一、引言

1. 鏈接分析算法

鏈接分析是指源于對(duì)Web結(jié)構(gòu)中超鏈接的多維分析座硕。在圖網(wǎng)絡(luò)的鏈接分析中闰挡，存在兩類模型：

• 隨機(jī)游走模型：網(wǎng)頁(yè)節(jié)點(diǎn)通過(guò)鏈接進(jìn)行跳轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)跳轉(zhuǎn)的概率析校；這類模型主要基于PageRank构罗，如隨機(jī)游走模型（random walk）、主題敏感PageRank勺良、智能游走模型及偏置游走模型绰播；
• 子集傳播模型：網(wǎng)頁(yè)劃分子集，給予特殊子集內(nèi)網(wǎng)頁(yè)初始權(quán)重尚困，根據(jù)特殊子集內(nèi)網(wǎng)頁(yè)與其他網(wǎng)頁(yè)的鏈接關(guān)系蠢箩，將權(quán)值傳遞到其他網(wǎng)頁(yè)。這類模型包括Hilltop算法事甜、HITS算法谬泌、PHITS算法。
  算法之間關(guān)系如下：
  
  
  其中的兩個(gè)算法最為經(jīng)典逻谦，一個(gè)是PageRank算法掌实，另外一個(gè)為HITS（Hyperlink - Induced Topic Search）算法。本文先介紹PageRank算法邦马，在后續(xù)文章中會(huì)對(duì)HITS算法原理做一簡(jiǎn)單介紹贱鼻。

2. PageRank算法背景及應(yīng)用

隨著網(wǎng)絡(luò)信息量越來(lái)越龐大，如何有效的搜索出用戶真正需要的信息非常重要滋将。自1998年搜索引擎網(wǎng)站Google創(chuàng)立以來(lái)邻悬，網(wǎng)絡(luò)搜索引擎稱為解決上述問(wèn)題的主要手段。
1998年随闽，美國(guó)斯坦福大學(xué)博士生Larry Page和Sergey Brin創(chuàng)立了Google公司父丰，他們核心技術(shù)是通過(guò)PageRank技術(shù)對(duì)海量的網(wǎng)頁(yè)進(jìn)行重要性分析。該技術(shù)利用網(wǎng)頁(yè)相互鏈接的關(guān)系對(duì)網(wǎng)頁(yè)進(jìn)行組織掘宪，確定出每個(gè)網(wǎng)頁(yè)的重要級(jí)別（Page Rank）蛾扇。當(dāng)用戶進(jìn)行搜索時(shí)，Google找出符合搜索條件的網(wǎng)頁(yè)魏滚，并按它們的PageRank大小依次列出镀首。用戶一般在顯示結(jié)果的第一頁(yè)或者前幾頁(yè)就能找到真正有用的結(jié)果。在 Google技術(shù)的發(fā)展基礎(chǔ)上鼠次， PR只是目前頁(yè)面排序的一個(gè)小小的權(quán)重更哄，谷歌最新的算法稱為企鵝算法（Google Penguin）靖秩。
形象的解釋，PageRank的基本原理是：如果網(wǎng)頁(yè)A鏈接到網(wǎng)頁(yè)B竖瘾，則認(rèn)為“網(wǎng)頁(yè)A投了網(wǎng)頁(yè)B”一票，如果網(wǎng)頁(yè)A級(jí)別高花颗，則網(wǎng)頁(yè)B級(jí)別也相應(yīng)的高捕传。
PageRank除了網(wǎng)站搜索之外，還有很多其他應(yīng)用扩劝。更進(jìn)一步說(shuō)庸论，只要有圖譜，就可以使用PageRank棒呛。以下為一些應(yīng)用舉例：

