特征分解以及奇異值分解

首先我們來看幾個公式
variance公式:
$\sigma ^ { 2 } ( x ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - \mu \right) ^ { 2 }$
covariance公式, 即 $E [ ( x - E [ x ] ) ( y - E [ y ] ) ]$ :
$\sigma ( x , y ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x - \mu _ { x } \right) \left( y - \mu _ { y } \right)$
當(dāng)隨機(jī)變量x和y相同時, covariance等同于variance: $\sigma ( x , x ) = \sigma ^ { 2 } ( x )$
如果協(xié)方差covariance等于0說明這兩個隨機(jī)變量不相關(guān)
協(xié)方差矩陣:
$\mathbf { \Sigma } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \sigma \left( X _ { 1 } , X _ { 1 } \right) } & { \sigma \left( X _ { 1 } , X _ { 2 } \right) } & { \dots } & { \sigma \left( X _ { 1 } , X _ { n } \right) } \\ { \sigma \left( X _ { 2 } , X _ { 1 } \right) } & { \sigma \left( X _ { 2 } , X _ { 2 } \right) } & { \dots } & { \sigma \left( X _ { 2 } , X _ { n } \right) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \sigma \left( X _ { n } , X _ { 1 } \right) } & { \sigma \left( X _ { n } , X _ { 2 } \right) } & { \dots } & { \sigma \left( X _ { n } , X _ { n } \right) } \end{array} \right]$
均值中心化(mean centering): 指得是將一系列的樣本點的均值置0,也就是每個樣本點的值減去所有樣本點的均值, 這樣新生成的所有樣本點的均值即為0撵割。
現(xiàn)在我們設(shè)z:
$z=\left[ \begin{array} { c c c c } {v_{11}}&{v_{12}}&v_{13}&...\\{v_{21}}&{v_{22}}&v_{23}&...\\{v_{31}}&{v_{32}}&v_{33}&... \end{array}\right]$
其中z的每一行都是mean centred后的特征向量feature vector, 此時, 之前的協(xié)方差矩陣 $\Sigma$ 就可表示為 (因為均值都變?yōu)?, 所以原來 $(x-\mu_1)(y-\mu_2)$ 直接變?yōu)榱藊*y )
$\Sigma \propto \mathbf { Z } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { Z }$

1. ****Principal axes of variation (變化主軸)

Principal axes of variation指的是對于高維數(shù)據(jù)而言, 變化率最顯著的數(shù)據(jù)所在維度, 為了理解這一概念, 首先介紹基向量(basis)

一組基是由n維空間中n個線性獨立的向量組成, 這些向量之間是垂直的, 它們構(gòu)成了一個坐標(biāo)系統(tǒng), 而n維空間中有無限組基向量

基向量

**
**

第一主成分軸(****The ?rst principal axis****)：

第一主成分軸指的是對在n維空間中的數(shù)據(jù)點, 指向最大variance方向的軸

**
**

第一和第二成分主軸

第二主成分軸是指垂直于第一主成分軸同時指向最大variance方向的軸

以此類推, 第三主成分軸是垂直于第一和第二的前提下, 指向有著最大variance的軸

2. ****特征向量和特征根

特征向量和特征根

最多有n對特征向量-特征根對
其中若A是對稱矩陣(對于任何方形矩陣X错英， $X+X^T$ 是對稱矩陣)的話, 則特征向量的集合是正交的
如果A是協(xié)方差矩陣的話, 那這些特征根就是主成分坐標(biāo)軸(principal axes)

對于 $n\leq4$ 的情況, 可以通過代數(shù)的方法解得特征根和特征方程池颈。
但對于更大的矩陣, 就需要特征分解(Eigendecomposition,簡寫為EVD)了。

