如何保持分類模型具有類內(nèi)聚斂号涯、類間分離的特性？

sofmax loss

$L_s=-\sum\limits_{i=1}^m log\frac{e^{W_{y_i}^T x_i + b_{y_i}}}{\sum\limits_{j=1}^n e^{W_j^T x_i + b_j}}$
softmax loss是最常用的組件之一锯七，但是缺乏鼓勵特征更具辨識性链快，這種廣泛使用的損失對模型的優(yōu)化效果是有限的。

Modify-softmax

$L=-log(\frac{e^{\parallel W_{y_i} \parallel \parallel x_i \parallel cos(\theta_{y_i}) + b_{y_i}}}{\sum\limits_{j} e^{\parallel W_j \parallel \parallel x_i \parallel cos(\theta_j) + b_{i}}})$
我們將權(quán)值歸一化眉尸，即令 $\parallel W \parallel=1$ 域蜗，并使偏置為0，則損失函數(shù)變?yōu)椋?br> $L_{modified}=\frac{1}{N}\sum\limits_i -log(\frac{e^{\parallel x_i \parallel cos(\theta_{y_i,i})}}{\sum\limits_j e^{\parallel x_i \parallel cos(\theta_{j,i})}})$
盡管Modify-softmax函數(shù)可以通過角度邊界學習特征效五，但是這些特征仍然不具有很強的辨識性地消。

Center loss

最小化類內(nèi)距離，并且保持類間距離是提升模型分類精度的關(guān)鍵畏妖。
$L_c=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{m}\parallel x_i - c_{y_i} \parallel_2^2$

$c_{y_i}$ 代表類別 $y_i$ 的特征中心脉执，它會隨著特征的變化而改變。

首先戒劫，采用mini-batch更新特征中心半夷，而不是整個訓練數(shù)據(jù)集婆廊。每一輪迭代，計算每個類特征的平均巫橄；其次淘邻，為了避免部分錯誤樣本導(dǎo)致訓練過程出現(xiàn)較大的抖動，本次采用 $\alpha$ 控制特征中心的更新湘换。

因此最終的損失函數(shù)為：
$L=L_s + \lambda L_c=-\sum\limits_{i=1}^m log\frac{e^{W_{y_i}^T x_i + b_{y_i}}}{\sum\limits_{j=1}^n e^{W_j^T x_i + b_j}} + \frac{\lambda}{2}\sum\limits_{i=1}^m \parallel x_i - c_{y_i} \parallel_2^2$

Contrastive-center loss

我們建模的時候宾舅，希望模型特征具有類內(nèi)聚集、類間分隔的特點彩倚，而中心損失只考慮了類內(nèi)聚集筹我，未能考慮類間分隔。針對上面的問題帆离，本文考慮：1）訓練樣本到類別中心的距離最短蔬蕊；2）訓練樣本與其非對應(yīng)類別中心的距離之和最大。
$L_{ct-c}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^m \frac{\parallel x_i - c_{y_i} \parallel_2^2}{(\sum\limits_{j=1,j\ne y_i}^k \parallel x_i - c_j \parallel_2^2) + \delta}$