• 社交網(wǎng)絡(luò)：評(píng)估社交網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)影響力聂示，如尋找關(guān)系網(wǎng)中的牛人；基于用戶的相似度的內(nèi)容推薦簇秒、可以挖掘用戶的價(jià)值鱼喉、用戶的社交影響力等
• 生物領(lǐng)域：基因、蛋白研究趋观，如通過(guò)PageRank確定七個(gè)與遺傳有關(guān)的腫瘤基因（Google Goes Cancer: Improving Outcome Prediction for Cancer Patients by Network-Based Ranking of Marker Genes )扛禽；
• 體育運(yùn)動(dòng)：評(píng)估特定體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中歷史最佳球隊(duì)或球員（1968年文章）；
• 神經(jīng)科學(xué)：評(píng)估不同大腦區(qū)域之間的聯(lián)結(jié)和重要性皱坛；
• 交通網(wǎng)絡(luò)：預(yù)測(cè)城市的交通流量和人流動(dòng)向编曼；
• 推薦系統(tǒng)：在推薦系統(tǒng)中，用戶行為數(shù)據(jù)可以表示成圖的形式剩辟，具體來(lái)說(shuō)是二部圖掐场。用戶的行為數(shù)據(jù)集由一個(gè)個(gè)（u,i）二元組組成，表示為用戶u對(duì)物品i產(chǎn)生過(guò)行為贩猎。用戶對(duì)他產(chǎn)生過(guò)行為的物品的興趣度是一樣的熊户，也就是只考慮“感興趣”O(jiān)R“不感興趣”。用G(V, E)來(lái)表示這個(gè)圖融欧，則頂點(diǎn)集V=U∪I敏弃，圖中的邊則是由數(shù)據(jù)集中的二元組確定。二元組（u, i）表示u對(duì)i有過(guò)行為噪馏，則在圖中表現(xiàn)為有邊相連麦到，即e(u,i)。對(duì)u進(jìn)行推薦物品欠肾，就轉(zhuǎn)化為計(jì)算用戶頂點(diǎn)u和與所有物品頂點(diǎn)之間的相關(guān)性瓶颠，然后取與用戶沒(méi)有直接邊相連的物品，按照相關(guān)性的高低生成推薦列表刺桃。

二粹淋、原始算法原理

PageRank的核心思想

• 如果一個(gè)網(wǎng)頁(yè)被很多其他網(wǎng)頁(yè)鏈接到，則說(shuō)明這個(gè)網(wǎng)頁(yè)很重要，也就是PageRank值會(huì)相對(duì)較高桃移；

• 如果一個(gè)PageRank很高的網(wǎng)頁(yè)鏈接到一個(gè)其他的網(wǎng)頁(yè)屋匕，則鏈接到的網(wǎng)頁(yè)的PageRank 值會(huì)相應(yīng)的提高。
  如下圖借杰，每個(gè)球代表一個(gè)網(wǎng)頁(yè)过吻，球的大小反應(yīng)了網(wǎng)頁(yè)的PageRank值的大小。指向網(wǎng)頁(yè)B和網(wǎng)頁(yè)E的鏈接很多蔗衡，所以B和E的PageRank值較高纤虽，另外，雖然很少有網(wǎng)頁(yè)指向C绞惦，但是最重要的網(wǎng)頁(yè)B指向了C逼纸，所以C的PageRank值比E還要大。

  
  

PageRank算法預(yù)先給每個(gè)網(wǎng)頁(yè)設(shè)定一個(gè)PR值济蝉，PR值物理意義上代表一個(gè)網(wǎng)頁(yè)被訪問(wèn)的概率杰刽，常規(guī)設(shè)置為1/N，N為網(wǎng)頁(yè)總數(shù)堆生。所有網(wǎng)頁(yè)的PR值總和為1专缠。多個(gè)網(wǎng)頁(yè)的連接可以認(rèn)為是一個(gè)有向圖（不含權(quán)重與時(shí)間，圖為靜態(tài)）淑仆。
第1步：假設(shè)有5個(gè)網(wǎng)頁(yè)涝婉，分別用A, B, C, D, E表示：

三赦颇、PageRank算法變種

1. 無(wú)向圖的PageRank

無(wú)向圖的PageRank統(tǒng)計(jì)上與圖的鏈接分布（degree distribution）相近二鳄，但又存在不同。假定是PageRank向量媒怯，是鏈接分布向量订讼。

表示頁(yè)面的鏈接，為無(wú)向圖的邊集合扇苞，為圖的總邊數(shù)欺殿。

2. 主題敏感PageRank（Topic-Sensitive PageRank）

PageRank算法遵循隨機(jī)游走模型，即用戶在瀏覽某網(wǎng)頁(yè)時(shí)鳖敷，如果希望跳轉(zhuǎn)到其他頁(yè)面脖苏，可隨機(jī)選擇本網(wǎng)頁(yè)包含的某個(gè)鏈接，進(jìn)入另外一個(gè)頁(yè)面定踱，與查詢搜索的主題無(wú)關(guān)棍潘。主題敏感PageRank引入更符合現(xiàn)實(shí)的假設(shè)：一般用戶會(huì)對(duì)特定領(lǐng)域感興趣，當(dāng)瀏覽某一網(wǎng)頁(yè)時(shí)崖媚，這個(gè)頁(yè)面與主題相關(guān)亦歉；當(dāng)用戶瀏覽完畢后，希望跳轉(zhuǎn)到主題類似的鏈接至扰。主題敏感PageRank將用戶興趣鳍徽、頁(yè)面主題以及鏈接所指向網(wǎng)頁(yè)與當(dāng)前網(wǎng)頁(yè)主題相似程度綜合考慮而建立模型。
主題敏感PageRank引入16類主題敢课，對(duì)于某網(wǎng)頁(yè)阶祭，對(duì)應(yīng)某個(gè)主題類型都有相應(yīng)的PageRank分值绷杜，即每個(gè)網(wǎng)頁(yè)會(huì)被賦予16個(gè)主題相關(guān)的PageRank分值。主題敏感與查詢相關(guān)濒募，在接收到用戶查詢后鞭盟，主題敏感PageRank需要分類器，計(jì)算該查詢隸屬于事先定義好的16個(gè)主題的隸屬度瑰剃。16大主題如下：

