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預備知識
平面旋轉與 Householder 矩陣是特殊的酉矩陣箕别，它們在建立某些基本的矩陣分解過程中起著重要的作用筑公。
平面旋轉
設?1?i<j?n1?i
為平面旋轉或者?Givens 旋轉.
容易驗證對任何一對指數?i,j,(1?i<j?n)i,j,(1?i
Householder 矩陣
它有幾個很好的性質：
由于?U?ω=I?2(ω?ω)?1(ωω?)?=I?2(ω?ω)?1ωω?=UωUω?=I?2(ω?ω)?1(ωω?)?=I?2(ω?ω)?1ωω?=Uω, 所以?UωUω?是 Hermite 矩陣. 又由于?Uω?Uω=IUω?Uω=I?，所以?UωUω?是酉矩陣且?U?1ω=UωUω?1=Uω.
Householder 矩陣?UωUω?在子空間?ω⊥ω⊥?上的作用是恒等元当宴，即如果?x∈ω⊥x∈ω⊥, 就有?Uωx=xUωx=x.
Householder 矩陣?UωUω?在子空間?span(ω)span(ω)?上的作用是反射酿雪，即?Uω?ω=?ωUω?ω=?ω.
detUω=?1detUω=?1. 由秩一擾動的行列式公式知?detUω=1?2(ω?ω)?1ω?I?ω=?1detUω=1?2(ω?ω)?1ω?I?ω=?1. 由?Brauer 定理知绒净，它的特征值是??1,1,1??1,1,1?. 于是，對所有?nn?以及每個非零的?ω∈Rnω∈Rn, Householder 矩陣?Uω∈Mn(R)Uω∈Mn(R)?是實正交矩陣现使，但不是真旋轉矩陣（真旋轉矩陣是行列式為?+1+1?的實正交矩陣）
設?n?2n?2, 并設?x,y∈Rnx,y∈Rn?是單位向量. 如果?x=yx=y, 令?ωω?是任意一個與?xx?正交的實單位向量. 如果?x≠yx≠y, 令?ω=x?yω=x?y. 此時有?ω?ω=2(1?x?y),ω?x=1?x?yω?ω=2(1?x?y),ω?x=1?x?y, 所以?Uωx=yUωx=y. 事實上，任意的?x∈Rnx∈Rn?可以由實的 Householder 矩陣變換成任何一個滿足?∥x∥2=∥y∥2‖x‖2=‖y‖2?的向量?y∈Rny∈Rn. 但是在?CnCn?中不一樣旷痕，不存在?ω∈Cnω∈Cn?使得?Uωe1=ie1Uωe1=ie1.
Householder 矩陣以及純量酉矩陣可以用來構造一個酉矩陣碳锈，它將?CnCn?中任意給定的向量變換成?CnCn?中有同樣 Euclid 范數的另外任意一個向量。
證明：?（A 是本性 Hermite 的是指存在?θ∈Rθ∈R?使?eiθAeiθA?是 Hermite 的）.
如果?xx?與?yy?線性相關的（也就是說欺抗，如果對某個實的?θθ?有?y=eiθxy=eiθx）, 這些結論容易驗證. 如果?xx?與?yy?線性無關售碳，由 Cauchy-Schwartz 不等式確保有?x?x≠|x?y|x?x≠|x?y|. 計算
ω?ω=(ei?x?y)?(ei?x?y)=x?x?e?i?x?y?ei?y?x+y?y=2(x?x?Re(e?i?x?y))=2(x?x?|x?y|)ω?ω=(ei?x?y)?(ei?x?y)=x?x?e?i?x?y?ei?y?x+y?y=2(x?x?Re(e?i?x?y))=2(x?x?|x?y|)
和
ω?x=e?i?x?x?y?x=e?i?x?x?e?i?|y?x|=e?i?(x?x?|x?y|))ω?x=e?i?x?x?y?x=e?i?x?x?e?i?|y?x|=e?i?(x?x?|x?y|))
最后計算
ei?Uωx=ei?(x?2(ω?ω)?1ωω?x)=ei?(x?(ei?x?y)e?i?)=yei?Uωx=ei?(x?2(ω?ω)?1ωω?x)=ei?(x?(ei?x?y)e?i?)=y
如果?zz?與?xx?正交，那么?ω?z=?y?zω?z=?y?z, 且
y?U(y,x)z=ei?(y?z?1∥x∥22?|x?y|)(ei?y?x?∥y∥22)(?y?x))=ei?(y?z+(?y?x))=0y?U(y,x)z=ei?(y?z?1‖x‖22?|x?y|)(ei?y?x?‖y‖22)(?y?x))=ei?(y?z+(?y?x))=0
說明了變換不僅保證了范數不變绞呈，還保持了正交不變性. 由于?UωUω?是酉矩陣团滥，且是 Hermite 矩陣，故而?U(y,x)=(ei?I)UωU(y,x)=(ei?I)Uω?是酉矩陣（它是兩個酉矩陣的乘積）报强，且是 Hermite 的.
