故事：失蹤的彈孔

為什么學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)我們有用呢摧冀？

我來(lái)給你講一個(gè)失蹤彈孔的故事桐愉。

在第二次世界大戰(zhàn)期間，美國(guó)軍方在哥倫比亞大學(xué)建立了一個(gè)秘密研究小組溢吻，叫統(tǒng)計(jì)研究小組。它的任務(wù)是組織美國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家為打贏第二次世界大戰(zhàn)服務(wù)果元。這個(gè)小組里牛人無(wú)數(shù)促王，比如我們熟悉的控制論的創(chuàng)始人諾伯特·維納（Norbert Wiener），還有后來(lái)得過(guò)諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的米爾頓·弗里德曼而晒。不過(guò)蝇狼，在這個(gè)牛人無(wú)數(shù)的小組中，天賦最高的并不是他們倡怎，而是一位叫亞伯拉罕·瓦爾德（Abraham Wald）的數(shù)學(xué)家题翰。?

有一次，軍方給這群數(shù)學(xué)家出了一道題诈胜。在打仗的時(shí)候豹障，為了不讓自己的飛機(jī)被敵人的戰(zhàn)斗機(jī)擊落，需要給飛機(jī)裝上裝甲焦匈。但是血公，裝甲會(huì)增加飛機(jī)的重量，這樣飛機(jī)的機(jī)動(dòng)性就會(huì)減弱缓熟，還要消耗更多的燃油累魔。因此，需要解決的問(wèn)題是够滑，怎樣在防御性能和飛行性能之間找一個(gè)平衡點(diǎn)垦写。軍方希望數(shù)學(xué)家?guī)椭麄兏闱宄谀睦锛訌?qiáng)裝甲防護(hù)是最合適的彰触。

軍方給數(shù)學(xué)家提供了很多數(shù)據(jù)梯投。美軍的飛機(jī)跟敵軍的飛機(jī)交火之后返回基地，飛機(jī)上會(huì)留下來(lái)很多彈孔况毅。軍方發(fā)現(xiàn)分蓖，在返航的飛機(jī)上，機(jī)身上的彈孔比引擎上的彈孔更多尔许。因此么鹤，軍方認(rèn)為，最應(yīng)該加強(qiáng)防御的是飛機(jī)的機(jī)身味廊。他們想讓統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究一下蒸甜，為了保護(hù)飛機(jī)棠耕，機(jī)身需要增加多少裝甲。

瓦爾德給出的答案卻和軍方最初的想法大不一樣柠新。瓦爾德認(rèn)為昧辽，需要加裝裝甲的地方不應(yīng)該是彈孔多的部位，而應(yīng)該是彈孔少的部位登颓，也就是飛機(jī)的引擎搅荞。為什么會(huì)是這樣呢？我們先從一個(gè)理論假設(shè)來(lái)看框咙。從理論上來(lái)說(shuō)咕痛，飛機(jī)各個(gè)部位中彈的概率應(yīng)該是一樣的。那么喇嘱，為什么返航的飛機(jī)機(jī)身上的彈孔比引擎上的彈孔更多呢茉贡？換言之，引擎上本來(lái)應(yīng)該有的彈孔去哪里了者铜？瓦爾德認(rèn)為腔丧，這是因?yàn)橐姹粨糁械娘w機(jī)都?jí)嫐Я恕作烟；貋?lái)的飛機(jī)愉粤，機(jī)身上盡管留下了很多彈孔，卻仍然能夠經(jīng)得住打擊拿撩，所以才能安全返航衣厘。打個(gè)比方來(lái)說(shuō)，如果我們到戰(zhàn)地醫(yī)院去統(tǒng)計(jì)受傷的士兵压恒，你會(huì)發(fā)現(xiàn)影暴，腿部中彈的士兵肯定比腦部中彈的士兵要多。腦部中彈的士兵很少能夠活下來(lái)探赫，腿部中彈的士兵才有更大的概率存活型宙。

從這個(gè)故事我們能夠?qū)W到什么呢？瓦爾德?lián)碛械目諔?zhàn)知識(shí)肯定不如美軍的軍官伦吠，但他卻能看到軍官們無(wú)法看到的問(wèn)題妆兑。這就是因?yàn)橥郀柕掠袛?shù)學(xué)思維。軍官們犯的錯(cuò)誤在于讨勤，他們假設(shè)返航的飛機(jī)是所有飛機(jī)的隨機(jī)樣本箭跳。但事實(shí)上晨另，這是不對(duì)的潭千。