ODP（Open Directory Project）上16大主題

對(duì)于相同的網(wǎng)頁(yè)1，在不同類別的集合中髓帽，所計(jì)算出的PageRank不同

3. PersonalRank

在推薦系統(tǒng)中，目標(biāo)一般是向用戶推薦商品滞造，如在購(gòu)物網(wǎng)站中续室，需要根據(jù)用戶歷史購(gòu)買行為，向用戶推薦實(shí)際的商品谒养；在社交網(wǎng)站中挺狰，推薦的可能是用戶，圖展示如下：

• 初始化：
  
• 選擇PR值不為0的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始末购，停在當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的概率為破喻，往前走的概率為：
  • 從A開(kāi)始，A到a盟榴、c的概率為0.5曹质， 則, A的PR值變?yōu)?；
  • 此時(shí)PR值不為0的節(jié)點(diǎn)為A擎场、a羽德、c，從這三點(diǎn)出發(fā)迅办，繼續(xù)上述過(guò)程宅静，直到收斂為止。
    節(jié)點(diǎn)PR的更新公式為：
    若 , ;
    若, ;

四站欺、PageRank算法R及python實(shí)現(xiàn)

1. R實(shí)現(xiàn)：igraph包的page_rank函數(shù)

示例：

require(igraph)
g <- sample_gnp(20, 5/20, directed=TRUE)
#plot(g, layout=layout_with_kk, vertex.color="green")
page_rank(g)$vector

結(jié)果：

> page_rank(g)$vector
 [1] 0.02341596 0.02631466 0.01231889 0.06031833 0.05306684 0.02874900 0.04125774
 [8] 0.05669780 0.06568727 0.03468001 0.04879063 0.10330288 0.03968495 0.04109741
[15] 0.03534523 0.04664756 0.04055067 0.08679532 0.05055317 0.10472569

2. Python實(shí)現(xiàn)

使用第三方模塊python-graph坏为，python-graph模塊實(shí)現(xiàn)了很多圖算法，使用前需要安裝镊绪，代碼如下：

pip3 install graphviz
pip3 install python-graph-core
pip3 install python-graph-dot

python版本的算法實(shí)現(xiàn)帶阻尼系數(shù)的pagerank：

# coding=utf-8

# python-graph https://code.google.com/p/python-graph/

# Import graphviz
import graphviz as gv #可視化graph

# Import pygraph
from pygraph.classes.digraph import digraph
from pygraph.readwrite.dot import write

# Define pagerank function
def pagerank(graph, damping_factor=0.85, max_iterations=100, \
             min_delta=0.00001):
    """
    Compute and return the PageRank in an directed graph.

    @type  graph: digraph
    @param graph: Digraph.

    @type  damping_factor: number
    @param damping_factor: PageRank dumping factor.

    @type  max_iterations: number
    @param max_iterations: Maximum number of iterations.

    @type  min_delta: number
    @param min_delta: Smallest variation required for a new iteration.

    @rtype:  Dict
    @return: Dict containing all the nodes PageRank.
    """

    nodes = graph.nodes()
    graph_size = len(nodes)
    if graph_size == 0:
        return {}
    # value for nodes without inbound links
    min_value = (1.0-damping_factor)/graph_size

    # itialize the page rank dict with 1/N for all nodes
    #pagerank = dict.fromkeys(nodes, 1.0/graph_size)
    pagerank = dict.fromkeys(nodes, 1.0)

    for i in range(max_iterations):
        diff = 0 #total difference compared to last iteraction
        # computes each node PageRank based on inbound links
        for node in nodes:
            rank = min_value
            for referring_page in graph.incidents(node):
                rank += damping_factor * pagerank[referring_page] / \
                        len(graph.neighbors(referring_page))

            diff += abs(pagerank[node] - rank)
            pagerank[node] = rank

        print("This is NO.%s iteration" % (i+1))
        print (pagerank)
        print("")

        #stop if PageRank has converged
        if diff < min_delta:
            break

    return pagerank

# Graph creation
gr = digraph()

# Add nodes and edges
gr.add_nodes(["A","B","C","D","E"])

gr.add_edge(("A","B"))
gr.add_edge(("A","C"))
gr.add_edge(("B","A"))
gr.add_edge(("B","C"))
gr.add_edge(("B","D"))
gr.add_edge(("C","A"))
gr.add_edge(("C","D"))
gr.add_edge(("C","E"))
gr.add_edge(("D","A"))
gr.add_edge(("D","E"))


