功能磁共振成像分析的幾個方面需要以某種方式對圖像進(jìn)行空間變換，例如驱富，在個體內(nèi)部對齊圖像(可能是為了校正頭部運動)锚赤，或者跨個體對齊圖像(以便進(jìn)行群體分析)。變換圖像的方法有無限種褐鸥。簡單的變換(具有少量參數(shù))可能會在空間中移動結(jié)構(gòu)而不改變其形狀线脚，而更復(fù)雜的變換可能會使兩個復(fù)雜結(jié)構(gòu)的形狀彼此匹配。通常叫榕，我們將重點介紹與體素數(shù)量相關(guān)的參數(shù)相對較少的方法浑侥。我們還將重點放在自動化方法上，這些方法不需要任何手動描繪解剖和標(biāo)記晰绎，因為這些是目前最常見的方法寓落。這里我們只討論基于體積的轉(zhuǎn)換，它涉及到對三維數(shù)據(jù)體積的更改寒匙。在之后關(guān)于空間標(biāo)準(zhǔn)化零如，我們還要討論基于表面的配準(zhǔn)，它使用表面(如大腦皮層表面)而不是體積來對數(shù)據(jù)進(jìn)行空間變換锄弱。
將一幅圖像與另一幅圖像對齊需要兩個步驟考蕾。首先，我們必須估計產(chǎn)生最佳比對的變換參數(shù)会宪。這就要求我們有一個轉(zhuǎn)換模型肖卧，該模型指定更改圖像以重新對齊圖像的方式。這種模型中的每個參數(shù)都描述了要對圖像進(jìn)行的更改掸鹅。一個非常簡單的模型可能只有幾個參數(shù)塞帐；這樣的模型可能只會做一些粗略的改變，而不會對這兩幅圖像的細(xì)微細(xì)節(jié)保持一致巍沙。復(fù)雜的模型可能有更多的參數(shù)葵姥，將能夠更好地對齊圖像，特別是在更精細(xì)的細(xì)節(jié)上句携。我們還需要一種方法來確定兩幅圖像的錯位程度榔幸，我們將其稱為成本函數(shù)。我們希望最小化該成本函數(shù)矮嫉，以便找到最佳對準(zhǔn)兩幅圖像的參數(shù)削咆。一旦我們確定了轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)，我們就必須對原始圖像進(jìn)行重新采樣蠢笋，以創(chuàng)建轉(zhuǎn)換的版本拨齐。將每個體素的原始坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到新空間，并基于這些轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)創(chuàng)建新圖像昨寞。由于變換后的坐標(biāo)通常不會精確地落在原始圖像的坐標(biāo)之上瞻惋，因此有必要計算這些中間點的強度值厦滤，這就是所謂的插值。整個圖像插值方法范圍從簡單(如選擇最接近的原始體素)到復(fù)雜的加權(quán)平均值熟史。
1. 仿射變換
功能磁共振成像中使用的最簡單的變換模型涉及線性運算符的使用馁害，也稱為仿射變換。仿射變換的一個特點是蹂匹，在變換之前落在一條線上的任何一組點在變換后都會繼續(xù)落在一條線上。因此凹蜈，不可能使用仿射變換從根本上更改對象的形狀(如彎曲)限寞。
仿射變換涉及線性變換的組合：
沿每個軸的平移(平移)
繞每個軸旋轉(zhuǎn)
沿每個軸縮放(拉伸)
沿每個軸剪切
圖2.3顯示了每種轉(zhuǎn)換的示例。對于三維圖像仰坦，這些操作中的每一個都可以針對每個維度執(zhí)行履植，并且每個維度的操作由單個參數(shù)表示。因此悄晃，完全仿射變換(其中圖像在三維中沿每個軸平移玫霎、旋轉(zhuǎn)、傾斜和拉伸)由12個參數(shù)描述妈橄。
在某些情況下鼻种，您可能希望僅使用可能的線性變換的子集來變換圖像，這對應(yīng)于具有少于12個參數(shù)的仿射變換沙热。例如叉钥，在運動校正中，我們假設(shè)頭部在不改變其大小或形狀的情況下隨時間移動篙贸。我們可以使用僅具有六個參數(shù)（三個平移和三個旋轉(zhuǎn)）的仿射變換來重新對齊這些圖像投队，這也稱為剛體變換，因為它不會更改圖像中對象的大小或形狀爵川。