沃森測(cè)試

假設(shè)在你的面前有一張桌子，桌子上放著四張卡片借尿，每個(gè)卡片有兩面刨晴，一面印的是數(shù)字屉来，另外一面印的是字母。你能夠看到各個(gè)卡片朝上的一面狈癞。四張卡片茄靠，朝上的一面分別是四個(gè)符號(hào)：A，K蝶桶，4和7慨绳。我再告訴你，這些卡片是有規(guī)律的真竖。如果卡片的一面印的是元音字母脐雪，那么，另一面必須印的是偶數(shù)恢共。我說(shuō)的到底對(duì)不對(duì)呢战秋？你得自己去測(cè)試。那么讨韭，問(wèn)題來(lái)了脂信。你必須要翻哪幾張卡片，才能夠保證這四張卡片都遵守我說(shuō)的這個(gè)規(guī)則透硝？

大部分人都會(huì)先翻第一張狰闪，就是朝上的一面印著A的那張卡片。如果你把這張卡片翻過(guò)去濒生，看到后面不是偶數(shù)尝哆，那么，我說(shuō)的這個(gè)規(guī)則就是不成立的甜攀。大部分人也不會(huì)去翻那張朝上的一面印著K的卡片秋泄，因?yàn)椴还芩姆疵嬗〉氖瞧鏀?shù)還是偶數(shù)，跟我們的規(guī)律都沒(méi)有關(guān)系规阀。在剩下兩張卡片中恒序，有很多人想去翻那張朝上一面印著4的卡片，因?yàn)樗麄兿肟纯捶疵嬗〉氖遣皇窃羲场２贿^(guò)歧胁，你要再仔細(xì)想想：如果4的反面是元音，那么厉碟，我說(shuō)的規(guī)則是對(duì)的喊巍，可是，如果4的反面是輔音箍鼓，你能判斷出來(lái)我說(shuō)的規(guī)則就是錯(cuò)的嗎崭参？不能的，因?yàn)槲覀兊囊?guī)則是元音的反面是偶數(shù)款咖，并沒(méi)有說(shuō)偶數(shù)的反面一定是元音何暮。這就是這道數(shù)學(xué)測(cè)試題的“陷阱”奄喂。很少人去翻那張印著7的卡片，但這張卡片卻是最關(guān)鍵的海洼。如果你翻開這張卡片跨新，發(fā)現(xiàn)反面印的是元音字母，你就能篤定知道坏逢，我說(shuō)的規(guī)則是錯(cuò)的域帐。因此，這道數(shù)學(xué)測(cè)試題的正確答案是：你必須翻看印著A和7的那兩張卡片是整。

這道題你答對(duì)了嗎俯树？沒(méi)有答對(duì)也別灰心。這是認(rèn)知心理學(xué)界赫赫有名的沃森測(cè)試贰盗，它是英國(guó)心理學(xué)家皮特·沃森提出來(lái)的许饿。沃森發(fā)現(xiàn)，很多被測(cè)試者都會(huì)答錯(cuò)舵盈。

到底誰(shuí)喝了酒陋率？

假設(shè)你是個(gè)警察，負(fù)責(zé)維護(hù)酒吧一條街的治安秽晚。假設(shè)我們規(guī)定瓦糟，年齡不超過(guò)18歲的人是不能喝酒的。你走進(jìn)一個(gè)酒吧赴蝇，發(fā)現(xiàn)四個(gè)年輕人圍在一張桌子前聊得很嗨菩浙。他們的桌子上放著各種飲料。有啤酒句伶，有可樂(lè)劲蜻，這你一看就知道】加啵可是先嬉，還有一些透明的飲料，這到底是七喜楚堤，還是伏特加呢疫蔓？你要求這四個(gè)年輕人把身份證都拿出來(lái)，放在桌子上身冬。年輕人嘛衅胀，都有一些逆反心理。有兩個(gè)搗蛋鬼故意把身份證倒扣在桌子上酥筝，想捉弄一下你滚躯。還有兩個(gè)比較聽話，乖乖地把身份證正面朝上，放在桌子上哀九。

你看到身份證朝下的那兩個(gè)年輕人中剿配，有一個(gè)點(diǎn)了啤酒搅幅，另一個(gè)點(diǎn)的是可樂(lè)阅束。你還看到身份證朝上的兩個(gè)年輕人中，有一個(gè)超過(guò)了18歲茄唐，還有一個(gè)沒(méi)有到18歲息裸。那么，問(wèn)題來(lái)了沪编，你該查誰(shuí)的身份證呼盆，或者是誰(shuí)的飲料，才能夠確保沒(méi)有人觸犯法律蚁廓？

答案很簡(jiǎn)單访圃。你得查那個(gè)點(diǎn)了啤酒的家伙的身份證，看他是不是年滿18歲了相嵌。那個(gè)點(diǎn)了可樂(lè)的人腿时，你根本就不用管他。剩下兩個(gè)喝透明飲料的年輕人饭宾，你需要去檢查一下那個(gè)未年滿18歲的孩子批糟，聞聞他到底喝的是七喜還是烈酒。

