$\Phi=\{e_{1}=(1,0),e_{2}=(-1,0),e_{3}=(0,1),e_{2}=(0,-1)\}.$
而言， $r=(1,1)$ 關(guān)于根系 $\Phi$ 而言是一個正則元欢唾，此時
$\Phi^{+}(r) =\{\alpha \in \Phi \mid (\alpha,r) > 0\}=\{e_{1}=(1,0),e_{2}=(-1,0)\}$
就是 $\Phi$ 的一組基礎根系且警，當然，如果選取別的正則元礁遣，當然可能會挑出不一樣的基礎根系出來斑芜。

格

最后編輯于：2021.06.25 10:25:31

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