線性方程組（二）- 行化簡與階梯形矩陣

行化簡與階梯形矩陣

矩陣中非零行或列指矩陣中至少包含一個(gè)非零元素的行或列歇由。非零行的先導(dǎo)元素是指該行中最左邊的非零元素赋元。

一個(gè)矩陣稱為階梯形（或行階梯形）矩陣力崇，若它有一下三個(gè)性質(zhì)：

每一非零行都在每一零行之上硬爆。
某一行的先導(dǎo)元素所在的列位于前一先導(dǎo)元素的右邊最岗。
某一先導(dǎo)元素所在列下方元素都是零膀藐。
若一個(gè)階梯形矩陣還滿足一下性質(zhì)，則稱它為簡化階梯形（或簡化行階梯形）矩陣邻遏。
每一非零行的先導(dǎo)元素是1.
每一先導(dǎo)元素1是該元素所在列的唯一非零元素诗良。

階梯形矩陣對應(yīng)的方程組就是三角形形式汹桦。

任何非零矩陣都可以行化簡（即用初等行變換）變?yōu)殡A梯形矩陣，但用不同的方法可化為不同的階梯形矩陣鉴裹。然而，一個(gè)矩陣只能化為唯一的簡化階梯形矩陣。

每個(gè)矩陣行等價(jià)于唯一的簡化階梯形矩陣径荔。

若矩陣 $\boldsymbol{A}$ 行等價(jià)于階梯形矩陣 $\boldsymbol{U}$ 督禽，則稱 $\boldsymbol{U}$ 為 $\boldsymbol{A}$ 的階梯形矩陣；若 $\boldsymbol{U}$ 是簡化階梯形矩陣总处，則稱 $\boldsymbol{U}$ 為 $\boldsymbol{A}$ 的簡化階梯形矩陣狈惫。

主元位置

矩陣中的主元位置是矩陣 $\boldsymbol{A}$ 中對應(yīng)于它的簡化階梯形中先導(dǎo)元素1的位置。主元列是矩陣 $\boldsymbol{A}$ 的含有主元位置的列鹦马。

把矩陣 $\begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7\end{bmatrix}$ 化為階梯形矩陣胧谈，并確定主元列。
解：使用用初等行變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化荸频。記號“～“表示它前面和后面的兩個(gè)矩陣是行等價(jià)的菱肖。

將第一行于第四行對換（對換變換）
$\begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$
將第一行的倍數(shù)加到其他各行，以使第一個(gè)主元位置下面各元素變成0旭从。（倍乘變換和倍加變換）
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$
將第一行的倍數(shù)加到其他各行稳强，以使第一個(gè)主元位置下面各元素變成0。（倍乘變換和倍加變換）
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}$
將第三行于第四行對換（對換變換）
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
矩陣 $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
是所求階梯形矩陣和悦。第1退疫、2、4列是主元列鸽素。

主元是在主元位置上的非零元素褒繁。在矩陣轉(zhuǎn)換過程中，通過初等行變換用主元將下面的元素化為0馍忽。上述轉(zhuǎn)換過程中澜汤，我們使用的主元是1，2舵匾，5俊抵。

行簡化算法

用初等行變換把矩陣 $\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]$ 先化為階梯形矩陣，再化為簡化階梯形矩陣坐梯。
解：

確定主元列
由最左的非零列 $\left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 3 \\ \end{matrix}\right]$ 開始徽诲。這是一個(gè)主元列。主元位置（0所在位置）在該列頂端吵血。
選取主元
在主元列中選取一個(gè)非零元素作為主元谎替。若有必要的話，對換兩行使這個(gè)元素移動(dòng)主元位置上蹋辅。
$\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]$
主元下面元素化0
用初等行變換將主元下面的元素變成0钱贯。
$\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]$
迭代處理子矩陣
除去主元位置所在的行以及它上面的各行，對剩下的子矩陣使用上述的三個(gè)步驟侦另，直到子矩陣無非零列秩命。
$\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}\right]$
此矩陣即為所求階梯形矩陣尉共。
所有主元上面元素化0，主元化1
由最右邊的主元開始弃锐，把每個(gè)主元上面的各元素變成0袄友。若某個(gè)主元不是1，先用倍乘變換變成1霹菊。
$\quad \left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$
～ $\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$
～ $\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]$
此矩陣即為所求簡化階梯形矩陣剧蚣。

第一至四步稱為行化簡算法的向前步驟，產(chǎn)生唯一的簡化階梯形矩陣的第五步稱為向后步驟旋廷。

行化簡算法通常稱為高斯消去法鸠按。在第二步選取主元時(shí)，計(jì)算機(jī)程序通常選擇一列中絕對值最大的元素作為主元饶碘。這種方法通常稱為部分主元法目尖，可以減少計(jì)算中的舍入誤差。

線性方程組的解

行化簡算法應(yīng)用于方程組的增廣矩陣時(shí)熊镣，可以得出線性方程組解集的一種顯示表示法卑雁。

設(shè)某個(gè)線性方程組的增廣矩陣已化為行等價(jià)的簡化階梯形矩陣 $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]$ 。因?yàn)樵鰪V矩陣有4列绪囱，所有有3個(gè)變量测蹲。對應(yīng)的線性方程組是 $\begin{cases}{ x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0}\end{cases}$ 。對應(yīng)于主元列的變量 $x_1$ 和 $x_2$ 稱為基本變量鬼吵。其它變量 $x_3$ 稱為自由變量扣甲。