表述方式不同看铆，會(huì)導(dǎo)致理解的難度不同

德夫林講到徽鼎，如果從進(jìn)化的角度來(lái)看，我們?cè)诖竽X中從事數(shù)學(xué)運(yùn)算的功能區(qū)弹惦，實(shí)際上也是我們使用語(yǔ)言的那個(gè)功能區(qū)否淤。我們?cè)谑褂谜Z(yǔ)言的時(shí)候，大腦的活動(dòng)主要發(fā)生在額葉棠隐，所以額葉是大腦的語(yǔ)言中樞叹括。德夫林有一種很獨(dú)特的觀點(diǎn)，他講到宵荒，人類語(yǔ)言的發(fā)展汁雷，并不單純是為了相互之間溝通信息而演化出來(lái)的，更為重要的是报咳，人類面對(duì)的生存環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜侠讯，所以必須發(fā)展出“離線思考”的能力。所謂的“離線思考”暑刃，就是以抽象的方式進(jìn)行“如果……該怎么辦”的推理能力厢漩。正是對(duì)這種“離線思考”能力的追求，推動(dòng)了語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思維能力的出現(xiàn)岩臣。這種“離線思考”是如何推動(dòng)語(yǔ)言的演進(jìn)呢溜嗜？我們?cè)谙乱粋€(gè)學(xué)習(xí)單元宵膨，也就是“表達(dá)能力”會(huì)講到。現(xiàn)在炸宵，你需要了解的是辟躏，數(shù)學(xué)和語(yǔ)言是同宗同源的，都是為了探索某種模式土全，而且是為了說(shuō)給別人聽捎琐，并理解別人是什么意思。你天生就有的語(yǔ)言能力裹匙，正是你掌握數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)瑞凑。

語(yǔ)言和數(shù)學(xué)思維之間的關(guān)系，中國(guó)人應(yīng)該有更真切的體會(huì)概页。很多數(shù)學(xué)平平的東方孩子籽御，到了美國(guó)，會(huì)被別的孩子驚嘆為數(shù)學(xué)天才惰匙，其實(shí)不是因?yàn)橹袊?guó)孩子的智商高技掏，而是因?yàn)橹形暮陀⑽膶?duì)數(shù)字的表達(dá)方式不一樣。中文表達(dá)數(shù)字遠(yuǎn)比英文簡(jiǎn)潔徽曲。中文說(shuō)11就是11零截，12就是12，你一聽就知道是哪個(gè)數(shù)秃臣，英語(yǔ)里11是eleven涧衙，12是twelve，鬼才知道說(shuō)的是啥奥此。用中文背誦九九乘法表弧哎，比用英文去背誦，容易得多稚虎。這個(gè)小小的例子也說(shuō)明撤嫩，表述方式不同，會(huì)導(dǎo)致理解的難度不同蠢终。

如何更好的預(yù)測(cè)序攘？

二戰(zhàn)之后，美國(guó)軍人紛紛回家寻拂，數(shù)百萬(wàn)家庭團(tuán)圓程奠。九個(gè)月之后，出現(xiàn)了百分之百可以預(yù)測(cè)的現(xiàn)象祭钉，美國(guó)出現(xiàn)了嬰兒潮瞄沙。出生于1946到1964年這18年時(shí)間的美國(guó)人口約有7800萬(wàn)。同樣的嬰兒潮也出現(xiàn)在二戰(zhàn)后的日本、歐洲等發(fā)達(dá)國(guó)家距境。人口數(shù)據(jù)也是我們看得見(jiàn)申尼、可預(yù)測(cè)的硬趨勢(shì)。但是垫桂，在二戰(zhàn)結(jié)束之后师幕，人們本來(lái)認(rèn)為企業(yè)訂單會(huì)暫時(shí)減少，經(jīng)濟(jì)因此出現(xiàn)衰退伪货，可是并沒(méi)有發(fā)生預(yù)想的經(jīng)濟(jì)衰退们衙。這就是一種更難預(yù)測(cè)的軟趨勢(shì)钾怔。

相對(duì)來(lái)說(shuō)碱呼，預(yù)測(cè)短期和預(yù)測(cè)長(zhǎng)期技術(shù)難度相對(duì)較小，而預(yù)測(cè)中期更為復(fù)雜宗侦。不說(shuō)別的愚臀，在中期會(huì)有更多的波動(dòng)，而這些波動(dòng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是很難預(yù)測(cè)的矾利。比如姑裂，即使你知道股票存在著泡沫，但泡沫什么時(shí)候崩潰是很難預(yù)測(cè)的男旗。即使你知道股價(jià)被低估舶斧，但被低估到什么時(shí)候會(huì)出現(xiàn)反彈也是很難預(yù)測(cè)的。

