The Sleeping Beauty Problem
睡美人自愿參加一個(gè)實(shí)驗(yàn)靠欢，她被告知以下規(guī)則：
實(shí)驗(yàn)人員將在星期天使她入睡，并將投擲硬幣決定采用何種后續(xù)實(shí)驗(yàn)程序。
如果硬幣正面朝上，實(shí)驗(yàn)人員將在星期一喚醒她俯艰，然后問她，現(xiàn)在覺得那枚實(shí)驗(yàn)用硬幣擲出了正面的概率是多少锌订？回答完問題后竹握，實(shí)驗(yàn)人員會(huì)讓她服下使她遺忘當(dāng)天所發(fā)生的事的藥物，然后使她入睡辆飘。星期三實(shí)驗(yàn)人員喚醒睡美人并結(jié)束實(shí)驗(yàn)啦辐。
如果硬幣反面朝上，實(shí)驗(yàn)人員將在星期一和星期二分別喚醒她蜈项，然后問她芹关，覺得那枚實(shí)驗(yàn)用硬幣擲出了正面的概率是多少？回答完問題后紧卒，實(shí)驗(yàn)人員會(huì)讓她服下使她遺忘當(dāng)天所發(fā)生的事的藥物侥衬，然后使她再次入睡。星期三實(shí)驗(yàn)人員喚醒睡美人并結(jié)束實(shí)驗(yàn)跑芳。
如果睡美人是理性的轴总，當(dāng)實(shí)驗(yàn)人員喚醒她并向她提問時(shí)，她會(huì)如何回答博个？
簡(jiǎn)單說肘习，硬幣擲出正面就只在星期一提問一次，反面就分別在星期一和星期二各提問一次坡倔。但由于服了藥物，睡美人不知道被提問時(shí)是星期幾脖含，也不知道第幾次被提問罪塔。
這是一個(gè)爭(zhēng)議極大的悖論。有兩種常見的答案：
一種答案是1/3养葵。硬幣擲出正面后在星期一被提問征堪、硬幣擲出反面后在星期一被提問、硬幣擲出反面后在星期二被提問3種情形的概率是相同的关拒，硬幣擲出正面后在星期一被提問是其中的一種情形佃蚜，所以有1/3的概率庸娱。而硬幣擲出正面與“硬幣擲出正面后在星期一被提問”的可能性是相同的，所以也有1/3的概率谐算。
另一種答案是1/2熟尉。擲公平的硬幣擲出正面和反面的概率分別是1/2。不論硬幣擲出正面朝上還是反面朝上洲脂，睡美人被叫醒并被提問這一事件是必然會(huì)發(fā)生的斤儿，只是發(fā)生的次數(shù)不同。所以這一事件的發(fā)生不會(huì)改變硬幣正反的概率恐锦。睡美人認(rèn)為硬幣正面朝上的概率應(yīng)該是1/2往果。在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中，睡美人沒有收到新的信息一铅。硬幣擲出正面的先驗(yàn)概率是1/2陕贮，她在實(shí)驗(yàn)中醒來后沒有獲得新的相關(guān)信息，所以她應(yīng)該繼續(xù)相信這個(gè)概率是1/2潘飘。假如概率是1/3的話肮之，那睡美人在投擲硬幣前就知道有1/3的概率擲出正面。這豈不荒謬福也？
這個(gè)問題的雛形是阿諾德·祖博夫（Arnold Zuboff）在20世紀(jì)80年代中期最初提出的局骤。亞當(dāng)·埃爾加（Adam Elga）在論文《自我定位信念與睡美人問題》中提出了這個(gè)問題。尼克·博斯特羅姆（Nick Bostrom）還提出了另一個(gè)“極限睡美人”版本暴凑，其與原來版本的不同之處在于峦甩，如果硬幣擲出反面，睡美人會(huì)被喚醒一百萬(wàn)次现喳。這種情況下凯傲，很顯然每次睡美人被問的時(shí)候，硬幣擲出了反面的概率是極大的嗦篱。博斯特羅姆以此來駁斥1/2概率的觀點(diǎn)冰单。
破解
這個(gè)悖論是由于在改變概率的信息出現(xiàn)后仍錯(cuò)誤地認(rèn)為后驗(yàn)概率未發(fā)生變化而導(dǎo)致的宵蛀，也是由于概率的錯(cuò)誤定義而導(dǎo)致的软棺。
從醒來后被提問的睡美人的角度看，正面且星期一莱褒、反面且星期一浴栽、反面且星期二這三種情形具有同等概率荒叼，并且三種情形互斥窮盡，因此每個(gè)情形發(fā)生的概率都是三分之一典鸡。那么被廓，正面且星期一的概率是三分之一，也就是說那枚硬幣被擲出了正面的概率是三分之一萝玷。
認(rèn)為概率為1/2的觀點(diǎn)其主要論點(diǎn)在于嫁乘，睡美人醒來后相比醒來前并沒有獲得額外相關(guān)信息昆婿，因此不能更新概率。也就是說醒來后的后驗(yàn)概率與醒來前的先驗(yàn)概率是相同的蜓斧，而擲公平的硬幣得到正面的先驗(yàn)概率是1/2仓蛆，所以醒來后的后驗(yàn)概率也應(yīng)該是1/2。
