丁小平微積分研究成果芻議
科技進(jìn)步離不開基礎(chǔ)科學(xué)的突破,因?yàn)榛A(chǔ)科學(xué)可為解決工程技術(shù)領(lǐng)域的問題提供觀和方法論,作為研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)則是所有科學(xué)的基礎(chǔ)悔醋。
微積分是數(shù)學(xué)的重要分支,馮·諾依曼說:“微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就,對(duì)它的重要性做怎樣的估計(jì)都不會(huì)過分肺孵⊙”恩格斯說:“在一切理論進(jìn)步中,同17世紀(jì)下半葉發(fā)明微積分比較起來,未必再有別的東西會(huì)被看作人類精神如此崇高的勝利拖云【厍罚”
自2009年我國(guó)數(shù)學(xué)家丁小平先生系統(tǒng)整理了了三十年的研究成果,2011年他將《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤》和《新微積分原理簡(jiǎn)介》兩篇論文遞交給第四屆世界數(shù)學(xué)科學(xué)大會(huì)(Fourth International Conference on Mathematical Sciences ,ICM(2012)),2012年3月受邀在大會(huì)上宣讀論文;2015年起,《前沿科學(xué)》陸續(xù)發(fā)表了他的《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤》倦踢、《略論作為微積分原理的完善的實(shí)變函數(shù)》炕倘、《微分之講授》等文章求冷。 2018年,《中國(guó)科學(xué)報(bào)》以《由“數(shù)學(xué)大國(guó)”向“數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)”邁進(jìn)始于重視數(shù)學(xué)》為題,對(duì)丁小平先生的研究成果及事跡進(jìn)行了報(bào)道瘤运。
到目前為止,在了解他學(xué)術(shù)結(jié)論的數(shù)學(xué)家中,還沒有人能指出其觀點(diǎn)在邏輯或依據(jù)使用上存在哪些錯(cuò)誤。按照有條件懷疑原則,科學(xué)家有責(zé)任評(píng)價(jià)其他科學(xué)家的研究成果,也要允許別人對(duì)自己的成果的懷疑,這不僅有利于避免出現(xiàn)“寶玉而題之以石,貞士而名之以誑”現(xiàn)象,也是踐行科學(xué)家精神的題中應(yīng)有之意匠题。
?????丁小平參加清華大學(xué)校慶與同學(xué)合影留念(后排左一丁小平)
青年作為社會(huì)變革中最新銳而敏感的群體,是標(biāo)志時(shí)代的最靈敏的晴雨表拯坟。我們采訪了中國(guó)科學(xué)院科學(xué)史博士研究生周芃君和中國(guó)科學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士研究生周永亮,聽一聽青年人怎么看待丁小平先生的研究成果。
問:近四百年科學(xué)技術(shù)的實(shí)踐證明,微積分是無懈可擊的,怎么會(huì)錯(cuò)呢?
答:微積分是微積分原理和微積分方法的總稱韭山。微積分方法是先被揭示的,這似乎有些奇怪,微積分方法誠(chéng)如馬克思所說:“通過肯定不正確的數(shù)學(xué)途徑得出的正確的(尤其在幾何上是驚人的)結(jié)果郁季。”為此,我們就要弄清:第一,微積分方法為什么行之有效?第二,揭示微積分方法的正確途徑是什么?第三,怎樣揭示更多的微積分方法?回答這些問題的邏輯體系就是微積分原理钱磅。
牛頓和萊布尼茲在揭示微積分方法的同時(shí)就試圖建立微積分原理,可是終其一生也沒能實(shí)現(xiàn)梦裂。后來,以柯西為代表的數(shù)學(xué)家們建立起了微積分原理,就是今天人們所學(xué)的微積分原理。但該原理雖經(jīng)黎曼等數(shù)學(xué)家完善,邏輯上仍不能自圓其說,進(jìn)而制約人類科技的發(fā)展盖淡。
問:能否從科學(xué)史角度對(duì)微積分發(fā)展歷程做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹?