在中期還有一些現(xiàn)象是周期性的察皇，比如在農(nóng)業(yè)中的播種和收割茴厉。我們每天看到日夜交替，看到的潮汐現(xiàn)象什荣、月盈月缺矾缓、季節(jié)更替等等，都表現(xiàn)出了周期性稻爬。

所以嗜闻，在預(yù)測(cè)中期趨勢(shì)的時(shí)候，一定要慎之又慎桅锄。在預(yù)測(cè)中期趨勢(shì)的時(shí)候琉雳，噪音更多，規(guī)律更復(fù)雜友瘤。我們會(huì)遇到波動(dòng)翠肘，又會(huì)遇到周期。我們很難精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)未來(lái)的行情商佑，不過(guò)锯茄，這沒(méi)有關(guān)系，事實(shí)上，只要你能判斷出轉(zhuǎn)折點(diǎn)肌幽，就已經(jīng)達(dá)到很高的水平了晚碾。

死魚能讀出人的情緒變化嗎？

我先給你講個(gè)科學(xué)界的笑話喂急。2009年格嘁，加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校的神經(jīng)學(xué)家克雷格·巴尼特（Craig M. Bennett ）在舊金山的一次國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議上做了個(gè)報(bào)告，題目是：《大西洋死鮭魚對(duì)人類神經(jīng)活動(dòng)的觀察》廊移。

他們研究的是什么呢糕簿？先介紹一個(gè)背景。現(xiàn)在研究腦科學(xué)的時(shí)候狡孔，通常采用的辦法是用功能性磁共振成像裝置掃描人或動(dòng)物的大腦懂诗，然后觀察在特定的行為、情緒下苗膝，哪一個(gè)大腦的功能區(qū)更為活躍殃恒。巴尼特和他的小伙伴們就是這么做的。他們煞有其事地把一些人類的照片給一條死魚看辱揭，然后用功能性磁共振成像裝置掃描死魚的腦袋离唐。結(jié)果，他們發(fā)現(xiàn)這條死魚竟然能夠“正確地”判斷出照片中人類的情緒问窃。這個(gè)研究當(dāng)之無(wú)愧地獲得了2012年搞笑諾貝爾獎(jiǎng)亥鬓。

雖然只是搞笑，但這個(gè)研究揭示了一個(gè)深刻的道理域庇。我們?cè)诘谝患尽昂畏缶钟^”就已經(jīng)講過(guò)嵌戈，人類是容易輕信的，我們會(huì)試圖尋找世間萬(wàn)物的聯(lián)系较剃，即使找到的僅僅是錯(cuò)誤的聯(lián)系咕别。我們會(huì)在找到第一個(gè)支持證據(jù)之后就放手，不再思考這種聯(lián)系到底是不是存在的写穴，是因果關(guān)系惰拱，還是相關(guān)關(guān)系。

普通人是這樣啊送，科學(xué)家也未能免俗偿短。巴尼特的研究小組就是想要挖苦一下有些裝模作樣的研究。當(dāng)腦科學(xué)家掃描大腦的時(shí)候馋没，他們會(huì)把大腦分成成千上萬(wàn)個(gè)極小的區(qū)域昔逗。即使是在掃描死魚的時(shí)候，死魚大腦上每個(gè)極小的區(qū)域也會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)一些噪音篷朵。這些噪音中勾怒，很可能會(huì)有一些看起來(lái)跟照片上人的情緒變化相匹配婆排。說(shuō)白了，這跟看見(jiàn)天上的白云笔链，覺(jué)得一會(huì)兒像馬段只，一會(huì)兒像老頭兒，是一樣的鉴扫。

?什么是零假設(shè)赞枕？

零假設(shè)好比你抓到一個(gè)犯罪嫌疑人，但你不能先假設(shè)他或她有罪坪创，你要先假設(shè)他或她是無(wú)辜的炕婶。做研究的時(shí)候，我們也要用同樣的思路莱预。假如你要檢測(cè)一種新藥到底有沒(méi)有療效柠掂，你不能先假設(shè)它是有效的，你只能先假設(shè)它是無(wú)效的锁施。假如你要研究在得到學(xué)習(xí)是否真的能提升自己在職場(chǎng)和人生的競(jìng)爭(zhēng)力陪踩，你不能先假設(shè)是有用的杖们，只能先假設(shè)是沒(méi)有用的悉抵。這就是零假設(shè)，零假設(shè)是假設(shè)毫無(wú)效果摘完，或假設(shè)絲毫不起作用姥饰，或是假設(shè)沒(méi)有任何相關(guān)關(guān)系。我們?cè)谧鲅芯康臅r(shí)候孝治，要從零假設(shè)開始列粪，然后通過(guò)做實(shí)驗(yàn)，或是搜集數(shù)據(jù)谈飒，看看能不能推翻零假設(shè)岂座。如果能夠推翻零假設(shè)，那么杭措，你就能講费什，這種新藥是有療效的，或者手素，在得到學(xué)習(xí)之后能夠提升你的水平鸳址。

