計(jì)算機(jī)中的數(shù)均以0和1組成各種編碼辜御，在計(jì)算機(jī)中參與運(yùn)算的數(shù)有兩大類： 無符號數(shù)和有符號數(shù)积锅。
計(jì)算機(jī)中的數(shù)均放在寄存器中灭美，通常稱寄存器的位數(shù)為機(jī)器字長推溃。

對于有符號數(shù)，我們需要使用一位標(biāo)志位表示其正負(fù)符號届腐，這就引出了幾種編碼表示方式铁坎。 （下面均以8位機(jī)器字長進(jìn)行分析）

原碼

將最高位用來表示其正負(fù)標(biāo)志：

正數(shù)最高位為0
負(fù)數(shù)最高位為1

例如：

[+1]原 = 0,000 0001
[-1]原 = 1,000 0001

但是這就帶來一個問題，做普通的加法運(yùn)算的時候：

1+1=0,000 0001 + 0,000 0001 = 0,000 0010 = 2 正確

1-1= 1+（-1）= 0,000 0001 + 1,000 0001 = 1,000 0010 = -2 錯誤

這就意味著在計(jì)算減法時犁苏，我們不能直接通過原有的加法電路來計(jì)算減法硬萍，而需要重新設(shè)計(jì)專門的計(jì)算電路來處理原碼表示方法中的符號位的計(jì)算。

反碼

反碼可以通過原碼轉(zhuǎn)換得到：

當(dāng)值大于0時围详，反碼和原碼相同
當(dāng)值小于0時朴乖，反碼=保留符號位，其余部分按位取反

例：

[+1]反 = 0,000 0001
[-1]反 = 1,111 1110

對其做加法運(yùn)算：

1+1=0,000 0001 + 0,000 0001 = 0,000 0010 = 2 正確

1-1= 1+（-1）= 0,000 0001 + 1,111 1110 = 1,111 1111
將其轉(zhuǎn)換為原碼為1,000 0000 = -0 = 0 正確

補(bǔ)碼

補(bǔ)碼的計(jì)算規(guī)則：

當(dāng)值大于0時助赞，補(bǔ)碼和原碼相同
當(dāng)值小于0時买羞，補(bǔ)碼=保留符號位，其余部分按位取反雹食，然后+1（即在反碼的基礎(chǔ)上+1）

例：

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補(bǔ)
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補(bǔ)

對其做加法運(yùn)算：

1+1=0,000 0001 + 0,000 0001 = 0,000 0010 = 2 正確
1-1= 1+（-1）= 0,000 0001 + 1,111 1111 = 1 0000 0000
由于最高位溢出畜普，得到0,000 0000=0 正確

從以上我們知道，原碼是最適用于人類認(rèn)知的一種編碼方式婉徘，但是為什么會有反碼和補(bǔ)碼的編碼方式呢漠嵌？

從上面關(guān)于原碼計(jì)算減法的計(jì)算方案我們知道，由于將符號位直接帶入計(jì)算中帶來的影響盖呼，在做減法的時候，往往得到的是錯誤的答案化撕。

反碼的提出使直接將符號位帶入計(jì)算成為了可能几晤。將減法運(yùn)算，轉(zhuǎn)換為加上減數(shù)的相反數(shù)植阴，使減法計(jì)算可以復(fù)用加法計(jì)算電路蟹瘾。

下面我們來看如下兩個數(shù)值：
[0,000 000]反 = +0
[1,111 111]反 = -0
這樣就造成了0有兩種表示方法，使原本8位長度的寄存器只能表示-127-0, 0-127共255個值掠手，比無符號數(shù)的表示方法少了一個值憾朴，因?yàn)?有+0和-0兩個表示方法。

而補(bǔ)碼的出現(xiàn)喷鸽，解決了0有+0和-0兩種表達(dá)方式的困境众雷，我們?nèi)藶橐?guī)定1,000 0000用來表示-128，因?yàn)樵a無法表示-128，按正常程序更無法求得其補(bǔ)碼砾省。

這樣一來鸡岗，我們就只有唯一的[0]補(bǔ)的表現(xiàn)形式0,000 0000，而且多了一個[1,000 0000]補(bǔ)表示負(fù)數(shù)的最小值-128

