摘要：一維去趨勢(shì)波動(dòng)分析和多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析，由于其精確度高和易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)缘琅，在分形和多重分形時(shí)間序列的標(biāo)度分析上得到了廣泛的應(yīng)用婴噩。本文將一維DFA和MFDFA推廣到高維版本 。當(dāng)用合成曲面（包括分?jǐn)?shù)布朗曲面和多重分形曲面）進(jìn)行測(cè)試時(shí)犬性，泛化效果很好诡挂。采用二維MFDFA對(duì)兩幅自然圖像和實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行了分析碎浇，揭示了良好的尺度規(guī)律。
1.簡(jiǎn)介
? ? ? ?分形和多重分形在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中普遍存在璃俗∨В可觀測(cè)量最常見的形式是時(shí)間序列，其分形和多重分形性質(zhì)得到了廣泛的研究城豁。為此苟穆，人們提出了許多方法，舉如唱星，光譜分析雳旅、重標(biāo)度距離分析（R/S分析）、波動(dòng)分析间聊、去趨勢(shì)波動(dòng)分析（DFA）攒盈、小波變換模塊最大值（WTMM）和去趨勢(shì)移動(dòng)均值。
? ? ? ?DFA起初是為了探究編碼和非編碼DNA核苷酸序列的長(zhǎng)程相關(guān)性哎榴。然后將其推廣到研究隱藏在時(shí)間序列中的多重分形性質(zhì)型豁，稱為多重分形DFA。由于實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單尚蝌，DFA逐漸成為該領(lǐng)域最重要的方法迎变。
? ? ? ?雖然WTMM方法看起來(lái)有些復(fù)雜，但它無(wú)疑是一種非常強(qiáng)大的方法驼壶，尤其是對(duì)高維對(duì)象氏豌，如圖像喉酌、三維湍流標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)热凹。相反最初的DFA方法并不是為此目的而設(shè)計(jì)的。最近的一遍論文中泪电，首次將DFA應(yīng)用于紋理圖像的粗糙度特征研究般妙。特別地，應(yīng)用DFA提取不同圖像方向的一維序列Hurst指數(shù)相速，并估計(jì)其平均標(biāo)度指數(shù)碟渺。不幸的是這是個(gè)一維的方法。
? ? ? ?在本文中突诬，將DFA和MFDMA從一維推廣到高維苫拍。用已知分形和多重分形性質(zhì)的合成曲面（分?jǐn)?shù)布朗曲面和多重分形曲面）對(duì)生成方法進(jìn)行了測(cè)試芜繁，其數(shù)值結(jié)果與理論性質(zhì)十分吻合。我們將這些方法應(yīng)用到實(shí)例中绒极。我們認(rèn)為廣義DFA在許多物體上有著巨大的潛在應(yīng)用骏令，如斷層表面的粗糙度、景觀粗糙度垄提，云層粗糙度榔袋，三維溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)以及湍流矢量場(chǎng)粗糙度。
? ? ? ?這篇論文結(jié)構(gòu)如下铡俐，在第二節(jié)中凰兑，我們給出了二維去趨勢(shì)波動(dòng)分析和二維多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析。第三節(jié)給出了數(shù)值模擬的結(jié)果审丘，并與理論性質(zhì)進(jìn)行了比較吏够。第四節(jié)說(shuō)明了實(shí)例的應(yīng)用。在第五節(jié)中討論和總結(jié)滩报。
2.方法
A.二維DFA
step1.分割
step2.求累積和
step3.擬合稿饰，求殘差，得到波動(dòng)函數(shù)
step4.求去趨勢(shì)函數(shù)
step5.不同尺度循環(huán)1-4步驟露泊，求赫斯特指數(shù)等參數(shù)
B.二維MFDFA
step1.分割
step2.求累積和
step3.擬合喉镰，求殘差，得到波動(dòng)函數(shù)
step4.q階矩下去趨勢(shì)波動(dòng)函數(shù)
step5.不同尺度循環(huán)1-4步驟惭笑，求赫斯特指數(shù)等參數(shù)
