矩陣奇異分解

定理 設

非奇異,則存在正交矩陣P和Q牲蜀，使得

其中

證明 因為A非奇異，所以

為實對稱正定矩陣择浊，于是存在正交矩陣Q使得喝噪，


為

的特征值

設x為非0特征向量，因為

又因A非奇異挂谍，則Ax不等于0，所以

注意 一般的對稱矩陣的特征值沒有這個性質

令

P為正交矩陣瞎饲，且使

稱式（3）為正交矩陣A的正交對角分解

引理：

1口叙、設

則

是對稱矩陣，且其特征值是非負實數(shù)嗅战。（參照上面的證明）
2妄田、

證明

具有相同的解，解空間秩為r,所以相等仗哨，都為n-r
3形庭、設

則A=0的充要條件是

證明：

定義 設A是秩為r的mxn實矩陣，

的特征值為

則稱

為A的奇異值

奇異值分解定理

設A是秩為r(r>0)的mxn的實矩陣厌漂，則存在m階正交矩陣U與n階正交矩陣V，使得

其中

為矩陣A的全部奇異值

證明：設實對稱

的特征值為

存在n階正交矩陣V使得
將V分為r列與n-r列
則
設

的列向量是兩兩正交的單位向量斟珊，可以將其擴充為m列正交矩陣


這里U是


的特征向量

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