答:牛頓和萊布尼茲在1665年和1673年,分別獨(dú)自創(chuàng)建微積分方法體系,并建立各自的微積分原理,其結(jié)果是:微積分方法放之四海而皆準(zhǔn),但微積分原理始終不能自圓其說塞琼。在牛頓的微積分原理中,由于構(gòu)造流數(shù)(即導(dǎo)數(shù))的需要,牛頓人為地引入小量“o”,可是,當(dāng)流數(shù)構(gòu)造出之后,牛頓又覺得流數(shù)后“o”的組合項(xiàng)是個(gè)麻煩,于是,又人為地舍棄“o”項(xiàng)。邏輯學(xué)告訴人們,如果一個(gè)量無論多小都得引入,那它就不可以忽視;如果一個(gè)量小得可以忽視,那它就不必引入禁舷。據(jù)此,基督教北愛爾蘭地區(qū)克羅因主教貝克萊嘲笑牛頓的“o”是幽靈彪杉。
在萊布尼茲的微積分原理中,萊布尼茲定義兩個(gè)要多近就可以多近的變量的差為微分,微分的逐點(diǎn)累加就是積分(毋需區(qū)分不定積分與定積分),積分的微化就是微分,導(dǎo)數(shù)就是因變量與自變量的微分之比。萊布尼茲微積分原理的不足在于說不清“要多近就可以多近”究竟是多近牵咙。當(dāng)然,在微積分方法的揭示上,歐拉做得更多派近、更好。
沃利斯開創(chuàng)的極限論到十九世紀(jì)得以成體系洁桌。1821年和1823年,法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西以極限論為工具分別出版了他的《分析教程》和《無限小計(jì)算教程概論》,以此為標(biāo)志,人類建立起第一個(gè)微積分原理渴丸。后來,又經(jīng)過黎曼、維爾斯特拉斯和達(dá)布等數(shù)學(xué)家的完善,我們現(xiàn)行的微積分原理宣布大功告成另凌∑坠欤柯西系的微積分原理本質(zhì)上就是用極限論處理掉“o”項(xiàng)的牛頓系的微積分原理,但在解釋不了豐富多彩的微積分方法為什么行之有效時(shí)又只好把萊布尼茲的微分拼湊進(jìn)去。
可是,1875年數(shù)學(xué)家托梅對(duì)現(xiàn)行微積分原理提出挑戰(zhàn)吠谢。繼托梅的直尺函數(shù)之后,原點(diǎn)左右無限震蕩函數(shù)和越接近原點(diǎn)越無限次震蕩的衰減函數(shù)等相繼登場(chǎng),此后,微積分原理再次陷入危機(jī)之中土童。如果我們稱貝克萊對(duì)牛頓的質(zhì)疑為微積分原理的第一次危機(jī)的話,那么,這次危機(jī)稱之為微積分原理的第二次危機(jī)。微積分原理第二次危機(jī)的化解是法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格完成的,他在1902年的《積分,長(zhǎng)度和面積》一文中提出兩個(gè)核心思想,即后人所說的“勒貝格測(cè)度”和“勒貝格積分”工坊。但丁小平先生說,勒貝格和貝爾等數(shù)學(xué)家的所謂“化解”仍然是立不住的献汗。
問:丁小平認(rèn)為現(xiàn)行微積分原理主要存在哪些問題?
答:丁小平先生指出,現(xiàn)行微積分原理存在三方面的問題:第一,存在錯(cuò)誤;第二,依據(jù)不充分,細(xì)微之處問題甚多;第三,結(jié)構(gòu)扭曲敢订。先說第一個(gè)問題:
當(dāng)然,還有使用張量完成這種轉(zhuǎn)換的,但這同樣是沒有意義的。因?yàn)閿?shù)學(xué)表達(dá)形式不改變事物本質(zhì),就像不用波函數(shù)而改用矩陣表達(dá)這并不改變微觀客體的本質(zhì)一樣罢吃。如上錯(cuò)誤引起的問題是多方面的,首先就導(dǎo)致微分方程和微分幾何的邏輯困難楚午。
第二,現(xiàn)行微積分原理的含糊是多方面的,以極限為例,在現(xiàn)行數(shù)-形模型之下,兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)點(diǎn)只能無限接近,因此,極限的結(jié)果不存在。比如,正多邊形隨著邊數(shù)無限增多的極限是圓,可現(xiàn)行數(shù)-形模型下沒有圓,有的只是邊無限縮短的正多邊形尿招。
第三,現(xiàn)行微積分原理在多元積分與多重積分問題上是含混的,除了恰當(dāng)積分外,沒有多元積分矾柜。但發(fā)展多元積分是必須的,因?yàn)榻馄⒎址匠桃慷嘣e分。
以上是扼要說明,丁小平先生在《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤》(《前沿科學(xué)》2015(4))一文中有詳細(xì)的論述就谜。
問:有數(shù)學(xué)家說丁小平指出的不過是古典微積分原理的問題,這些問題在實(shí)變函數(shù)理論和現(xiàn)代分析那里早已解決怪蔑。對(duì)此觀點(diǎn)你們?cè)趺纯?