我們?cè)侔扬@著性檢驗(yàn)的程序介紹一下：

第一步：開始實(shí)驗(yàn)。

第二步：假定零假設(shè)成立泉懦。

第三步：觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果中出現(xiàn)事件O的概率稿黍，我們把這個(gè)概率稱為P值。P值反映的是零假設(shè)成立的可能性崩哩。

第四步：如果P值很小巡球，我們就認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果滿足零假設(shè)的可能性很小言沐，你可以通過(guò)這種歸謬法判斷，你原來(lái)想檢驗(yàn)的猜想具有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的顯著性酣栈。如果P值很大呢灶，我們就得承認(rèn)零假設(shè)還沒(méi)有被推翻。

你要記住以下三個(gè)陷阱：

P值多小才是顯著的呢钉嘹？在顯著性與非顯著性之間并沒(méi)有一條涇渭分明的界限鸯乃。在實(shí)踐中，大部分研究者都認(rèn)為0.05是臨界值跋涣∮可是，這只是一種約定俗成陈辱。你有沒(méi)有注意到奖年，老師在改卷子的時(shí)候，更習(xí)慣把59分順手改為60分沛贪，所以59分較少陋守，60分更多？在做研究的時(shí)候也有類似的情況利赋，如果差一點(diǎn)沒(méi)有過(guò)0.05的臨界值水评，有的研究者就會(huì)修改數(shù)據(jù)，通過(guò)“威逼利誘”媚送，把結(jié)果改為有顯著性中燥。

你不能假設(shè)一種因素一定會(huì)有影響力。如果你太想得出有影響力的結(jié)論塘偎，就可能會(huì)操縱實(shí)驗(yàn)疗涉。比如說(shuō)，我們要研究吃糖豆會(huì)不會(huì)得痤瘡吟秩≡劭郏科學(xué)家可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，吃糖豆和得痤瘡之間沒(méi)有關(guān)系涵防。但是闹伪，他們還可能會(huì)分析吃紫色的糖豆、咖啡色的糖豆武学、粉紅色的糖豆祭往、紅色的糖豆和得痤瘡的關(guān)系。照這樣分析下去火窒，很可能會(huì)像死魚讀出人的情緒一樣硼补，偶然地發(fā)現(xiàn)某一種糖豆，比如說(shuō)吃綠色的糖豆和得痤瘡之間有相關(guān)性熏矿。這種研究其實(shí)是沒(méi)有意義的已骇。

不要誤解“顯著性”离钝。很多科學(xué)術(shù)語(yǔ)都有誤導(dǎo)，顯著性這個(gè)詞就是典型的例子褪储。在我們的日常用語(yǔ)中卵渴，顯著指的是很重要、很有意義鲤竹。統(tǒng)計(jì)學(xué)家進(jìn)行的顯著性檢驗(yàn)浪读，并不是為了檢驗(yàn)它的重要性。比如辛藻，如果我們測(cè)試一種新藥的療效碘橘，零假設(shè)是這種藥沒(méi)有任何療效。如果能夠推翻零假設(shè)吱肌，我們也僅僅證明了這種藥是有療效的痘拆，但是它的療效可能非常地小。 統(tǒng)計(jì)學(xué)家認(rèn)為有顯著性氮墨，但臨床的大夫卻會(huì)告訴你纺蛆，這種藥在治療中其實(shí)沒(méi)有任何療效。

孩子在學(xué)習(xí)算術(shù)的時(shí)候规揪，其實(shí)也是在運(yùn)用抽象思維能力桥氏。

孩子們之所以在學(xué)校里覺(jué)得數(shù)學(xué)難，很可能不是數(shù)學(xué)真的難粒褒，而是學(xué)校的教育方式有問(wèn)題识颊。教育學(xué)家在巴西做過(guò)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，他們發(fā)現(xiàn)貧民窟學(xué)校里的孩子奕坟，有的數(shù)學(xué)成績(jī)好，有的成績(jī)不好清笨，但這些孩子都有一個(gè)共同的特點(diǎn)月杉，他們家里都很窮，孩子們下了課要幫著爸媽在市場(chǎng)上擺攤賣東西抠艾。在擺攤賣東西的時(shí)候苛萎，這些孩子都很會(huì)算賬，數(shù)學(xué)能力都很棒检号，而且他們的這種數(shù)學(xué)能力跟在學(xué)校里的數(shù)學(xué)成績(jī)之間是沒(méi)有關(guān)系的腌歉。這說(shuō)明數(shù)學(xué)能力是在應(yīng)用中培養(yǎng)出來(lái)的。我們會(huì)看到有一些常年做出納齐苛、會(huì)計(jì)翘盖、售貨員這些工作的人，他們必須要跟數(shù)字打交道凹蜂，所以日久天長(zhǎng)馍驯，就鍛煉出對(duì)數(shù)字的敏感阁危，以及非常強(qiáng)的計(jì)算能力。