C.關(guān)于推廣的幾點(diǎn)事項(xiàng)
在一維中侣姆，DFA和MFDFA先求累積和再分割，無(wú)論是先累積求和還是先分區(qū)沉噩，給定段中的殘差矩陣都是相同的捺宗。但二維中，必須要先求和再分割川蒙。否則后悔給出錯(cuò)誤的蚜厉。
3.數(shù)值模擬
A.合成的分?jǐn)?shù)維布朗曲面
測(cè)試二維DFA,構(gòu)建分?jǐn)?shù)維曲面的方法有，F(xiàn)ourier濾波器畜眨、中點(diǎn)位移及其變形昼牛、循環(huán)嵌入?yún)f(xié)方差矩陣、周期嵌入和快速傅里葉變換康聂、自上而下分層模型等贰健。本文利用INRIA開發(fā)的Matlab軟件FRACLAB 2.03來(lái)合成具有赫斯特指數(shù)的分?jǐn)?shù)布朗曲面。
B.合成的二維多重分形
4.圖像分析實(shí)例
A.數(shù)據(jù)
B.分析火星景觀圖像
C.發(fā)泡表面圖像分析
D.靈敏度與特殊性
從DFA或R/S分析中估計(jì)出的Hurst指數(shù)大于0.5只是長(zhǎng)記憶存在的必要條件看彼，但還不夠廊佩。這一問題可以從敏感性和特殊性的角度加以討論。如果方法能夠任何時(shí)刻正確地識(shí)別出存在的屬性靖榕，則該方法是敏感的标锄，而如果該方法很可能在方法不存在時(shí)拒絕該屬性的存在，則該方法是特定的茁计。我們并不排除我們分析真實(shí)世界圖像的尺度行為是由其他過程產(chǎn)生的料皇，在這個(gè)意義上，我們?cè)诮忉尳Y(jié)果時(shí)應(yīng)該謹(jǐn)慎星压。更嚴(yán)格地說(shuō)践剂，我們可以說(shuō)這兩幅圖像具有經(jīng)驗(yàn)性有效的自相似性或經(jīng)驗(yàn)上有效的多重分形性質(zhì)。為了檢驗(yàn)DFA和MFDFA的特異性娜膘，應(yīng)將數(shù)值模擬擴(kuò)展到違反DFA或MFDFA假設(shè)的過程逊脯，并考察每個(gè)過程的顯著性水平。當(dāng)然不可能涵蓋所有類別的可供選擇的圖像竣贪，以檢驗(yàn)其特異性军洼。唯一現(xiàn)實(shí)的方法是采用自相似或多重分形作為無(wú)效假設(shè)，并對(duì)另一個(gè)過程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)演怎。不幸的是匕争，我們并沒有在文獻(xiàn)中為火星景觀和泡沫過程提出的既定的替代過程。這個(gè)測(cè)試應(yīng)該在有替代假設(shè)的情況下進(jìn)行爷耀。
這一部分甘桑，我也沒有弄清。
5.討論和總結(jié)
總之歹叮，我們把一維去趨勢(shì)波動(dòng)分析和多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析推廣到二維版本.進(jìn)一步推廣到更高的維度是很簡(jiǎn)單的跑杭。我們發(fā)現(xiàn)高維DFA方法應(yīng)該在高維多重分形對(duì)象分割后進(jìn)行累積求和。事實(shí)上盗胀，小波變換方法已經(jīng)應(yīng)用于高維量艘蹋。我們認(rèn)為，這種對(duì)高維的擴(kuò)展并不局限于DFA和WTMM方法票灰，還可以為R/S分析、波動(dòng)分析等其他方法設(shè)計(jì)，并將R/S分析推廣到二維屑迂。與二維DFA相比浸策，其靈敏度更低。此外惹盼，標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)分析類似于DFA庸汗，但沒有去趨勢(shì)步驟，擴(kuò)展到更高的維數(shù)是簡(jiǎn)單明了的手报。然而蚯舱，詳細(xì)的討論超出了當(dāng)前工作的范圍。
最后掩蛤，我們要強(qiáng)調(diào)枉昏，廣義DFA在分形和多重分形分析中有著巨大的潛在應(yīng)用。在二維情況下揍鸟，該方法可用于研究具有自相似性質(zhì)的斷口兄裂、景觀、云層等許多圖像的粗糙度阳藻。在三維情況下晰奖，它可以用來(lái)證明溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)的多重分形性質(zhì)。高維可能的例子是非線性動(dòng)力學(xué)中的奇異吸引子腥泥。具體應(yīng)用將在今后的專題介紹中報(bào)告匾南。