$k$ 代表類別個數(shù)哥谷； $\delta$ 是一個常量岸夯，用于防止分母為0，其默認為1们妥。

L-softmax

為了實現(xiàn)類內(nèi)聚集猜扮、類間分隔，一個直觀的想法就是將樣本與參數(shù)之間的分離特性轉(zhuǎn)變?yōu)榉群徒嵌?br> $W_c x = \parallel W_c \parallel_2 \parallel x \parallel_2 cos(\theta_c))$
在softmax損失函數(shù)中监婶，因為softmax損失采用cosine距離作為分類預(yù)測的份破镰，因此預(yù)測標簽由每個類的角度相似性決定。因此压储，本文的目的是根據(jù)角相似性將SoftMax損失歸納為更一般的大范圍SoftMax（L-SoftMax）損失，從而導(dǎo)致所學特性之間可能存在更大的角可分離性源譬。
這里通過將一個預(yù)設(shè)常數(shù)m乘以樣本和真實類之間的角度來實現(xiàn)的
$L_{L-Softmax}=-log(\frac{e^{\parallel W_{y_i} \parallel \parallel x_i \parallel \psi(\alpha \theta_{y_i})}}{e^{\parallel W_{y_i} \parallel \parallel x_i \parallel \psi(\alpha \theta_{y_i})} + \sum\limits_{j\ne y_i} ^ K e^{\parallel W_j \parallel \parallel x_i \parallel cos(\theta_j)}})$
其中
$\psi(\theta)=\{\begin{array}{l} cos(m\theta), 0 \le \theta \le \frac{\pi}{m}\\D(\theta), \frac{\pi}{m}\lt \theta \le \pi \end{array}\}$
$m$ 越大集惋，分類邊界越大攘乒，目標函數(shù)也越難訓練者冤。
該方式具有如下3個特點：

它鼓勵類與類之間有角度的決策界限喳挑，生成更具辨別性的特性捅儒。
它通過定義一個更困難的學習目標括改，對過擬合問題提出不同的觀點介劫，一定程度上避免了過擬合争群。
L-SoftMax不僅有利于分類問題课梳，也有利于驗證問題理卑，即理想情況下學習到特性的最小類間距離應(yīng)大于最大類內(nèi)距離翘紊。

A-softmax

作者提出了一種通過角度量化不同類之間分隔距離的方法，并且由一項額外的約束項顯式的加強不同類的角度差異藐唠。
$L_{A-Softmax}=-log(\frac{e^{\parallel x_i \parallel cos(\alpha \theta_{y_i})}}{e^{ \parallel x_i \parallel cos(\alpha \theta_{y_i})} + \sum\limits_{j\ne y_i} ^ K e^{ \parallel x_i \parallel cos(\theta_j)}})$
模型通過angular softmax損失和歸一化損失進行聯(lián)合監(jiān)督帆疟，因此全局的損失函數(shù)為
$L(\theta, W)=L_s(\theta, W) + \lambda L_r(W)$
其中鹉究，angular softmax損失促使采樣表征 $x_i$ 向聚簇中心 $W_{y_i}$ 聚集
$L_s(\theta, W)=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N -log\frac{{e^{\parallel x_i \parallel_2 cos(\phi_{i,y_i})}}}{\sum\limits_j {e^{\parallel x_i \parallel_2 cos(\phi_i,j)}}}$

而，歸一化項促使不同的聚簇中心 $W_j$ 和 $W_i$ 盡量分離
$L_r(W)=\frac{1}{C}\sum\limits_i \max\limits_{j\ne i}\frac{W_i W_j}{\parallel W_i \parallel . \parallel W_j \parallel}$

AM-softmax

作者針對softmax loss提出了一種新的加性角度的margin踪宠，它具有直觀的吸引力并且更好的解釋性自赔。
作者對softmax函數(shù)中 $\psi$ 定義為加性margin
$\psi(\theta)=cos\theta -m$
對比A-softmax和L-softmax，該方式更簡單直接柳琢。假定
$x=cos\theta_{y_i}=\frac{W_{y_i}^T f_i}{\parallel W_{y_i} \parallel \parallel f_i \parallel }$
因此模型前向傳播只需要計算 $\Phi(x)=x-m$ 绍妨，后向梯度計算 $\phi^{\prime}(x)=1$ 。

因此最終的損失函數(shù)為
$L_{AMS}=-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n log \frac{e^{s.(cos\theta_{y_i}-m)}}{e^{s.(cos\theta_{y_i}-m)} + \sum\limits_{j=1,y\ne y_i}^c e^{s.cos\theta_j}}=-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n log \frac{e^{s.(W_{y_i}^T f_i - m)}}{e^{s.(W_{y_i}^T f_i -m) } + \sum\limits_{j=1,j \ne y_i}^c e^{s W_j^T f_i}}$