通過以上我們看到编兄，計(jì)算機(jī)通過將有符號數(shù)進(jìn)行不同的進(jìn)位和表示方法轩性，巧妙地將符號位參與到了加法運(yùn)算中，那么其中的數(shù)學(xué)原理是什么呢狠鸳？

下面首先介紹幾個概念：

同余

兩個整數(shù)a揣苏，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等件舵，則稱a舒岸，b對于模m同余，記作 a ≡ b (mod m)芦圾，讀作 a 與 b 關(guān)于模 m 同余蛾派。

例：
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28關(guān)于模 12 同余。

計(jì)算機(jī)的字長有限个少，當(dāng)計(jì)算得到的結(jié)果大于寄存器所能的最大長度時洪乍，會發(fā)生溢出，最高位將被舍去夜焦。

例：

對于無符號數(shù)壳澳，8位寄存器所能表達(dá)的最大數(shù)字為max = 2^8-1，那么當(dāng)做加法運(yùn)算max+1時茫经，由于發(fā)生溢出巷波，最高位被丟棄，得到的結(jié)果其實(shí)是
(max+1) mod 2^{8卸伞，只取到對于2}8的余數(shù)部分抹镊。
即計(jì)算機(jī)中的所有運(yùn)算實(shí)際上都是關(guān)于2^字長的同余計(jì)算。

補(bǔ)碼的數(shù)學(xué)證明

任何計(jì)數(shù)系統(tǒng)都必須有兩個參數(shù)：容量和精度荤傲。

模是衡量計(jì)數(shù)系統(tǒng)容量的參數(shù)垮耳。模代表了計(jì)數(shù)系統(tǒng)所能表示和存儲的狀態(tài)數(shù)。

比如對于字長為8的計(jì)算機(jī)遂黍，其最大能表示0-255的數(shù)终佛，所以其模為256=2⁸

任何有限的計(jì)數(shù)系統(tǒng)都有一個確定的模。如時鐘的模是12雾家，時鐘每經(jīng)過12小時會重新從1開始計(jì)數(shù)铃彰。

計(jì)算機(jī)同樣也是一個有限容量的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，其模m=2^字長芯咧。

設(shè)m > b >= 0牙捉，b為整數(shù)
則b的補(bǔ) b = m – b （這里定義的是補(bǔ)竹揍，而不是補(bǔ)碼）

由于有正負(fù)數(shù)，計(jì)算機(jī)中對正負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼進(jìn)行了區(qū)分定義：
1> 正整數(shù)b的補(bǔ)碼為自身鹃共，即b的補(bǔ)碼仍為b
2> 負(fù)整數(shù)-b的補(bǔ)碼為b的補(bǔ)鬼佣，即b
我們知道，a - b即可轉(zhuǎn)化為 a + (-b)霜浴，如果用補(bǔ)碼來運(yùn)算
a – b = [a + (-b) ] (mod m) 在計(jì)算機(jī)中計(jì)算的是 [a + b_補(bǔ) ] (mod m)

如果能證明 [a + (-b) ] (mod m)與[a + b_補(bǔ) ] (mod m)同余晶衷，那么就能說明通過以上兩個式子在計(jì)算機(jī)中都能得到正確的值。

∵ b _補(bǔ)= m – b

∴ a + b_補(bǔ) = a + (m – b) = a - b + m

又 ∵a - b + m 與a - b關(guān)于m同余

∴ a - b 和 a + b_補(bǔ)關(guān)于m同余

∴ 將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為補(bǔ)碼進(jìn)行計(jì)算后阴孟，仍然是成立的

所以晌纫，計(jì)算機(jī)中用補(bǔ)碼來儲存所有的數(shù)后，就不需要增加減法器了永丝，用加法器就可以代替計(jì)算減法锹漱，這樣能節(jié)省電路設(shè)計(jì)。

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參考資料：
http://www.cnblogs.com/organic/p/6486676.html
http://blog.csdn.net/vickyway/article/details/48788769
http://baike.baidu.com/item/%E5%90%8C%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86/1212360?fromtitle=%E5%90%8C%E4%BD%99&fromid=1432545
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98
https://www.zhihu.com/question/20159860/answer/21113783