仿射變換的數(shù)學(xué)
仿射變換涉及圖像坐標(biāo)的線性更改敷鸦，可表示為：
其中Ctransformed變換是變換后的坐標(biāo)，Corig是原始坐標(biāo),T是變換矩陣雁芙。為了更方便地應(yīng)用矩陣運算轧膘，通常將坐標(biāo)表示為齊次坐標(biāo)，在齊次坐標(biāo)中兔甘，隨后的維度坐標(biāo)被嵌入(N+1)維向量中谎碍。這是一個數(shù)學(xué)技巧，它使執(zhí)行操作變得更容易(通過允許我們編寫Ctransform=T?Corigin而不是Ctransform=T?Corig+Translate)洞焙。為簡單起見蟆淀，這里我們提供一個實現(xiàn)二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換矩陣的示例：
其中CX和CY分別是X和Y維度上的坐標(biāo)拯啦。給定這些坐標(biāo)，則可以如下定義每個變換：
沿X(TransX)和Y(TransY)軸平移：
平面旋轉(zhuǎn)(按角度θ)：
沿X(ScaleX)和Y(ScaleY)軸縮放：
沿X(ShearX)和Y(ShearY)軸剪切：
2. 分段線性變換
仿射變換的一個擴展是將整個圖像分成幾個部分熔任，并允許在每個部分內(nèi)進(jìn)行不同的線性變換褒链。這稱為分段線性變換。在Jean Talairach提出的早期腦圖像空間歸一化方法中疑苔，使用了分段線性變換甫匹。
3. 非線性變換
與仿射變換相比，非線性變換在圖像配準(zhǔn)中提供了更大的靈活性惦费，從而可以更精確地匹配不同的圖像兵迅。有非常廣泛的非線性變換技術(shù)可用，我們在這里只能觸及皮毛薪贫；有關(guān)更多細(xì)節(jié)恍箭，請參見Ashburner&Friston(2007)和Holden(2008)。仿射變換僅限于體素坐標(biāo)上的線性運算瞧省，而非線性變換允許任何類型的運算扯夭。非線性轉(zhuǎn)換通常用基礎(chǔ)函數(shù)來描述，基礎(chǔ)函數(shù)是用于轉(zhuǎn)換原始坐標(biāo)的函數(shù)鞍匾。前面描述的仿射變換是基函數(shù)的一個例子交洗。但是，基礎(chǔ)函數(shù)擴展還允許我們以更高維的形式重新表示坐標(biāo)候学，從而允許更復(fù)雜的轉(zhuǎn)換藕筋。
例如，多項式基展開涉及原始坐標(biāo)的多項式函數(shù)梳码。二階多項式展開涉及原始坐標(biāo)(X/Y/Z)的所有可能組合隐圾，最高可達(dá)2的冪：
其中，/
/
是變換后的坐標(biāo)掰茶。此擴展共有30個參數(shù)暇藏。可以擴展到任何階數(shù)濒蒋，隨著階數(shù)的增加盐碱，參數(shù)的數(shù)量會迅速增加；例如沪伙，12階多項式在三維中總共有1,365個參數(shù)瓮顽。在fMRI數(shù)據(jù)分析中常見的另一個非線性基函數(shù)集是離散余弦變換(DCT)基集，其歷史上用于SPM(Ashburner&Friston围橡，1999)暖混，盡管最近已被樣條基函數(shù)所取代。該基集包括開始于低頻(在圖像中變化非常緩慢)且頻率增加的余弦函數(shù)翁授。它與傅立葉變換密切相關(guān)拣播。每個余弦函數(shù)都有一個與之相關(guān)的參數(shù)晾咪；低頻分量負(fù)責(zé)更漸進(jìn)的變化，而高頻分量負(fù)責(zé)更局部的變化贮配。
對于所有的非線性變換谍倦，參數(shù)的數(shù)量越多，變換圖像的自由度就越大泪勒。具體地說昼蛀，高維變換允許更局部化的變換；線性變換必然以等效的方式影響整個圖像圆存，而非線性變換可以比其他部分更劇烈地改變圖像的某些部分曹洽。
以上內(nèi)容來自《Handbook of functional MRI Data Analysis》。