答:在《略論作為微積分原理的完善的實(shí)變函數(shù)》(《前沿科學(xué)》2016(4))一文中,丁小平先生作了專門的回答。這篇文章是發(fā)人深省的吁伺。舉幾個(gè)例子:
第一,丁小平指出測(cè)度論的錯(cuò)誤饮睬。這事實(shí)上是掀翻了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。丁小平先生指出:“測(cè)度論的邏輯脈絡(luò)是:區(qū)間及其對(duì)應(yīng)的線段是有測(cè)度的,而代數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的測(cè)度為0,又因?yàn)閰^(qū)間及其對(duì)應(yīng)的線段是由代數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和超越數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的,所以,超越數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者篮奄。事實(shí)上,區(qū)間及其對(duì)應(yīng)的線段不是由二者,而是由三者——代數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與超越數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以及點(diǎn)與點(diǎn)的間隙共同構(gòu)成的,勒貝格只排除代數(shù)數(shù)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者,但卻不知道與實(shí)數(shù)一樣多的間隙存在,就武斷地說超越數(shù)或其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者,這樣使用排除法是錯(cuò)誤的捆愁。”丁小平先生接著指出:“現(xiàn)行實(shí)數(shù)從來就沒填滿過數(shù)軸,因?yàn)楝F(xiàn)行數(shù)和點(diǎn)都是無度量的,而數(shù)軸是有度量的,無度量的數(shù)或點(diǎn)不管多到何種程度,數(shù)軸都是有空隙的窟却。因此,從這種武斷出發(fā)的任何證明都是立不住的昼丑。數(shù)是不能有測(cè)度的,只有量才可以有測(cè)度。量是數(shù)的差,盡管量也要用數(shù)來表達(dá)夸赫。超越數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與代數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在解析幾何意義上沒有任何不同,代數(shù)數(shù)承擔(dān)不了測(cè)度,超越數(shù)也同樣承擔(dān)不了測(cè)度菩帝。”
前面我們說,微積分原理的第二次危機(jī)是由勒貝格測(cè)度及以之為依據(jù)的勒貝格積分解決的,既然勒貝格測(cè)度理論是立不住的,那么,問題是否解決了不是再清楚不過了嗎?
第二,數(shù)學(xué)的歷史而言,誠(chéng)如丁小平先生所說:“分析數(shù)學(xué),尤其是近代分析,從來就不像對(duì)數(shù)學(xué)史知之甚少的數(shù)學(xué)工作者所理解的那個(gè)樣子,也從來不像當(dāng)代數(shù)學(xué)教科書所寫的那個(gè)樣子茬腿。以S.D.泊松(S.D.Poisson,1781-1840)為代表的數(shù)學(xué)家從來就不同意以柯西提出的微積分原理,以亨利·龐加萊(H.Poincaré呼奢、F.Klein,1849-1925)等為代表的數(shù)學(xué)家從來就不同意實(shí)變函數(shù)理論。人們似乎忘記,‘龐加萊切平、克萊因和希爾伯特,是在19世紀(jì)和20世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上聳立著的三個(gè)巨大身影’,‘三個(gè)巨大身影’中的兩個(gè)都反對(duì)的東西,竟然會(huì)向希爾伯特一邊倒,個(gè)中就沒有數(shù)學(xué)之外的原因在起作用嗎?”這是不無道理的,就像張景中院士所說:“數(shù)學(xué)家也要吃飯握础、穿衣°财罚”