SM-softmax

SM-softmax通過一個非負實數(shù) $m$ 調(diào)整softmax前向計算柬脸，而不改變后向計算他去。因此，它不僅可以調(diào)整所需的連續(xù)soft margin肖粮，而且很容易通過典型的隨機梯度下降進行優(yōu)化孤页。由于A-softmax中 $\alpha$ 是正整數(shù)，因此該函數(shù)不能遍歷所有的角度涩馆。為了處理這樣的問題行施，作者引入soft margin，并定義為
$W_1^T x \ge W_1^T x - m \gt W_2^T x$
其中魂那， $m$ 是非負實數(shù)蛾号。
$L_i=-log(\frac{e^{W_{y_i}^T x_i-m}}{e^{W_{y_i}^T x_i -m} + \sum\limits_{j\ne y_i} e^{W_j^T x_i}})$

該函數(shù)的優(yōu)點：

首先， $m$ 可以遍歷所有的期望margin涯雅，包括硬間隔 $\alpha$ 鲜结。
其次，SM-softmax損失實現(xiàn)起來比較容易活逆。

Triplet Loss

Triplet loss訓練的目標是 $L=max(d(a,p)-d(a,n) + margin, 0)$

同一個標簽下精刷，不同樣本的embedding空間相互靠近
不同標簽下，不同樣本的embedding空間相互分離

根據(jù)定義可以將triplet loss分為三類

Easy triplets
$L=0$ 蔗候，即 $d(a,p)+margin < d(a,n)$ 怒允，這種情況不需要優(yōu)化，天然 $<anchor, positive>$ 的距離小于 $<anchor, negative>$ 锈遥。
Hard triplets
$positive \rightarrow$ anchor距離大于 $negative \rightarrow anchor$ 纫事，即 $d(a,n) < d(a, p)$
Semi-hard triplets
$d(a,p) < d(a, n) < d(a,p) + margin$ ，即 $<anchor, negative>$ 的距離很近所灸，但是有一個margin丽惶。

假設(shè)輸入樣本量 $B=PK$ ，其中 $P$ 代表類別個數(shù)爬立， $K$ 代表類別下樣本個數(shù)钾唬。

Batch All
$L_{BA}(\theta;X)=\overbrace{\sum\limits_{i=1}^P\sum\limits_{a=1}^K}^{all-anchors}\overbrace{\sum\limits_{p=1,p \ne a}^K}^{all-pos}\overbrace{\sum\limits_{j=1,j \ne i}^P \sum\limits_{n=1}^K}^{all-negatives}[m+d_{j,a,n}^{i,a,p}]_+$
$d_{j,a,n}^{i,a,p}=D(f_{\theta}(x_a^i),f_{\theta}(x_p^i))-D(f_{\theta}(x_a^i), f_{\theta}(x_n^j))$

選擇所有有效的triplets，并對hard 和semi-hard triplets樣本損失取平均。
- 一個重要的點就是不考慮相對較為容易的triplets樣本(這些樣本的損失為0)知纷，對他們?nèi)∑骄鶗沟脫p失非常小壤圃。
- 這可以生成個triplets樣本
  - $PK$ 代表anchor數(shù)量
  - $K-1$ 代表每個anchor包含的positive樣本
  - $PK?K$ 代表可能的negative樣本
Batch Hard
$L_{BH}(\theta;X)=\overbrace{\sum\limits_{i=1}^P \sum\limits_{a=1}^K}^{all-anchors}[m + \overbrace{\max\limits_{p=1...K}D(f_{\theta}(x_a^i), f_{\theta}(x_p^i))}^{hardest-positive}-\underbrace{\min\limits_{j=1...P,n=1...K,j\ne i}D(f_{\theta}(x_a^i),f_{\theta}(x_n^j))}_{hardest-negative}]_+$

在一個batch中，針對每一個anchor琅轧，選擇最難的positive(距離最大的 $d(a,p)$ )和最難的negative樣本伍绳。
- 從樣本中，我們可以生成 $PK$ 個triplets樣本乍桂。
- 選定的triplets樣本是batch中最難的冲杀。