遺憾的是汰瘫，在學(xué)校里狂打，我們并不注重?cái)?shù)學(xué)的運(yùn)用，也不知道怎么培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力混弥，于是趴乡，等學(xué)生到了高中開始學(xué)代數(shù)，或者是到了大學(xué)要學(xué)微積分的時(shí)候蝗拿，會(huì)喪失本能的抽象思維能力浙宜，他們就會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)太難了。不僅如此蛹磺，學(xué)生們還會(huì)覺(jué)得粟瞬，自己根本掌握不了數(shù)學(xué)這門學(xué)問(wèn)，于是萤捆，這就變成了一種自我實(shí)現(xiàn)的預(yù)言裙品。

我們可以把抽象思維分為四個(gè)層次。

第一個(gè)層次的抽象思維是“眼見(jiàn)為實(shí)”的抽象俗或。

一把椅子市怎，本來(lái)放在房間的這一邊，然后被挪到房間的另一邊辛慰。這還是那把椅子嗎区匠？是的，這還是同一把椅子帅腌。在作出這樣的判斷的時(shí)候驰弄，你其實(shí)已經(jīng)運(yùn)用了初級(jí)的抽象思維，而這種抽象思維能力速客，是不少動(dòng)物都能夠掌握的戚篙。這種抽象思維思考的各種事物，是在當(dāng)前環(huán)境下能夠見(jiàn)到的真實(shí)的事物溺职。

第二個(gè)層次的抽象思維是“想到為實(shí)”的抽象岔擂。

我告訴你馬。你現(xiàn)在待的房間里沒(méi)有馬浪耘，但這不妨礙你想象出一匹馬的樣子乱灵。你和你的父母已經(jīng)分開一段時(shí)間了，但你還是能夠想到他們的音容笑貌七冲。你以前養(yǎng)過(guò)一只小狗痛倚，后來(lái)送人了，但你還是能夠記得當(dāng)時(shí)和它在一起的日子癞埠。這種抽象思維是指状原，我們所思考的事物聋呢，是你不能在當(dāng)前環(huán)境下親眼所見(jiàn)，但卻是你原本熟悉的事物颠区。

第三種層次的抽象思維是“眼見(jiàn)為虛”的抽象削锰。

到這一層級(jí)，就只有人類才能擁有了毕莱。我們思考的事物在現(xiàn)實(shí)世界中其實(shí)是沒(méi)有的器贩，但我們能夠虛構(gòu)出來(lái)。比如朋截，這個(gè)世界上沒(méi)有龍蛹稍，但是我們可以把各種動(dòng)物的特征融為一體，創(chuàng)造出一種神獸部服。圖騰是一種虛幻唆姐，神話也是一種虛幻。這都是有了概念之后廓八，抽象出來(lái)的事物奉芦。

第四種層次的抽象思維是“想到為虛”的抽象。

這才是數(shù)學(xué)思維的層次剧蹂。數(shù)學(xué)對(duì)象是全然抽象的声功，它們同現(xiàn)實(shí)世界沒(méi)有簡(jiǎn)單或者是直接的聯(lián)系。我們?cè)跀?shù)學(xué)中用到的概念宠叼，比如“0”亡哄，比如虛數(shù)丈莺，你仔細(xì)想想，在現(xiàn)實(shí)中是沒(méi)有這些東西的壹无。這是一種更高層次的抽象发钝。

進(jìn)入到第四境界的抽象哪廓，你會(huì)發(fā)現(xiàn)缘揪，抽象之上還有抽象博烂。比如說(shuō)，你在小學(xué)一年級(jí)就知道乐埠，1+2=2+1，這叫交換律囚企，你還會(huì)學(xué)到結(jié)合律丈咐、分配律。再大一點(diǎn)龙宏，學(xué)到乘法的時(shí)候棵逊，你又學(xué)會(huì)，1*2=2*1银酗。再大一點(diǎn)辆影，你開始學(xué)幾何徒像。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，圓也是對(duì)稱的蛙讥，把圓的一半換到另一半锯蛀，圓還是不變的。等到你學(xué)函數(shù)的時(shí)候次慢，你會(huì)學(xué)到函數(shù)的交換律和結(jié)合律旁涤，等你學(xué)集合論的時(shí)候，兩個(gè)集合之間也有交換律迫像、結(jié)合律和分配律劈愚。等到你學(xué)到線性代數(shù)的時(shí)候，是不是又要討論矩陣的交換律闻妓？如果你上的是數(shù)學(xué)系菌羽，學(xué)到群論的時(shí)候，是不是又要講在什么時(shí)候下由缆，群能滿足交換律注祖？你再想想，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是不是一以貫之的犁功？數(shù)學(xué)就是一種關(guān)于模式的科學(xué)氓轰，有的模式相對(duì)簡(jiǎn)單，有的模式相對(duì)復(fù)雜浸卦，復(fù)雜的模式不過(guò)是模式的模式署鸡，甚至是模式的模式的模式，于是限嫌，我們就開始糊涂了靴庆。