貝克萊指出:“在某種錯(cuò)誤的補(bǔ)償中某些錯(cuò)誤抵消其它錯(cuò)誤,從而掩蓋其中存在的漏洞禀综。”19和20世紀(jì)之交就出了這樣一位數(shù)學(xué)領(lǐng)袖,他就是希爾伯特苔严。希爾伯特通過肯定康托定理,一下子就把千瘡百孔的數(shù)學(xué)變成了完美的數(shù)學(xué)定枷。丁小平先生說康托定理是錯(cuò)誤的,他給出的證明十分簡(jiǎn)明:
假設(shè)A、B届氢、C欠窒、D、E為無限集合,A=B+C+D,再設(shè)C=E,則E為A的真子集悼沈。A中的真子集C足以與E一一對(duì)應(yīng)(有公理保證),故而,E中再無元素可與B和D對(duì)應(yīng)贱迟。這個(gè)簡(jiǎn)單的證明對(duì)無限集合和有限集合都適用姐扮。
丁小平先生接著指出:“只看到A與E中的元素是無限的,就在不加區(qū)分增長(zhǎng)速度的情況下舉出某一個(gè)對(duì)應(yīng)方式,很不妥絮供。這種觀點(diǎn)的幼稚之處在于,因?yàn)镋中具有無限多元素,所以,E就可以與(B+C+D)中的元素一一對(duì)應(yīng)下去,可是,他們忘記了C與E是同步的無窮多,從而,B和D在E中再找不到對(duì)應(yīng)項(xiàng)衣吠。”
問:能否簡(jiǎn)要說下丁小平在數(shù)學(xué)領(lǐng)域所做的工作及其主要意義?
答:第一,系統(tǒng)而深刻地揭示現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤壤靶。首先,全面地指出現(xiàn)行微積分原理存在的錯(cuò)誤和不足;其次,從數(shù)學(xué)史和科學(xué)方法論兩方面指出為什么會(huì)發(fā)生這些錯(cuò)誤;最后,在傳統(tǒng)數(shù)-形模型條件下給出正確結(jié)果,以反襯的方式再次指出現(xiàn)行微積分原理確實(shí)錯(cuò)了缚俏。
如果真的能夠靜下心來想,會(huì)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤是比較初級(jí)的,但為什么它是世界最難的問題之一呢?這就好比相對(duì)論原理,不是發(fā)現(xiàn)難,而是堅(jiān)信難,不是大家愛因斯坦誰敢第一個(gè)堅(jiān)信呢?丁小平先生此項(xiàng)工作的意義在于把數(shù)學(xué)寶藏的大門打開了。
第二,丁小平先生按照持之有故言之成理的準(zhǔn)則,向數(shù)學(xué)界宣布,實(shí)變函數(shù)體系錯(cuò)誤很多,并且給出了從重建測(cè)度論角度重建實(shí)變函數(shù)的思路贮乳。丁小平先生曾經(jīng)說過,他人單勢(shì)孤,不想在微積分這個(gè)堡壘拿下來之前向?qū)嵶兒瘮?shù)宣戰(zhàn)忧换。可是,在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家把戰(zhàn)線引到這里時(shí),他也不得不應(yīng)戰(zhàn)向拆。他還指出柯西體系的實(shí)分析有錯(cuò)誤,復(fù)分析也站不住腳亚茬。丁小平先生此項(xiàng)工作的意義在于把實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)理論引向正確的方向。
第三,重建數(shù)-形模型浓恳。丁小平先生指出現(xiàn)行實(shí)數(shù)體系以及點(diǎn)刹缝、線、面颈将、體(當(dāng)然也可以是希爾伯特所謂的“桌子梢夯、椅子、啤酒瓶”)是現(xiàn)行數(shù)學(xué)的數(shù)-形模型晴圾。一些數(shù)學(xué)工作者只知道其它科學(xué)需要數(shù)學(xué)模型,而不知道數(shù)學(xué)自身也是建立在模型基礎(chǔ)之上的科學(xué)颂砸。