# Draw as PNG
# dot = write(gr)
# gvv = gv.readstring(dot)
# gv.layout(gvv,'dot')
# gv.render(gvv,'png','Model.png')

pagerank(gr)

示例結(jié)果：

This is NO.1 iteration
{'A': 1.0216666666666667, 'B': 0.4642083333333334, 'C': 0.5957340277777778, 'D': 0.3303170023148148, 'E': 0.3391760338541666}

This is NO.2 iteration
{'A': 0.4707017282986111, 'B': 0.23004823452690973, 'C': 0.2952285676428675, 'D': 0.17882842728143689, 'E': 0.1896501757600898}

This is NO.3 iteration
{'A': 0.2548305088760476, 'B': 0.13830296627232022, 'C': 0.17748880671614428, 'D': 0.11947433568006494, 'E': 0.13106508790026847}

This is NO.4 iteration
{'A': 0.17025092834409253, 'B': 0.10235664454623933, 'C': 0.13135769383434048, 'D': 0.09621906254116427, 'E': 0.10811111483305796}

This is NO.5 iteration
{'A': 0.1371121641211591, 'B': 0.08827266975149262, 'C': 0.11328325951441552, 'D': 0.0871075132920073, 'E': 0.0991176166781875}

This is NO.6 iteration
{'A': 0.12412820644111042, 'B': 0.08275448773747193, 'C': 0.10620159259642231, 'D': 0.08353755609460337, 'E': 0.09559391257585942}

This is NO.7 iteration
{'A': 0.1190410174348098, 'B': 0.08059243240979416, 'C': 0.10342695492590251, 'D': 0.08213882641178073, 'E': 0.0942133051206792}

This is NO.8 iteration
{'A': 0.11704782763678755, 'B': 0.07974532674563471, 'C': 0.1023398359902312, 'D': 0.08159079610849534, 'E': 0.09367237521000937}

This is NO.9 iteration
{'A': 0.11626688445460587, 'B': 0.07941342589320749, 'C': 0.10191389656294961, 'D': 0.08137607469591118, 'E': 0.09346043577193132}

This is NO.10 iteration
{'A': 0.11596090644167344, 'B': 0.07928338523771122, 'C': 0.10174701105506273, 'D': 0.08129194561628596, 'E': 0.09337739668585598}

This is NO.11 iteration
{'A': 0.11584102250320749, 'B': 0.0792324345638632, 'C': 0.10168162435695777, 'D': 0.08125898336089928, 'E': 0.0933448614961869}

This is NO.12 iteration
{'A': 0.11579405128928147, 'B': 0.07921247179794463, 'C': 0.10165600547402895, 'D': 0.08124606856039251, 'E': 0.09333211402247502}

This is NO.13 iteration
{'A': 0.11577564769855933, 'B': 0.07920465027188772, 'C': 0.10164596784892257, 'D': 0.08124100846756292, 'E': 0.09332711948924231}

This is NO.14 iteration
{'A': 0.11576843706627717, 'B': 0.0792015857531678, 'C': 0.10164203504989867, 'D': 0.08123902589420218, 'E': 0.09332516260250723}

This is NO.15 iteration
{'A': 0.11576561189923809, 'B': 0.07920038505717619, 'C': 0.10164049415670945, 'D': 0.08123824911060093, 'E': 0.09332439588307308}

{'A': 0.11576561189923809,
 'B': 0.07920038505717619,
 'C': 0.10164049415670945,
 'D': 0.08123824911060093,
 'E': 0.09332439588307308}

參考資料

[1] wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/PageRank;
[2] Eric Roberts, CS 54N, The Google Page Rank Algorithm;
[3] PageRank算法--從原理到實(shí)現(xiàn): https://www.cnblogs.com/rubinorth/p/5799848.html;
[4] 深入淺出PageRank算法: https://segmentfault.com/a/1190000000711128;
[5] Google的PageRank算法無(wú)所不能?: https://36kr.com/p/214680;
[6] Christof Winter et.al, Google Goes Cancer: Improving Outcome Prediction for Cancer Patients by Network-Based Ranking of Marker Genes, PLOS Computational Biology, 2012.
[7]PageRank 與基于圖的推薦算法: https://donche.github.io/2017/10/31/PageRankNPersonalRank.html;
[8]鏈接分析算法總結(jié): http://www.reibang.com/p/d81bc99f1fe2;
[9]鏈接分析算法之：主題敏感PageRank: https://blog.csdn.net/hguisu/article/details/8005192;
[10] 大話主題敏感PageRank: https://blog.csdn.net/malefactor/article/details/7192168;
[11] PersonalRank：一種基于圖的推薦算法:https://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/5470763.html