3. ****特征分解

特征值分解（EVD）蜓竹，在這里互例，選擇一種特殊的矩陣——對稱陣（酉空間中叫hermite矩陣即厄米陣）敷钾。對稱陣有一個性質(zhì)：它總能相似對角化，對稱陣不同特征值對應(yīng)的特征向量兩兩正交娱两。一個矩陣能相似對角化即說明其特征子空間即為其列空間，若不能對角化則其特征子空間為列空間的子空間〗鹇穑現(xiàn)在假設(shè)存在mxm的滿秩對稱矩陣A十兢，它有m個不同的特征值，設(shè)特征值為 $\lambda_i$ ,對應(yīng)的單位特征向量為 $x_i$
則有:
$\left.\begin{aligned} A x _ { 1 } & = \lambda _ { 1 } x _ { 1 } \\ A x _ { 2 } & = \lambda _ { 2 } x _ { 2 } \\...\\ A x _ { m } & = \lambda _ { m } x _ { m } \end{aligned} \right.$
將上面的式子用矩陣形式表示, 進(jìn)而:
$\left. \begin{array} { c } { A U = U \Lambda } \\ { U = \left[ x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { m } \right] } \end{array} \right.$
$\Lambda = \left[ \begin{array} { c c c } { \lambda _ { 1 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { \lambda _ { m } } \end{array} \right]$
令式子 $A U = U \Lambda$ 兩邊各除以一個U, 則有(由于對稱陣特征向量兩兩正交摇庙，所以U為正交陣旱物，正交陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置):
$A = U \Lambda U ^ { - 1 } = U \Lambda U ^ { T }$
這里假設(shè)A有m個不同的特征值，實際上卫袒，只要A是對稱陣其均有如上分解宵呛。

特征分解

如果A是對稱矩陣(譬如協(xié)方差矩陣), 此時 $Q^{-1}=Q^T$ (即特征向量是正交的), 所以此時
$\mathbf { A } = \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } \mathbf { Q } ^ { \mathrm { T } }$
將eigenvector和對應(yīng)的eigenvalue排序, PCA取前k個

要明確的是，一個矩陣其實就是一個線性變換夕凝，因為一個矩陣乘以一個向量后得到的向量宝穗，其實就相當(dāng)于將這個向量進(jìn)行了線性變換。比如說下面的一個矩陣：
$M = \left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]$
因為這個矩陣M乘以一個向量(x,y)的結(jié)果是:
$\left[ \begin{array} { l l } { 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { 3 x } \\ { y } \end{array} \right]$
它其實對應(yīng)的線性變換是下面的形式：

拉伸變換

上面的矩陣是對稱的码秉，所以這個變換是一個對x逮矛，y軸的方向一個拉伸變換, 當(dāng)矩陣不是對稱的時候，假如說矩陣是下面的樣子：

$M = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]$
它所描述的變換是下面的樣子：

非對稱矩陣

在圖中转砖，藍(lán)色的箭頭是一個最主要的變化方向（變化方向可能有不止一個）橱鹏，如果我們想要描述好一個變換，那我們就描述好這個變換主要的變化方向就好了。反過頭來看看之前特征值分解的式子莉兰，分解得到的Σ矩陣是一個對角陣挑围，里面的特征值是由大到小排列的，這些特征值所對應(yīng)的特征向量就是描述這個矩陣變化方向(從主要的變化到次要的變化排列), 當(dāng)矩陣是高維的情況下糖荒，那么這個矩陣就是高維空間下的一個線性變換杉辙，我們通過特征值分解得到的前N個特征向量，那么就對應(yīng)了這個矩陣最主要的N個變化方向捶朵。我們利用這前N個變化方向蜘矢，就可以近似這個矩陣(變換)。也就是之前說的：提取這個矩陣最重要的特征综看。

總結(jié)一下品腹，特征值分解可以得到特征值與特征向量，特征值表示的是這個特征到底有多重要红碑，而特征向量表示這個特征是什么

4. ****PCA流程

輸入：n維樣本集 $D=(x^{(1)}, x^{(2)},...,x^{(m)})$ 舞吭，要降維到的維數(shù)n'.
輸出：降維后的樣本集 $D'$

對所有的樣本進(jìn)行中心化： $x^{(i)} = x^{(i)} - \frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^{m} x^{(j)}$
計算樣本的協(xié)方差矩陣 $XX^T$ , 注意, 協(xié)方差矩陣就等于 $XX^T$
對矩陣 $XX^T$ 進(jìn)行特征值分解
取出最大的n'個特征值對應(yīng)的特征向量 $(w_1,w_2,...,w_{n'})$ , 將所有的特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后，組成特征向量矩陣W析珊。
對樣本集中的每一個樣本 $x^{(i)}$ , 轉(zhuǎn)化為新的樣本 $z^{(i)}=W^Tx^{(i)}$
得到輸出樣本集 $D' =(z^{(1)}, z^{(2)},...,z^{(m)})$