只要一個(gè)線性方程組是相容的，其解集就可以顯式表示齿椅。（若有自由變量琉挖，用自由變量表示基本變量。）簡化階梯形矩陣使每個(gè)基本變量僅包含在一個(gè)方程中涣脚，容易解出簡化階梯形矩陣 $\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]$ 的解集的表示式： $\begin{cases}{ x_1 = 1 + 5x_3 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3為自由變量}\end{cases}$ 示辈。
表示式給出的解稱為方程組的通解。（因?yàn)樗o出了所有解的顯示表達(dá)遣蚀。）這種解集的表示式稱為解集的參數(shù)表示矾麻。解方程組就是要求出解集的這種參數(shù)表示或確定它無解。

求解線性方程組的通解芭梯，該方程組相容且其增廣矩陣已經(jīng)化為 $\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$ 险耀。
解：該矩陣已是階梯形矩陣。使用行化簡算法將其化為簡化階梯形矩陣玖喘。
$\quad \left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$
～ $\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$ ～ $\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]$
增廣矩陣有6列甩牺，所以原方程組有5個(gè)變量，對應(yīng)的方程組為 $\begin{cases} {x_1 + 6x_2 + 3x_4 = 0 \\ x_3 - 4x_4 = 5 \\ x_5 = 7 } \end{cases}$
矩陣的主元列是第1累奈、3贬派、5列急但，所以基本變量為 $x_1$ ， $x_3$ 赠群， $x_5$ 羊始，剩下的變量 $x_2$ 和 $x_4$ 為自由變量旱幼。我們得到通解為 $\begin{cases} x_1 = -6x_2 - 3x_4 \\ x_2為自由變量 \\ x_3 = 5 + 4x_4 \\ x_4為自由變量 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases}$

當(dāng)一個(gè)方程組是相容的且具有自由變量時(shí)查描，它的解集具有多種參數(shù)表示。例如線性方程組 $\begin{cases}{ x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0}\end{cases}$ 的解集的另一種參數(shù)表示 $\begin{cases}{ x_1 = 21 - 5x_2 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3為自由變量}\end{cases}$ 柏卤。不過冬三，我們總是約定使用自由變量作為參數(shù)來表示解集。
當(dāng)方程組步相容時(shí)缘缚，解集是空集勾笆。無論方程組是否有自由變量，解集無參數(shù)表示桥滨。

存在與唯一性問題

確定線性方程組 $\begin{cases}{ 3x_2 - 6x_3 + 6x_4 + 4x_5 = -5 \\ 3x_1 - 7x_2 + 8x_3 - 5x_4 +8x_5 = 9 \\ 3x_1 - 9x_2 + 12x_3 -9x_4 + 6x_5 = 15 }\end{cases}$ 的解是否存在且唯一
解：上面案例中已化出其階梯形矩陣
$\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}\right]$
主元列是第1窝爪、2、5列齐媒，所以基本變量是 $x_1$ 蒲每， $x_2$ 和 $x_5$ ，自由變量是 $x_4$ 和 $x_5$ 喻括。

當(dāng)一個(gè)方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣邀杏，且主元列不包含最右列（對應(yīng)方程形如 $0 = b$ ）時(shí)，每個(gè)非零方程包含一個(gè)基本變量唬血，它的系數(shù)非零望蜡。或者這些基本變量已完全確認(rèn)（此時(shí)無自由變量）拷恨，或者至少有一個(gè)基本變量可用一個(gè)或多個(gè)自由變量表示脖律。對于前一種情形，有唯一的解腕侄；對后一種情形小泉，有無窮多個(gè)解（對應(yīng)于自由變量的每一個(gè)選擇都有一個(gè)解。）

故方程組的解存在兜挨，且有無窮多個(gè)解膏孟。

線性方程組相容的充要條件是增廣矩陣的最右列不是主元列。也就是說拌汇，增廣矩陣的階梯形沒有形如 $\left[\begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & b \end{matrix}\right],\ b \neq 0$ 的行柒桑。若線性方程組相容，則它的解集可能有兩種情形：

當(dāng)沒有自由變量時(shí)噪舀，有唯一解魁淳；
若至少有一個(gè)自由變量飘诗，則有無窮多解。

應(yīng)用行化簡算法解線性方程組的步驟

寫出方程組的增廣矩陣界逛。
應(yīng)用行化簡算法把增廣矩陣化為階梯形矩陣昆稿。確定方程組是否相容。如果不相容息拜，則方程組無解并停止溉潭；否則進(jìn)行下一步。
繼續(xù)行化簡算法得到它的簡化階梯形矩陣少欺。
寫出由第3步所得矩陣對應(yīng)的方程組喳瓣。
寫出解集的參數(shù)表示。

小結(jié)

階梯形（或簡化階梯形）矩陣的定義
主元位置的定義
行化簡算法的定義
應(yīng)用行化簡算法解線性方程組