數(shù)學(xué)家是如何解題的

著名數(shù)學(xué)家波利亞談到，解題有一些基本的技巧怒医。

首先炉抒，從熟悉的題目出發(fā)。在解題的時(shí)候稚叹，首先要想一想有沒(méi)有你已經(jīng)知道的非常熟悉的數(shù)學(xué)題焰薄。從熟悉的題目開始，再進(jìn)行更為復(fù)雜的推理扒袖。

其次塞茅，把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)化。當(dāng)你遇到一個(gè)看起來(lái)很復(fù)雜的題目時(shí)季率，首先要想怎樣把它簡(jiǎn)化野瘦。先作出最簡(jiǎn)單的假設(shè)，即使這樣的假設(shè)是非常荒謬的鞭光。從最簡(jiǎn)單的模型出發(fā)吏廉，一步步地再把它復(fù)雜化。從最特殊的例子出發(fā)惰许，再一步步地把它一般化席覆。

再次，把抽象的題目形象化啡省。有很多數(shù)學(xué)家的天分并不是抽象思維能力娜睛，而是形象思維能力。他們本能地會(huì)從幾何的角度找到代數(shù)的答案卦睹。形象思維和抽象思維并不矛盾畦戒，形象思維發(fā)達(dá)，會(huì)有助于你提升抽象思維结序。

總之障斋，我們可以把數(shù)學(xué)設(shè)想為一個(gè)由樂(lè)高積木搭成的雄偉建筑。盡管看起來(lái)非常復(fù)雜徐鹤，但如果仔細(xì)去看垃环，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它是由一個(gè)一個(gè)簡(jiǎn)單的模塊拼裝起來(lái)的。數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想就是簡(jiǎn)單的東西是復(fù)雜的返敬，而復(fù)雜的東西其實(shí)是簡(jiǎn)單的遂庄。

10本書幫你具備嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維

精讀

喬丹·艾倫伯格，《魔鬼數(shù)學(xué)》

本周我們的精讀書是著名數(shù)學(xué)家喬丹·艾倫伯格（Jordan Ellenberg）的《魔鬼數(shù)學(xué)》劲赠。艾倫伯格和一般的數(shù)學(xué)家不一樣的地方是涛目，他是個(gè)文學(xué)愛(ài)好者，曾經(jīng)寫過(guò)一本嚴(yán)肅小說(shuō)凛澎，還經(jīng)常參加文學(xué)評(píng)獎(jiǎng)霹肝。這種愛(ài)好和背景使得他更愿意把數(shù)學(xué)王國(guó)的神秘知識(shí)講給普通讀者。這本書的英文原名是：How Not To Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking.

我們本周只介紹了艾倫伯格書里的第一部分和第二部分塑煎。后面還有三部分也很精彩沫换，我們都沒(méi)有講到。這是一件很遺憾的事情最铁。我們的通識(shí)課如果不是僅僅一年讯赏，而是有兩三年的時(shí)間，就能講得更加系統(tǒng)了冷尉。請(qǐng)你有空繼續(xù)讀讀艾倫伯格這本書后面的部分待逞，尤其是第五部分，是他作為一位數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)中形式主義的反思网严。

選讀

1.基思·德夫林，《數(shù)學(xué)猶聊天》

我們?cè)诒局苓€介紹了另一位數(shù)學(xué)家基思·德夫林的《數(shù)學(xué)猶聊天》嗤无。

這本書試圖從生物演進(jìn)的角度解釋數(shù)學(xué)和語(yǔ)言的出現(xiàn)震束。作者首先介紹了動(dòng)物和人類的數(shù)學(xué)本能怜庸，然后借助腦神經(jīng)科學(xué)，發(fā)現(xiàn)人類在使用數(shù)學(xué)思維的時(shí)候垢村，大腦活躍的區(qū)域恰好是我們?cè)谡f(shuō)話的時(shí)候大腦活躍的區(qū)域割疾，因此，他才得出數(shù)學(xué)其實(shí)是另一種方式表達(dá)出來(lái)的語(yǔ)言這樣一個(gè)假設(shè)嘉栓。他的這一假設(shè)是有道理的宏榕。抽象思維、閱讀侵佃，這都是我們?nèi)祟愒诤芡斫鼤r(shí)期才進(jìn)化出來(lái)的能力麻昼，這些能力一定會(huì)借助于我們以前的某些功能。德夫林在這本書里告訴我們馋辈，語(yǔ)言不僅僅是為了交流思想抚芦，更是為了理清思路，他還嘗試分析了語(yǔ)言的出現(xiàn)迈螟。他的思路和著名語(yǔ)言學(xué)家喬姆斯基的想法很相似叉抡，我們到“表達(dá)方式”這個(gè)學(xué)習(xí)單元會(huì)講到喬姆斯基。德夫林的這本書答毫，我也推薦大家通讀褥民。

