權(quán)證定價經(jīng)典模型之B-S期權(quán)定價模型
@漢默森Studio峡眶、上證報[原文]
@鐵山青士[綜編]
B-S模型
B-S模型系以兩位經(jīng)濟(jì)學(xué)家的姓氏命名若皱，B和S分別是——美國芝加哥大學(xué)教授Fischer Black和Myron Scholes的姓氏首字母阅虫，他們于1973年提出了Black-Scholes期權(quán)定價模型吊履，簡稱B-S模型或B-S公式寨典。
在二叉樹的期權(quán)定價模型中，如果標(biāo)的證券期末價格的可能性無限增多時想虎，其價格的樹狀結(jié)構(gòu)將無限延伸卦尊，從每個結(jié)點(diǎn)變化到下一個結(jié)點(diǎn)（上漲或下跌）的時間將不斷縮短，如果價格隨著時間周期的縮短舌厨，其調(diào)整的幅度也逐漸縮小的話岂却，在極限的情況下，二叉樹模型對歐式權(quán)證的定價就演變?yōu)殛P(guān)于權(quán)證定價理論的經(jīng)典模型——B-S模型裙椭。
期權(quán)價格
期權(quán)價格是如何得來的躏哩？當(dāng)然是通過交易得來。那么決定期權(quán)價格的影響因素有哪些呢揉燃？一般認(rèn)為影響期權(quán)價格的因素主要有六種扫尺，分別是標(biāo)的價格、行權(quán)價格炊汤、無風(fēng)險利率正驻、標(biāo)的價格的波動率弊攘、距離到期日的時間和股息率。正是這六個因素的千變?nèi)f化使得期權(quán)的價格在市場上時時刻刻發(fā)生變化姑曙。那么襟交，這六個因素具體如何影響期權(quán)價格？是不是有一個關(guān)系式能夠直接刻畫期權(quán)價格與這六個影響因素的關(guān)系呢伤靠？
其實(shí)捣域，自從期權(quán)交易產(chǎn)生以來，尤其是股票期權(quán)交易產(chǎn)生以來醋界，學(xué)者們一直致力于對這一關(guān)系式的探討竟宋。1973年，美國芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black和Myron Scholes發(fā)表《期權(quán)定價與公司負(fù)債》一文形纺，提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價模型丘侠，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈的反響，Myron Scholes因此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎逐样。B-S模型利用復(fù)制資產(chǎn)和無套利假設(shè)的方法蜗字，得出了反映期權(quán)價格與標(biāo)的價格、時間之間的微分方程脂新，并求解出著名的B-S期權(quán)定價公式挪捕。
前世今生
1960年代后期，F(xiàn)ischer Black取得了Harvard數(shù)學(xué)博士學(xué)位争便，他遇到了一位年輕的MIT金融教授级零，Myron Scholes。兩個年輕人越聊越投機(jī)滞乙，經(jīng)常就金融市場的運(yùn)作等問題交換意見奏纪。不久之后，Black加入MIT斩启，開始與Scholes合作研究期權(quán)序调。當(dāng)時金融界廣泛接受的是資產(chǎn)定價理論，而一個非常難解的微分方程阻礙著Black和Scholes專攻定價方法的進(jìn)展兔簇。終于发绢，Black在物理學(xué)中獲得了靈感，他通過將這個微分方程轉(zhuǎn)化為一個描述熱運(yùn)動的方程垄琐，并查閱物理學(xué)典籍輕易求得了微分方程的解边酒，從而獲得了與第一種與其定價方法相匹配的期權(quán)定價模型。最終他們的成果Black-Scholes Model在權(quán)威期刊Journal of Political Economy上公之于世此虑。
有趣的是甚纲，在同一時期，另外一名來自MIT的金融教授也在研究期權(quán)定價朦前。這個叫Robert Merton的年輕人幾乎與Black和Scholes同時推導(dǎo)出了相同的期權(quán)定價模型介杆。但Merton為人非常謙虛鹃操，他要求他的論文不要早于Black和Scholes的論文刊發(fā)。最終春哨，Merton的論文在另一本期刊Bell Journal of Economics and Management Science上發(fā)表荆隘，也正是因?yàn)檫@樣，很多教科書都將這個期權(quán)定價模型命名為Black-Scholes-Merton Model或BSM赴背。