然而法精，這種觀點(diǎn)忽略了當(dāng)睡美人被告知游戲規(guī)則的時(shí)候多律，她就已經(jīng)得到了額外信息。根據(jù)游戲規(guī)則搂蜓，她知道她有可能面臨的情形是正面且星期一狼荞、反面且星期一、反面且星期二帮碰，而不可能是正面且星期二相味。所以，她得知游戲規(guī)則前的先驗(yàn)概率是1/2殉挽，就是說：擲一枚公平的硬幣擲出正面的概率是1/2丰涉。在她得知游戲規(guī)則后的后驗(yàn)概率是1/3，就是說：每當(dāng)她被依據(jù)這種特定的游戲規(guī)則喚醒斯碌、提問時(shí)一死，她應(yīng)當(dāng)相信那枚硬幣擲出了正面的后驗(yàn)概率是1/3。
假如以被喚醒提問作為一條先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率之間的分界線傻唾，那么確實(shí)先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率是相同的投慈，喚醒和提問是必然會(huì)發(fā)生的事件，沒有額外的信息使概率發(fā)生變化冠骄。但是伪煤，這表示睡美人應(yīng)當(dāng)相信先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率均為1/3，而不是均為1/2凛辣。
每一種悖論都能告訴我們些什么：不要做哪些錯(cuò)誤的推理抱既、不要想當(dāng)然地假設(shè)一些邏輯上不成立的前提。而這個(gè)悖論非常與眾不同扁誓。一個(gè)敘述條理清晰防泵、已知條件充足的題目，解答者竟然有如此大的分歧蝗敢，它預(yù)示著存在我們公認(rèn)的知識(shí)體系以外的東西择克。比如，一種后驗(yàn)概率的計(jì)算卻不能應(yīng)用貝葉斯公式或許表明還存在其他的用于計(jì)算后驗(yàn)概率的方法前普。
本書作為一種假說提出一種基于自我抽樣次數(shù)的后驗(yàn)概率公式。以睡美人問題為例：
以上表格顯示的計(jì)算結(jié)果支持1/3后驗(yàn)概率的結(jié)論壹堰。（表格第2列乘以第3列等于第4列拭卿，第4列除以第4列的加總等于第5列骡湖。）
下面創(chuàng)建另一個(gè)睡美人問題的版本。假設(shè)決定如何喚醒睡美人并提問的是一枚骰子而非硬幣峻厚。睡美人被喚醒并提問的次數(shù)等于骰子的點(diǎn)數(shù)∠煸蹋現(xiàn)在睡美人被喚醒并提問，骰子擲出了1點(diǎn)到6點(diǎn)的概率各是多少惠桃？
以上表格表明浦夷，骰子擲出了不同點(diǎn)數(shù)的概率是不同的。比如擲出1點(diǎn)的概率只有4.76%辜王，而擲出了6點(diǎn)的概率有28.57%劈狐，是前者的6倍。
再回到原來的問題呐馆。擲一枚公平的硬幣肥缔，旁觀者認(rèn)為擲出正面的概率是1/2，而睡美人認(rèn)為擲出正面的概率是1/3汹来，誰(shuí)錯(cuò)了呢续膳？
他們都沒錯(cuò)。首先收班，概率即理性認(rèn)識(shí)主體的置信度坟岔，取決于認(rèn)識(shí)主體。旁觀者和睡美人在得知游戲規(guī)則前對(duì)硬幣擲出正面的先驗(yàn)置信度是相同的摔桦，都是1/2社付。旁觀者在得知游戲規(guī)則時(shí)，認(rèn)為睡美人參與的游戲跟自己毫無(wú)關(guān)系酣溃，因此不會(huì)改變他對(duì)硬幣擲出正面的置信度瘦穆，所以他對(duì)硬幣擲出正面的置信度仍是1/2。但睡美人在得知游戲規(guī)則后赊豌，知道自己在硬幣擲出正面或反面時(shí)的自我抽樣次數(shù)是不同的扛或，因此就能改變對(duì)硬幣擲出正面的置信度。所以對(duì)她而言碘饼，硬幣擲出正面的概率變成了1/3熙兔。也就是說，睡美人不必等硬幣被擲出或者在實(shí)驗(yàn)中被叫醒并提問艾恼，就可以知道答案是1/3住涉。
就睡美人而言，她認(rèn)為硬幣擲出了正面的概率是1/3钠绍，表示她相信舆声，只要她足夠多次地在類似的實(shí)驗(yàn)中猜測(cè)硬幣擲出了正面，那么就會(huì)有大約1/3的次數(shù)她的猜測(cè)是正確的。作為一名旁觀者媳握，認(rèn)為硬幣擲出了正面的概率是1/2碱屁，表示他相信，只要他足夠多次地在類似的情形中猜測(cè)硬幣擲出了正面蛾找，那么就會(huì)有大約1/2的次數(shù)他的猜測(cè)是正確的娩脾。
所以，在得知游戲規(guī)則后打毛，旁觀者應(yīng)該繼續(xù)相信實(shí)驗(yàn)中的那枚硬幣擲出了正面的概率仍是1/2柿赊；睡美人應(yīng)該相信每次被喚醒并提問時(shí)同一枚硬幣擲出了正面的概率是1/3；旁觀者也應(yīng)該相信“睡美人應(yīng)該相信同一枚骰子擲出了正面的概率是1/3而非1/2”幻枉。三者并不矛盾碰声。如果說表面看上去有矛盾，那是因?yàn)槲覀兺e(cuò)誤地理解了概率展辞。相反地奥邮，只要我們認(rèn)識(shí)到概率的本質(zhì)，將概率等同于理性認(rèn)識(shí)主體的置信度罗珍，就可以破解悖論洽腺。