Pairwise Constrain Loss

$S_{i,j}(\tau - D_{\phi}^2(x_i, x_j)) \gt \gamma$
其中， $0<\gamma<\tau$ 睹酌。上式可以轉(zhuǎn)化為
$\frac{S_{i,j}+1}{2}max\{0, \gamma-\tau+D_{\phi}^2(x_i,x_j)\} + \frac{1-S_{i,j}}{2}max\{0, \gamma + \tau - D_{\phi}^2(x_i, x_j)\}$
在原始的softmax特征空間中权谁，相同類別樣本的距離可能大于不同類別的距離。在Pairwise約束loss中憋沿，相似樣本Pair的距離小于間隔減去常量 $\tau-\gamma$ 旺芽。不相似的pair距離大于 $\tau+\gamma$ 。
先前的contrastive loss辐啄，約束類內(nèi)距離為0采章、類間距離大于一個常量。它也可以看作是PCL的一個特例
$\frac{S_{i,j}+1}{2}max\{0, D_{\phi}^2(x_i,x_j)\} + \frac{1-S_{i,j}}{2}max\{0, m - D_{\phi}^2(x_i, x_j)\}$
但是相似pair的距離逼近0壶辜，這樣的假設(shè)太強可能不太適合真實環(huán)境悯舟。
最終的PCL損失函數(shù)定義為
$arg \min\limits_{\phi} L_{PC}=L_{pair}+L_{regularization}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^M g(\gamma - S_{i,j}(\tau - D_{\phi}^2(x_i, x_j))) + \frac{\gamma}{2M}\sum\limits_{l=1}^N (\parallel W^{(l)} \parallel _F ^2)$
其中
$L_{pair}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^M g(\gamma - S_{i,j}(\tau - D_{\phi}^2(x_i, x_j)))$
其中， $M$ 代表pair的數(shù)量砸民，而 $g(x)$ 是一個更通用的logistic損失函數(shù)抵怎。
$g(x)=\frac{1}{\beta}log(1 + exp(\beta x))$

G-softmax

single-label classification

$p_i=\frac{exp(\overbrace{x_i}^{activation} + \overbrace{\lambda \Phi(x_i;\mu_i,\delta_i)}^{distribution term})}{\sum\limits_{j=1}exp(x_j + \lambda \Phi(x_j;\mu_j,\delta_j))}$

其中， $\lambda$ 是控制CDF寬度的參數(shù)岭参。如果 $\lambda=0$ 則該函數(shù)恢復(fù)為原始的softmax函數(shù)反惕。 $\Phi$ 是高斯分布的CDF，
$\Phi(x_i;\mu_i,\delta_i)=\frac{1}{2}erf(\frac{-\sqrt{2}(\mu_i-x_i)}{2\delta_i}) +\frac{1}{2}$
其中演侯，
$erf(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-z}^z e^{-t^2}dt$
與原始的softmax不同承璃，G-softmax考慮了特征的分布。這樣處理有兩個好處蚌本，1）它可以逼近各種各樣的分布，例如：訓練樣本上的每個類隘梨。而softmax函數(shù)僅從當前觀察樣本中學習程癌；2）它可以直接量化類內(nèi)緊湊性和類間可分性。

multi-label classification

$l=-\sum\limits_{i=1}^m y_i log(\frac{1}{1+exp(-x_i)}) + (1 - y_i) log(1 - \frac{1}{1 + exp(-x_i)})$
與僅僅采用 $x_i$ 作為輸入不同轴猎，考慮 $x_i^+$ 和 $x_i^-$ 作為模型輸入嵌莉。其中， $x_i^+$ 代表正向特征捻脖，用于計算特征屬于類別 $i$ 的概率锐峭。 $x_i^-$ 代表負向的特征中鼠，用于計算特征屬于非 $i$ 類的概率。