2.戴維·薩爾斯伯格，《女士品茶：統(tǒng)計(jì)學(xué)如何變革了科學(xué)和生活》

本周的另一本選讀書是戴維·薩爾斯伯格的《女士品茶：統(tǒng)計(jì)學(xué)如何變革了科學(xué)和生活》洗搂。這是一本比較少見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)科普讀物消返。大致的線索是沿著統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展歷史來(lái)講的，你會(huì)對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的脈絡(luò)有個(gè)更清晰地了解蚕脏。遺憾的是侦副，本書每一章的篇幅太短，很多地方講得意猶未盡驼鞭。我讀這本書最大的啟發(fā)是作者對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)的反思秦驯。究竟什么是概率，其實(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)家自己也沒(méi)有完全想清楚挣棕。我倒覺(jué)得這是件好事译隘，因?yàn)檫@意味著統(tǒng)計(jì)學(xué)很可能還會(huì)出現(xiàn)新的革命。

3&4.《大數(shù)據(jù)思維與決策》&《信號(hào)與噪聲》

本周我還推薦了兩本跟大數(shù)據(jù)有關(guān)的書洛心。一本是經(jīng)濟(jì)學(xué)家伊恩·艾瑞斯寫的《大數(shù)據(jù)思維與決策》固耘。另一本是非常有名的預(yù)測(cè)專家納特·西爾弗寫的《信號(hào)與噪聲》。這兩本書我以前都有書評(píng)词身。所以就不在本周的課程中重復(fù)了厅目，其實(shí)這兩本書對(duì)你的思維可能會(huì)更有啟發(fā)。

5&6&7.《混沌：開創(chuàng)新科學(xué)》，《夸克與美洲豹》《大師說(shuō)科學(xué)與哲學(xué)》

本周我還推薦了三本和復(fù)雜性科學(xué)有關(guān)的書损敷，一本是當(dāng)年風(fēng)靡一時(shí)的《混沌：開創(chuàng)新科學(xué)》葫笼，是著名科學(xué)記者詹姆斯·格雷克寫的。我是上大學(xué)的時(shí)候讀的這本書拗馒，當(dāng)年激動(dòng)的心情路星，現(xiàn)在還能回憶起來(lái)。另一本是傳奇科學(xué)家M.蓋爾曼寫的《夸克與美洲豹》诱桂。中譯本讀起來(lái)有點(diǎn)吃力洋丐，而且是一本老書了，不太好找挥等。有條件的讀者還是讀原著為好友绝。還有一本我剛剛讀完的書，是海因茨.R.帕格爾斯寫的《大師說(shuō)科學(xué)與哲學(xué)：計(jì)算機(jī)與復(fù)雜性科學(xué)的興起》触菜。很多書的中譯本書名都跟原來(lái)的書名差異很大九榔，這樣不好。但是涡相，這本書讀起來(lái)很有意思哲泊，不過(guò)，如果僅憑這個(gè)書名催蝗，我肯定不會(huì)去讀的切威。

8.G.波利亞，《如何解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》

有喜歡數(shù)學(xué)的中學(xué)生學(xué)霸嗎丙号？我推薦一本G.波利亞寫的《如何解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》先朦。這是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的經(jīng)典。我們本周講了數(shù)學(xué)思維犬缨，我希望你能夠破除對(duì)數(shù)學(xué)的迷信喳魏，但你也不要走到另外一個(gè)極端。數(shù)學(xué)跟打網(wǎng)球怀薛、下圍棋一樣刺彩，是需要不斷練習(xí)的，看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)枝恋，其實(shí)都是不斷深思创倔、改錯(cuò)，才發(fā)現(xiàn)的焚碌。掌握數(shù)學(xué)思維的最好辦法是做題畦攘。波利亞的這本書就是介紹解題技巧的。他已經(jīng)把解題技巧十电，升華到哲學(xué)層面知押。

9.卡爾·波普爾叹螟，《猜想與反駁：科學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)》

最后一本書是卡爾·波普爾的《猜想與反駁：科學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)》，這本書是經(jīng)典朗徊，難度較大首妖，但影響深遠(yuǎn)。書里提到了一些科學(xué)發(fā)現(xiàn)爷恳，包括數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的故事，供你參考象踊。