現(xiàn)行的數(shù)-形模型是存在邏輯缺陷的。舉個(gè)例子,一個(gè)有A這一點(diǎn),卻沒有下一點(diǎn)B(只要給出下一點(diǎn)B,AB兩點(diǎn)間就可以插入第三點(diǎn),B就不是下一點(diǎn))的不間斷的線死姚。 有了新的數(shù)-形模型,數(shù)學(xué)就可以在不存在邏輯缺陷的數(shù)-形模型基礎(chǔ)上發(fā)展了人乓。新的數(shù)-形模型將引發(fā)一場(chǎng)數(shù)學(xué)革命,從而引發(fā)整個(gè)科學(xué)的一場(chǎng)革命。
第四,重建新微積分原理都毒。新微積分原理實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的點(diǎn)級(jí)描述,比如給出微分的數(shù)學(xué)承擔(dān)者和導(dǎo)數(shù)的瞬時(shí)比形式色罚、實(shí)現(xiàn)積分的逐點(diǎn)累加等等,其中解決微分的數(shù)學(xué)承擔(dān)者問題不僅解決了數(shù)學(xué)自身的問題,也使得諸如虛位移原理等自然科學(xué)的核心問題得以解決。新微積分原理的建立,必將引發(fā)微分幾何温鸽、微分方程保屯、復(fù)變函數(shù)和泛函分析等學(xué)科的迅猛發(fā)展。新微積分原理還修正了現(xiàn)行微積分體系結(jié)構(gòu)的扭曲,省略了繁瑣迂回的推理,在新微積分原理中微分就是對(duì)某區(qū)間的點(diǎn)級(jí)微化,積分是對(duì)點(diǎn)級(jí)微化結(jié)果的累加,微分與積分互為逆運(yùn)算,并不存在本質(zhì)不同的定積分和不定積分,導(dǎo)數(shù)就是微商,極其簡(jiǎn)單易學(xué)涤垫。這對(duì)我國(guó)的高等數(shù)學(xué)教育,以及科技人才的培養(yǎng)有重要意義姑尺。
李克強(qiáng)總理多次呼吁解決我國(guó)數(shù)學(xué)卡科學(xué)的脖子問題,主要問題出在哪兒?了解自然科學(xué)和工程技術(shù)前沿問題的科研工作者都知道,就出在微分方程的求解上,新微積分原理可在這方面提供方便。
問:究竟什么樣的微積分才是滿足要求的?
答:概言之,現(xiàn)行微積分原理所做的是回答微積分方法行之有效,而不是回答微積分方法為什么行之有效蝠猬。事實(shí)上,實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的根本標(biāo)準(zhǔn),近四百年的科學(xué)技術(shù)實(shí)踐早已回答了微積分方法是否行之有效的問題,不需要一個(gè)在理論上再隨聲附和的微積分原理切蟋。滿足要求的微積分原理必須回答“通過肯定是不正確的數(shù)學(xué)途徑得出了正確的(尤其在幾何上是驚人的)結(jié)果”的微積分方法為什么行之有效,還要能優(yōu)化已有微積分方法,并揭示更多微積分方法。
有的數(shù)學(xué)家肯定丁小平先生指出了現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤,但是認(rèn)為意義有限榆芦。他們說:“微分錯(cuò)了微積分教材就把它刪了,微積分課可以照講柄粹〈瘢”這些數(shù)學(xué)家忽略了微積分方法和原理的區(qū)別、導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)比但卻寫不成瞬時(shí)比的形式的缺陷驻右、數(shù)學(xué)自身存在的根本價(jià)值等什黑。十八世紀(jì)初到十九世紀(jì)末是數(shù)學(xué)與自然科學(xué)交織在一起的突飛猛進(jìn)的發(fā)展時(shí)期,以歐拉、拉格朗日堪夭、拉普拉斯愕把、勒讓德、傅里葉森爽、高斯恨豁、泊松、哈密頓等為代表的科學(xué)家,幾乎都是精通數(shù)學(xué)爬迟、一般力學(xué)橘蜜、固體力學(xué)、流體力學(xué)付呕、天體力學(xué)计福、熱力學(xué)、物理學(xué)等的通才,他們又幾乎都是拒斥柯西微積分原理的凡涩。