如果?y∈Cny∈Cn?是已知的單位向量灸姊，按上述方法構造的?U(y,e1)U(y,e1)?的第一列肯定是?yy, 由于?U(y,e1)?e1=yU(y,e1)?e1=y.
QR 分解
復矩陣或者實矩陣的 QR 分解在理論上與計算上都有相當的重要性.
證明：?設?a1∈Cna1∈Cn?是?AA?的第一列，r1=∥a1∥2r1=‖a1‖2, 又設?U1U1?是一個酉矩陣秉溉，它使得?U1a1=r1e1U1a1=r1e1, 上個定理 (1.1) 對這樣的矩陣給出了一個明顯的構造力惯，它或者是一個純量的酉矩陣，或者是一個純量的酉矩陣與一個 Householder 矩陣的乘積. 分劃
U1A=[r10★A2]U1A=[r1★0A2]
其中?A2∈Mn?1,m?1A2∈Mn?1,m?1. 設?a2∈Cn?1a2∈Cn?1?是?A2A2?的第一列召嘶，并令?r2=∥a2∥2r2=‖a2‖2. 再次利用定理 (1.1) 來構造一個酉矩陣?V2∈Mn?1V2∈Mn?1, 使得?V2a2=r2e1V2a2=r2e1, 再令?U2=I1⊕V2U2=I1⊕V2. 那么
U2U1A=???r100r20★A3???U2U1A=[r1★0r200A3]
重復這一結構?mm?次就得到
UmUm?1?U2U1A=[R0]UmUm?1?U2U1A=[R0]
其中?R∈MmR∈Mm?是上三角的父晶，其主對角元素是?r1,?,rmr1,?,rm, 它們全都是非負的. 設?U=UmUm?1?U2U1U=UmUm?1?U2U1. 分劃?U?=U?1U?2?U?m?1U?m=[QQ2]U?=U1?U2??Um?1?Um?=[QQ2], 其中?Q∈Mn,mQ∈Mn,m?的列是標準正交的（它包含了一個酉矩陣的前?mm?個列）. 這樣就有?A=QRA=QR. 如所希望的那樣. 如果?AA?是列滿秩的，則?RR?是非奇異的弄跌，所以它的主對角線元素全是正的.
假設?rankA=mrankA=m, 且?A=QR=Q~R~A=QR=Q~R~, 其中?RR?與?R~R~?是上三角的且有正的主對角元素甲喝，而?QQ?與?Q~Q~?都標準正交的列向量. 那么?A?A=R?(Q?Q)R)=R?IR=R?RA?A=R?(Q?Q)R)=R?IR=R?R, 且還有?A?A=R~?R~A?A=R~?R~, 所以?R?R=R~?R~R?R=R~?R~?且?R~??R?=R~R?1R~??R?=R~R?1. 也就是說下三角陣等于一個上三角矩陣，所以它們兩者必定都是對角矩陣：R~R?1=DR~R?1=D?是對角的铛只，且它必定有正的主對角元素埠胖，這是因為?R~R~?與?R?1R?1?這兩者的主對角元素都是正的. 但是?R~=DRR~=DR?蘊含?D=R~R?1=R~??R?=(DR)??R?=D?1R??R?=D?1D=R~R?1=R~??R?=(DR)??R?=D?1R??R?=D?1, 所以?D2=ID2=I, 從而?D=ID=I. 所以有?R~=RR~=R?以及?Q~=QQ~=Q.
(c) 中的結論由列向量標準正交的方陣是酉矩陣這一事實推出.