$l=-\sum\limits_{i=1}^m y_i log(\frac{1}{1 + exp(-x_i^+)})+(1-y_i)log(\frac{1}{1+exp(-x_i^-)})$
因此沿癞，G-softmax 損失函數(shù)可以定義為

$l=-\sum\limits_{i=1}^m y_i log(\frac{1}{1+exp(-x_i^+ - \lambda \Phi(x_i^+;\mu_i^+,\delta_i^+))}) + (1-y_i)log(1-\frac{1}{1+exp(-x_i^- - \lambda\Phi(x_i^-;\mu_i^-,\delta_i^-))})$

Virtual Softmax

作者提出Virtual Softmax援雇，通過添加一個虛擬的負類來加強特征的表征能力，從而學習到的特征具有類內(nèi)緊湊椎扬、類間分類的特點惫搏。添加虛擬負類源于自然和直觀的動機，帶來了比softmax更強的約束效果蚕涤。該方法能夠在訓練過程中筐赔，自動迭代更新，并且不會帶來計算負擔和內(nèi)存消耗揖铜。

針對監(jiān)督算法茴丰，添加額外的類別是一個大膽且合理的想法，用于加強模型特征的判別性能天吓。
$L_i=-log\frac{e^{W_{y_i}^T X_i}}{\sum\limits_{j=1}^{C+K} e^{W_j^T X_i}} = -log\frac{e^{\parallel W_{y_i} \parallel \parallel X_i \parallel cos \theta_{y_i}}}{\sum\limits_{j=1}^{C+K} e^{\parallel W_j \parallel \parallel X_i \parallel cos \theta_j}}$
理論上贿肩， $K$ 越大，特征特性越好失仁。然而實際應(yīng)用中尸曼，訓練的樣本是有限的，總的類別數(shù)量是不變的萄焦，因此用真實存在的附加類來擴大角度是困難的控轿。一個最麻煩的問題是，由于訓練前類anchor向量 $W$ 的隨機初始化和優(yōu)化過程中參數(shù)更新的動態(tài)性拂封，使得我們不能在原來相鄰的類之間準確地插入額外的類茬射。
為了解決上面的問題，作者插入單個動態(tài)負類到原始的softmax函數(shù)中冒签。該負類由當前訓練樣本 $x_i$ 構(gòu)造在抛，因為沒有真實的數(shù)據(jù)屬于這個虛擬的負類，因此它僅僅作為負類存在萧恕。因此最終的Virtual Softmax定義為
$L=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N L_i=-\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N log\frac{e^{W_{y_i}^T X_i}}{\sum\limits_{j=1}^C e^{W_j^T X_i} + e^{W_{virt}^T X_i}}$
其中
$W_{virt}=\frac{\parallel W_{y_i} \parallel X_i}{\parallel X_i \parallel}$
模型的目標是新增虛擬類別之后刚梭，當前特征對應(yīng)的類仍然是最大概率的類別
$W_{y_i}^T X_i \ge max\underbrace{(W_1^T X_i...W_C^T X_i,W_{virt}^T X_i)}$

參考文獻

A Discriminative Feature Learning Approach for Deep Face Recognition
RegularFace: Deep Face Recognition via Exclusive Regularization
Contrastive-Center Loss For Deep Neural Networks
SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition
Large-Margin Softmax Loss for Convolutional Neural Networks
Soft-Margin Softmax for Deep Classification
Correcting the Triplet Selection Bias for Triplet Loss
Co-Representation Learning For Classification and Novel Class Detection via Deep Networks
Robust Classification with Convolutional Prototype Learning
Partially Supervised Graph Embedding for Positive Unlabelled Feature Selection
G-softmax: Improving Intra-class Compactness and Inter-class Separability of Features
Virtual Class Enhanced Discriminative Embedding Learning
FaceNet: A Unified Embedding for Face Recognition and Clustering
In Defense of the Triplet Loss for Person Re-Identification

最后編輯于：2019.08.12 15:22:20

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