有時候羡鸥，我們不指定降維后的n'的值，而是換種方式忠寻，指定一個降維到的主成分比重閾值t惧浴。這個閾值t在（0,1]之間。假如我們的n個特征值為 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_n$ , 則n'可以通過下式得到:
$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n'}\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i} \geq t$

這里對PCA算法做一個總結(jié)奕剃。作為一個非監(jiān)督學(xué)習(xí)的降維方法衷旅，它只需要特征值分解，就可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮纵朋，去噪芜茵。因此在實際場景應(yīng)用很廣泛。為了克服PCA的一些缺點倡蝙，出現(xiàn)了很多PCA的變種九串，比如第六節(jié)的為解決非線性降維的KPCA，還有解決內(nèi)存限制的增量PCA方法Incremental PCA寺鸥，以及解決稀疏數(shù)據(jù)降維的PCA方法Sparse PCA等猪钮。

PCA算法的主要優(yōu)點有：

1）僅僅需要以方差衡量信息量，不受數(shù)據(jù)集以外的因素影響胆建。

2）各主成分之間正交烤低，可消除原始數(shù)據(jù)成分間的相互影響的因素。

3）計算方法簡單笆载，主要運算是特征值分解扑馁，易于實現(xiàn)涯呻。

PCA算法的主要缺點有：

1）主成分各個特征維度的含義具有一定的模糊性，不如原始樣本特征的解釋性強(qiáng)腻要。

2）方差小的非主成分也可能含有對樣本差異的重要信息复罐，因降維丟棄可能對后續(xù)數(shù)據(jù)處理有影響。

5. ****奇異值分解

奇異值分解是一個有著很明顯的物理意義的一種方法雄家，它可以將一個比較復(fù)雜的矩陣用更小更簡單的幾個子矩陣的相乘來表示效诅，這些小矩陣描述的是矩陣的重要的特性。

特征值分解是一個提取矩陣特征很不錯的方法趟济，但是它只是對方陣而言的乱投，在現(xiàn)實的世界中，我們看到的大部分矩陣都不是方陣, 比如說有N個學(xué)生顷编，每個學(xué)生有M科成績戚炫，這樣形成的一個N * M的矩陣就不可能是方陣, 此時即用到了奇異值分解, 奇異值分解是一個能適用于任意的矩陣的一種分解的方法:

奇異值分解

其中p是矩陣M的秩, 秩代表線性不相關(guān)的行或者列的數(shù)量

U是一個m * p的方陣（里面的向量是正交的，U里面的列向量稱為左奇異向量）媳纬，Σ是一個p * p的矩陣（除了對角線的元素都是0双肤，對角線上的元素稱為奇異值），V’(V的轉(zhuǎn)置)是一個p * n的矩陣层宫，里面的行向量也是正交的杨伙，V里面的向量稱為右奇異向量其监。

左奇異向量集合是 $MM^T$ 的特征向量集合
右奇異向量集合是 $M^TM$ 的特征向量集合
The singular values are the square roots of the eigenvalues of the corresponding eigenvectors of $M^TM$ and $MM^T$
如果M是mean centred的特征向量矩陣的話, V的列向量是 $M^TM$ 的特征向量, 它們是M的主成分(principle components)萌腿。