如果 (d) 中有?n?mn?m, 我們可以從 (a) 中的分解開始糠溜，設?Q~=[QQ2]∈MnQ~=[QQ2]∈Mn?是酉矩陣，令?R~=[R0]∈Mn,mR~=[R0]∈Mn,m, 并注意到?A=QR=Q~R~A=QR=Q~R~. 如果?n<mn
最后的結論 (e) 從定理 (1.1) 中的如下結論推出：(a) 與 (d) 的結構中所包含的酉矩陣?UiUi?可以全部取為實矩陣.
任何形如?B=A?AB=A?A?的?B∈Mn(A∈Mn)B∈Mn(A∈Mn)?可以寫成?B=LL?B=LL?, 其中?L∈MnL∈Mn?是下三角矩陣直撤，且有非負的對角元素. 如果?AA?是非奇異的非竿，這個分解是唯一的. 其實這是?BB?的 Cholesky 分解，每一個正定的或半正定的矩陣都可以用這種方式進行分解.
A∈Mn,mA∈Mn,m?的 QR 分解得到的變量有時很有用. 假設?n?mn?m, 并令?A?=QRA?=QR, 其中?Q∈Mn,mQ∈Mn,m?有標準正交的列谋竖，而?R∈MmR∈Mm?是上三角的. 這樣红柱，A=R?Q?A=R?Q??就是形如
A=LQ(1)(1)A=LQ
的一個分解，其中?Q∈Mn,mQ∈Mn,m?有標準正交的行蓖乘，且?L∈MnL∈Mn?是下三角的. 如果?Q~=[QQ~2]Q~=[QQ~2]?是酉矩陣锤悄，我們就有形如
A=[L0]Q~(2)(2)A=[L0]Q~
的分解.
我們舉個例子，對矩陣?A=???1221?1?41?15???A=[1112?1?12?45]?進行 QR 分解. 按照上述證明過程嘉抒，先拿出矩陣?AA?的第一列?a1=[1,2,3]Ta1=[1,2,3]T铁蹈，求出?∥a1∥2=3‖a1‖2=3，現(xiàn)在要求一個酉矩陣?U1U1?使得?U1a1=3e1U1a1=3e1. 按照定理 1 計算?a?1?3e1=3a1??3e1=3?是正號众眨，所以?w=a1?3e1=[?2,2,2]Tw=a1?3e1=[?2,2,2]T. 歸一化得?w=[?1/3–√,1/3–√,1/3–√]Tw=[?1/3,1/3,1/3]T, 計算酉矩陣?U1=I?2ww?=13???12221?22?21???U1=I?2ww?=13[12221?22?21], 計算?U1A=???300?330?3?33???=RU1A=[3?3?303?3003]=R. 我們運氣比較好握牧，直接變成上三角了，否則重復上述步驟娩梨，此時就完成了 QR 分解沿腰，由于是實數域，故?U?11=UT1U1?1=U1T, 所以?A=UT1RA=U1TR.
一個重要的幾何事實是：任何兩個有相同個數的標準正交向量組都通過酉變換聯(lián)系在一起.
證明：?將標準正交向量?[x1?xk][x1?xk]?與?Y=[y1?yk]Y=[y1?yk]?中的每一個都通過 Gram-Schmidt 擴充為?CnCn?的一組標準正交基狈定，也就是構造酉矩陣?V=[XX2]V=[XX2]?以及?W=[YY2]∈MnW=[YY2]∈Mn. 那么?U=WV?U=WV??是酉矩陣颂龙，且?[YY2]=W=UV=[UXUX2][YY2]=W=UV=[UXUX2], 所以?Y=UXY=UX. 如果?XX?與?YY?是實的，則矩陣?[XX2][XX2]?與?[YY2][YY2]?可以選為實的正交矩陣（它們的列是?RnRn?的標準正交基）.
讀完應該知道什么
平面旋轉與 Householder 矩陣是特殊的酉矩陣
Householder 矩陣的特征值是??1,1,1??1,1,1?, 所以其行列式為 -1
Householder 矩陣以及純量酉矩陣可以用來構造一個酉矩陣纽什，它將?CnCn?中任意給定的向量變換成?CnCn?中有同樣 Euclid 范數的另外任意一個向量措嵌。
QR 分解
分類:?矩陣分析