成立條件
任何一個模型都是基于一定的市場假設(shè)的椰拒，Black-Scholes模型模型的基本假設(shè)有以下八點(diǎn)：
首先，我們假設(shè)股價的變化不是零散的布朗運(yùn)動凰荚，而是服從對數(shù)的正態(tài)分布燃观，服從對數(shù)正態(tài)分布的股票價格始終為正數(shù)，這與公司股票的有限負(fù)債特征一致便瑟。在對數(shù)正態(tài)分布下缆毁，不論股價是高是低，用百分比表示的價格變化有相同的分布到涂。我們實(shí)際觀察到的股價分布數(shù)據(jù)脊框，也與對數(shù)正態(tài)分布模型相當(dāng)一致。
其次践啄，從期權(quán)合約訂立到行權(quán)浇雹，我們假設(shè)市場的無風(fēng)險利率和波動率是恒定不變的，很多人會認(rèn)為此處的無風(fēng)險利率等同于期權(quán)到期日相同的國庫券利率屿讽。
第三個假設(shè)是昭灵，市場上不存在任何的套利機(jī)會。
第四個假設(shè)是伐谈，市場是無摩擦的虎锚，交易成本為零，也就是期權(quán)的賣方無需繳納保證金衩婚，而交易的手續(xù)費(fèi)、傭金效斑、稅費(fèi)等也為零非春。
第五個假設(shè)是模型中的期權(quán)必須是歐式期權(quán)，也就是那些在到期日方可行權(quán)的期權(quán)缓屠，而美式期權(quán)定價不適用定價模型奇昙。
第六是投資者的借入利率和借出利率必須相同。
第七是市場允許賣空期權(quán)合約的標(biāo)的證券敌完。
最后一個假設(shè)是標(biāo)的證券的交易單位是可以無限可分的储耐，比如我們可以買賣100股、10股滨溉、1股什湘、0.1股长赞、0.01股等。
在滿足以上八大假設(shè)的前提下闽撤，B-S模型才有其適用價值得哆。
在我國，當(dāng)標(biāo)的證券分紅除息時哟旗，權(quán)證的行權(quán)價格也做相應(yīng)的除息調(diào)整贩据，因此不需要標(biāo)的證券不分紅的假設(shè)。
計(jì)算方法
根據(jù)假設(shè)和數(shù)學(xué)推斷闸餐，歐式認(rèn)購期權(quán)價格的計(jì)算公式為：
C=SN(d1)-XeN(d2)
公式中的C表示認(rèn)購權(quán)證理論價格饱亮，X表示行權(quán)價格，S表示正股價格舍沙，T表示權(quán)證的剩余期限近上，r表示無風(fēng)險利率，N()表示正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)场勤。
我們可以從兩個角度理解該公式戈锻。
第一個角度是根據(jù)定價原理理解。該模型可以看作兩部分和媳，SN(d1)和XeN(d2)正好理解為一個投資組合的兩個組成部分格遭，即N(d1)份正股和XeN(d2)元的無息貸款的組合。也就是說留瞳，在權(quán)證未到期前的任何時刻拒迅，一份認(rèn)購權(quán)證的價值與N(d1)份正股和XeN(d2)元的無息貸款的組合價值相同。
第二個角度是從權(quán)證的到期收益來理解她倘。權(quán)證的價值由其到期日能夠給持有者帶來的收益決定璧微。但是到期時正股價格不確定，因此權(quán)證的收益也難以確定硬梁。假設(shè)到期時正股價格為S前硫，則到期時認(rèn)購權(quán)證的價格為S-X。那么荧止，在到期前的任一時刻t,要想知道認(rèn)購權(quán)證的價格屹电，我們就需要推算認(rèn)購權(quán)證到期時正股價為S的概率，同時將行權(quán)價格按一定的貼現(xiàn)率折算為時刻t的現(xiàn)值跃巡。因此危号，認(rèn)購權(quán)證的定價模型可以理解為在任一時刻t,認(rèn)購權(quán)證到期時正股價格為S的概率為N(d1)，Xe為行權(quán)價格在時刻t的現(xiàn)值素邪，N(d2)為概率外莲。因此，在任一時刻t,認(rèn)購權(quán)證給投資者帶來的收益即為SN(d1)-XeN(d2)兔朦。
在得出了歐式認(rèn)購權(quán)證的價格之后偷线，很容易得出歐式認(rèn)沽權(quán)證價格的計(jì)算公示磨确，即C= XeN(-d2)－SN(-d1)，同樣淋昭，我們也可以從兩個不同的角度來直觀理解認(rèn)沽權(quán)證的B-S定價公式俐填。