那么奇異值和特征值是怎么對應(yīng)起來的呢？首先抖苦，我們將一個矩陣M的轉(zhuǎn)置乘以M毁菱，將會得到一個方陣，我們用這個方陣求特征值可以得到：
$\left( M ^ { T } M \right) v _ { i } = \lambda _ { i } v _ { i }$
這里得到的v锌历，就是我們上面的右奇異向量贮庞。此外我們還可以得到:
$\left. \begin{array} { l } { \sigma _ { i } = \sqrt { \lambda } _ { i } } \\ { u _ { i } = \frac { 1 } { \sigma } M v _ { i } } \end{array} \right.$
這里的σ就是上面說的奇異值，u就是上面說的左奇異向量
奇異值σ跟特征值類似究西，在矩陣Σ中也是從大到小排列窗慎，而且σ的減少特別的快，在很多情況下卤材，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上了遮斥。也就是說，我們也可以用前r大的奇異值來近似描述矩陣扇丛，這里定義一下部分奇異值分解:

近似奇異值分解

右邊的三個矩陣相乘的結(jié)果將會是一個接近于M的矩陣术吗，在這兒，r越接近于p帆精，則相乘的結(jié)果越接近于M较屿。而這三個矩陣的面積之和（在存儲觀點來說隧魄，矩陣面積越小，存儲量就越邪）要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原始的矩陣M购啄，我們?nèi)绻胍獕嚎s空間來表示原矩陣A，我們存下這里的三個矩陣：U末贾、Σ闸溃、V就好了。

SVD流程：

SVD流程

至于為什么要用基于SVD的PCA是因為:

計算可行性
SVD的速度比EVD更快

除此之外, SVD適用的場合有:

求偽逆(Pseudoinverse)
解homogeneous linear equations, 如Ax=0
數(shù)據(jù)挖掘: 如基于CF的推薦系統(tǒng)

SVD求偽逆的一個例子

A矩陣的偽逆代表其與A的乘積等于單位矩陣

我們來具體算一個矩陣A的偽逆：

$\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \Rightarrow \mathbf { A } ^ { * } \mathbf { A } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { 3 } & { 2 } \\ { 2 } & { 3 } \end{array} \right]$

易知拱撵，rank(A*A)=2辉川。下面來求矩陣A*A的特征值，于是有

$\operatorname { det } \left| \begin{array} { c c } { 3 - \lambda } & { 2 } \\ { 2 } & { 3 - \lambda } \end{array} \right| = \lambda ^ { 2 } - 6 \lambda + 9 - 4 = ( \lambda - 5 ) ( \lambda - 1 ) \Rightarrow \lambda _ { 1 } = 5 , \lambda _ { 2 } = 1$

接下來求對應(yīng)的特征向量拴测，因為

$\mathbf { A } ^ { * } \mathbf { A } v = \lambda v \Rightarrow \left( \mathbf { A } ^ { * } \mathbf { A } - \lambda I \right) v = 0$

所以可知當(dāng)λ1=5時乓旗，對應(yīng)的特征向量（注意結(jié)果要正交歸一化）：

$\mathbf { A } ^ { * } \mathbf { A } - 5 I = \left[ \begin{array} { c c } { - 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { - 2 } \end{array} \right] \Rightarrow u _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right]$

同理還有當(dāng)λ2=1時，對應(yīng)的特征向量

$\mathbf { A } ^ { * } \mathbf { A } - 1 I = \left[ \begin{array} { c c } { 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { 2 } \end{array} \right] \Rightarrow u _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right]$

如此便得到了SVD中需要的U矩陣

$U=\left[ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { - 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right]$

為了求出矩陣V集索，先求W：

$\mathbf { w } = \mathbf { A } \mathbf { U } = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { - 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { \sqrt { 2 } } & { 0 } \\ { 1 / \sqrt { 2 } } & { - 1 / \sqrt { 2 } } \\ { 1 / \sqrt { 2 } } & { 1 / \sqrt { 2 } } \\ { \sqrt { 2 } } & { 0 } \end{array} \right]= \left[ \begin{array} { l l } { w _ { 1 } } & { w _ { 2 } } \end{array} \right]$

于是可知

$v _ { 1 } = \frac { w _ { 1 } } { \sqrt { 5 } } , \quad v _ { 2 } = \frac { w _ { 2 } } { \sqrt { 1 } } \Rightarrow \mathbf { V } = \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } \end{array} \right]$