正是這個(gè)原因,這些年自然科學(xué)中所使用的微積分方法普遍沿用萊布尼茲的“無窮小量”棒搜、“微分”、“導(dǎo)數(shù)(微商)”和約翰.貝努力的“變分”等工具,不僅如此,即使時(shí)至今日,這些東西還都在繼續(xù)沿用著』罨現(xiàn)實(shí)要求微積分原理對(duì)這些微積分方法行之有效的機(jī)理加以說明,而不是通過削足適履的手段閹割事實(shí),更不是通過涂抹掉無窮小力麸、微分及變分廣泛使用的科學(xué)歷史來為一個(gè)不稱職的微積分原理的存在創(chuàng)造條件。
當(dāng)今的數(shù)學(xué)工作者的歷史使命是重建滿足客觀需求的微積分原理,新的微積分原理不僅要講明現(xiàn)實(shí)中豐富的微積分方法行之有效的基本機(jī)理,而且,還要能闡釋自1665年牛頓創(chuàng)建微積分原理以來與自然科學(xué)交織在一起的微積分方法的細(xì)枝末節(jié)的正確以及不足的原因育韩。只有滿足這些要求的微積分原理才是夠格的克蚂。對(duì)此問題,丁小平先生在《人類究竟需要什么樣的微積分原理》做了詳盡的回答。
問:如何看待丁小平成果尚未得到鑒定問題,能否從科學(xué)史角度談?wù)剬?duì)于科研成果筋讨、評(píng)定人才評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的看法?
答:毛澤東主席曾指出:“歷史上新的正確的東西,在開始的時(shí)候常常得不到多數(shù)人承認(rèn),只能在斗爭(zhēng)中曲折地發(fā)展埃叭。正確的東西,好的東西,人們一開始常常不承認(rèn)它們是香花,反而把它們看作毒草。哥白尼關(guān)于太陽系的學(xué)說,達(dá)爾文的進(jìn)化論,都曾經(jīng)被看作是錯(cuò)誤的東西,都曾經(jīng)經(jīng)歷艱苦的斗爭(zhēng)悉罕〕辔荩”可是,時(shí)代在進(jìn)步,可不可以把誤認(rèn)作毒草的時(shí)間縮短些?可不可以少些科學(xué)迷信、科學(xué)傲慢和嫉賢妒能?布魯諾壁袄、阿貝爾类早、伽羅華、陸家羲的悲劇不能再重演了嗜逻。
上世紀(jì)八十年代是精英教育的時(shí)代,丁小平先生在那個(gè)時(shí)代就考取清華大學(xué)工學(xué)碩士研究生涩僻、中央民族學(xué)院哲學(xué)碩士研究生和北京大學(xué)理學(xué)碩士研究生。他的同學(xué)現(xiàn)在大多已是科學(xué)技術(shù)帶頭人了,其中不乏院士,有的還同時(shí)是北美某國(guó)科學(xué)院院士、工程院院士逆日、歐洲科學(xué)與藝術(shù)院院士嵌巷、歐洲科學(xué)院院士,這樣的外籍院士對(duì)丁小平先生的學(xué)問都贊嘆不已。丁小平先生不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有開創(chuàng)性成就,在一般哲學(xué)室抽、馬克思主義搪哪、心理學(xué)、美學(xué)狠半、管理學(xué)噩死、物理學(xué)颤难、紅樓夢(mèng)學(xué)神年、現(xiàn)代中醫(yī)學(xué)等也有著開創(chuàng)性的成果,我所知道的他指導(dǎo)的博士研究生和博士后不下二十個(gè)研究方向。他義務(wù)教學(xué)近二十多年,從來沒有收取過學(xué)生一分錢,不管是品德還是學(xué)問,丁小平先生都是出類拔萃的行嗤。
我們還是些很幼稚的學(xué)生,沒有資格做科學(xué)裁判,甚至我們的看法可能還是偏見已日。我們的看法都不重要,重要的是學(xué)術(shù)界和社會(huì)能夠真正落實(shí)“深化三評(píng)”、“破除四唯”等文件精神,早日把丁小平先生的研究結(jié)論進(jìn)行鑒定栅屏。石耶?璞耶?自然見分曉飘千。
本文原刊載于中國(guó)西部科技2020年1月中19卷第2期（總第391期）第227-228頁(yè)。
轉(zhuǎn)載于 網(wǎng)易號(hào)天地生人：丁小平微積分研究成果芻議