第一個角度是把認(rèn)沽權(quán)證看作是XeN(-d2)元無息存款與賣出N(-d1)份正股的組合。也就是說翔忽，在任一時刻英融，一份認(rèn)沽權(quán)證的價值與賣出N(-d1)份正股并同時存入XeN(-d2)元的無息存款的價值相同。
從另一個角度看歇式，假設(shè)到期時正股價格為S元驶悟，則到期時認(rèn)沽權(quán)證的價格為X-S元。認(rèn)沽權(quán)證的B-S定價模型可以理解為在任一時刻t,認(rèn)沽權(quán)證到期時正股價格為S的概率為N(-d1)材失，Xe為行權(quán)價格在時刻t的現(xiàn)值痕鳍，因此，在任一時刻t,認(rèn)沽權(quán)證能夠給投資者帶來的收益即為C= XeN(-d2)－SN(-d1)龙巨。
美中不足
雖然B-S模型簡單易用笼呆，也有美中不足之處：首先，對于深度實(shí)值或虛值的期權(quán)旨别，模型的定價會產(chǎn)生較大偏差诗赌，會高估深度虛值期權(quán)，低估深度實(shí)值期權(quán)秸弛；其次铭若，B-S模型對臨近到期日的期權(quán)估值存在較大誤差；最后递览，B-S模型八大假設(shè)中的借入借出資金成本相等叼屠、不存在交易成本、不需繳納保證金等先決條件绞铃，均與現(xiàn)實(shí)差距較大镜雨。雖然B-S模型從面世以來已經(jīng)成為投資者比較期權(quán)市場價格和做市商制定基準(zhǔn)價格的重要依據(jù)，但學(xué)界還是不斷提出更多期權(quán)定價模型儿捧，其中最著名的是1979年由J. Cox冷离、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹模型。之后纯命，在二叉樹模型的基礎(chǔ)上，Phelim Boyle又于1986年提出了三叉樹模型痹栖。
運(yùn)用問題
實(shí)務(wù)中最大的問題是：我們?nèi)绾芜\(yùn)用B-S模型亿汞？其實(shí)非常簡單。當(dāng)我們輸入B-S模型中所要求的期權(quán)行權(quán)價格揪阿、標(biāo)的證券價格疗我、無風(fēng)險利率咆畏、到期時間和波動率，就能得到期權(quán)的價格吴裤；而在我們輸入期權(quán)行權(quán)價格旧找、標(biāo)的證券價格、無風(fēng)險利率麦牺、到期時間和期權(quán)價格時钮蛛，就能得到期權(quán)當(dāng)下的隱含波動率。隱含波動率作為期權(quán)里非常重要的一個指標(biāo)剖膳，是衡量期權(quán)價格高低的一個重要參考因素魏颓。譬如，某一期權(quán)合約的隱含波動率高于歷史波動率達(dá)到一定程度吱晒，且明顯超過其他行權(quán)價合約的隱含波動率甸饱，那么該期權(quán)合約的價格可能存在高估的現(xiàn)象。
隨著期權(quán)市場發(fā)展越來越迅速仑濒、交易策略越來越復(fù)雜叹话，美式期權(quán)、奇異期權(quán)等各種新產(chǎn)品的誕生墩瞳，像傳統(tǒng)歐式期權(quán)那樣能用解析解定價的期權(quán)合約已經(jīng)越來越少驼壶。伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，學(xué)界和業(yè)界都開始運(yùn)用各類數(shù)值方法對期權(quán)進(jìn)行定價矗烛，最常用的兩種方法是蒙特卡羅方法和有限差分方法辅柴。蒙特卡羅方法主要適用于衍生品收益與標(biāo)的資產(chǎn)的歷史價格有關(guān)或者有多個標(biāo)的資產(chǎn)的情形，其基于風(fēng)險中性理論瞭吃，用算術(shù)平均代替理論的期望值碌嘀，用離散代替連續(xù)，起到簡化近似的效果歪架。有限差分方法則適用于期權(quán)持有者可以提前行權(quán)的美式期權(quán)或其他需要在到期日之前做出某種決定的衍生產(chǎn)品股冗，通過數(shù)值求解微分方程（用差分方程替代微分方程）的方式達(dá)到定價的目的。
鐵山青士編注：該文帖系名都華品微信公眾平臺訂閱號文帖和蚪，綜合編訂自【B-S模型_漢默森Studio的新浪博客2018-09-06 00:02:28】與【期權(quán)定價方法之B-S模型_上海證券報·調(diào)查_中國證券網(wǎng)2018-09-20】二文帖止状。