所以根據(jù)公式A的偽逆就是, 其中V*代表其轉(zhuǎn)置矩陣

$\mathbf { A } ^ { \dagger } = \mathbf { U } \mathbf { \Lambda } \mathbf { V } ^ { * } = \left[ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { - 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 1 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 } } } & { 1 / \sqrt { 10 } } & { 1 / \sqrt { 10 } } & { \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 } } } \\ { 0 } & { - 1 / \sqrt { 2 } } & { 1 / \sqrt { 2 } } & { 0 } \end{array} \right]$

6. ****SVD和EVD的計算方法

普遍來說, 這些計算方法都是迭代的:

Power Iteration

-Repeated for each E.V. by rotating and truncating the input to remove the effect of the previous E.V.

“Arnoldi Iteration” and the “Lanczos Algorithm”

-Move ef?cient variants of Power Iteration

-use the “Gram-Schmidt” process to ?nd the orthonormal basis of the top-r E.Vs

最后編輯于：2019.01.10 13:46:01

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末屿愚，一起剝皮案震驚了整個濱河市，隨后出現(xiàn)的幾起案子务荆，更是在濱河造成了極大的恐慌妆距，老刑警劉巖，帶你破解...
沈念sama閱讀 218,755評論 6贊 507
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件函匕，死亡現(xiàn)場離奇詭異娱据，居然都是意外死亡，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)盅惜，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 93,305評論 3贊 395
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門中剩，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來，“玉大人抒寂，你說我怎么就攤上這事结啼。” “怎么了屈芜？”我有些...
開封第一講書人閱讀 165,138評論 0贊 355
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵郊愧，是天一觀的道長。經(jīng)常有香客問我井佑，道長属铁，這世上最難降的妖魔是什么？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 58,791評論 1贊 295
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任毅糟，我火速辦了婚禮红选，結(jié)果婚禮上，老公的妹妹穿的比我還像新娘姆另。我一直安慰自己喇肋，他們只是感情好坟乾，可當(dāng)我...
茶點故事閱讀 67,794評論 6贊 392
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布。她就那樣靜靜地躺著蝶防，像睡著了一般甚侣。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上间学，一...
開封第一講書人閱讀 51,631評論 1贊 305
城市分裂傳說
那天殷费，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼低葫。笑死详羡，一個胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的嘿悬。我是一名探鬼主播实柠，決...
沈念sama閱讀 40,362評論 3贊 418
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼善涨！你這毒婦竟也來了窒盐？” 一聲冷哼從身側(cè)響起，我...
開封第一講書人閱讀 39,264評論 0贊 276
萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤钢拧，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎蟹漓，沒想到半個月后，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體源内，經(jīng)...
沈念sama閱讀 45,724評論 1贊 315
?護(hù)林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡葡粒，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點故事閱讀 37,900評論 3贊 336
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了姿锭。大學(xué)時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片塔鳍。...
茶點故事閱讀 40,040評論 1贊 350
活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡伯铣，死狀恐怖呻此，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情腔寡，我是刑警寧澤焚鲜，帶...
沈念sama閱讀 35,742評論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站放前，受9級特大地震影響忿磅，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜凭语，卻給世界環(huán)境...
茶點故事閱讀 41,364評論 3贊 330
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一葱她、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧似扔，春花似錦吨些、人聲如沸搓谆。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 31,944評論 0贊 22
一樁弒父案豪墅，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽泉手。三九已至，卻和暖如春偶器，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間斩萌，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 33,060評論 1贊 270
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工屏轰，沒想到剛下飛機(jī)就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留颊郎，地道東北人。一個月前我還...
沈念sama閱讀 48,247評論 3贊 371
代替公主和親
正文我出身青樓霎苗，卻偏偏與公主長得像袭艺，于是被迫代替她去往敵國和親。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子叨粘，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點故事閱讀 44,979評論 2贊 355

特征分解以及奇異值分解

SVD求偽逆的一個例子

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容