內(nèi)容概述

本節(jié)首先講解了矩陣變換的兩種形式：階梯形和簡化階梯形化焕，并講述了這兩種變換之間的關(guān)系（最重要的關(guān)系是二者的主元位置和主元列是相同的）摄杂。之所以引入這兩種變換坝咐，是為了給解線性方程組和研究線性方程組解的性質(zhì)提供方便。接下來匙姜，講解了利用簡化階梯形求解線性方程組解的方法畅厢，最后討論了利用階梯形矩陣判斷方程組解的存在性和唯一性的方法冯痢，并得出了解線性方程組的一般步驟氮昧。

術(shù)語約定

非零行：
矩陣中至少包含一個非零元素的行
非零列：
矩陣中至少包含一個非零元素的列
先導(dǎo)元素：
非零行中最左邊的非零元素

階梯形矩陣的定義

一個矩陣稱為階梯形(或行階梯形)，若它有以下三個性質(zhì)：

每一非零行都在每一零行之上
某一行的先導(dǎo)元素所在的列位于前一行先導(dǎo)元素的右邊
某一先導(dǎo)元素所在列下方元素都是零

若一個階梯形矩陣還滿足以下性質(zhì)浦楣，則稱它為簡化階梯形（或簡化行階梯形）:

每一非零行的先導(dǎo)元素是1
每一先導(dǎo)元素1是該元素所在列的唯一非零元素

下面是階梯形矩陣的例子袖肥，先導(dǎo)元素用 $\triangle$ 表示， $*$ 表示任意元素振劳。
$\begin{bmatrix} \triangle & * & * & * \\ 0 & \triangle & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & \triangle & * & * & * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \triangle & * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \triangle & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \triangle & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \triangle & * \end{bmatrix}$

下面是一個簡化階梯形矩陣的例子：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & * & 0 & 0 & 0 & * & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & * & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & * & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * \end{bmatrix}$

任何非零矩陣都可以行化簡（即用初等行變換）為階梯形矩陣椎组。若矩陣 $A$ 行等價于階梯形矩陣 $U$ ，則稱 $U$ 為 $A$ 的階梯形历恐；若 $U$ 是簡化階梯形寸癌，則稱 $U$ 為 $A$ 的簡化階梯形。

主元位置

需要注意：階梯形矩陣化簡為簡化階梯形時弱贼，先導(dǎo)元素的位置并不改變蒸苇。因簡化階梯形是唯一的，故當(dāng)給定矩陣化為任何一個階梯形時吮旅，先導(dǎo)元素總是在相同的位置上溪烤。

定義：
矩陣中的主元位置是 $A$ 中對應(yīng)于它的簡化階梯形中先導(dǎo)元素1的位置。主元列是 $A$ 的含有主元位置的列。

下面的例子說明了可以通過把一個矩陣變換為階梯形矩陣來求取主元位置:
有如下矩陣：
$\begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ \end{bmatrix}$
經(jīng)過行化簡后檬嘀，可以變換為如下形式：
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & 7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
這個矩陣符合如下一般形式：
$\begin{bmatrix} \triangle & * & * & * & * \\ 0 & \triangle & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \triangle & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
由上述對主元位置和主元列的定義槽驶，可知，該矩陣的主元分別是 $1$ 鸳兽， $2$ 掂铐， $-5$ ，主元列分別是第一贸铜、二堡纬、四列。

下面的例子說明了求取簡化階梯形的兩個步驟蒿秦，第一個步驟先將矩陣變換為階梯形矩陣烤镐，第二個步驟再將階梯形矩陣化簡為簡化階梯形矩陣：
有如下矩陣：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \end{bmatrix}$
通過一系列的初等行變換（這一步驟稱為行化簡算法的向前步驟），可以得到其階梯形矩陣：
$\begin{bmatrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$
接下來棍鳖，為了得到簡化階梯形炮叶，需要將主元通過變換變?yōu)?，并且渡处，通過將這一行乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)镜悉，加到其余的行，來使得該主元列其他的元素都變?yōu)?医瘫。這一步驟稱為行化簡的向后步驟侣肄。
經(jīng)過這一步驟后，可以得到該矩陣的簡化階梯形：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

本節(jié)講述的階梯形醇份、簡化階梯形可以為下一節(jié)所述的解線性方程組提供方便稼锅。

線性方程組的解

行化簡算法應(yīng)用于方程組的增廣矩陣時，可以得出線性方程組解集的一種顯式表示法僚纷。
例如矩距，設(shè)某個線性方程組的增廣矩陣已經(jīng)化為等價的簡化階梯形:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
對應(yīng)的線性方程組為：
$\begin{aligned} x_1 \quad - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0 \end{aligned}$
對應(yīng)于主元列的變量 $x_1$ 和 $x_2$ 稱為基本變量，其他變量稱為自由變量怖竭。
由于簡化階梯形使每個基本變量僅包含在一個方程中（由于每一先導(dǎo)元素1是該元素所在列的唯一非零元素锥债，所以除了該先導(dǎo)元素所在的行，其他行對應(yīng)列的位置的元素都是零了）痊臭，因此可以在每一個方程中用自由變量表示基本變量哮肚，便可以得到方程組的解。
上述方程組的通解為：
$\begin{cases} x_1 = 1 + 5x_3 \\ x_2 = 4 - x_3\\ \end{cases}$
另外 $x_3$ 是自由變量广匙。所謂的自由變量允趟，是指它可取任意的值。 $x_3$ 的不同選擇確定了方程組的不同的解艇潭，方程組的每個解由 $x_3$ 的值的選擇來確定拼窥。

解集的參數(shù)表示

形如上述方程組的表示式稱為解集的參數(shù)表示戏蔑，其中自由變量作為參數(shù)。解方程組就是要求出解集的這種參數(shù)表示或確定它無解鲁纠。
需要注意总棵，在上述方程組中，把 $x_3$ 作為自由變量只是一種約定改含，其實它們之間中的任何一個都可以作為所謂的自由變量情龄，來表示兩外兩個未知數(shù)。

存在性與唯一性問題

確定下列方程組的解是否存在且唯一：
$\begin{aligned} 3x_2 - 6x_3 + 6x_4 + 4x_5 = -5 \\ 3x_1 - 7x_2 + 8x_3 - 5x_4 + 8x_5 = 9 \\ 3x_1 - 9x_2 + 12x_3 -9x_4 + 6x_5 = 15 \end{aligned}$
由上述階梯形與簡化階梯形之間的關(guān)系（階梯形矩陣化簡為簡化階梯形時捍壤，先導(dǎo)元素的位置并不改變骤视。），判斷線性方程組解的存在性與唯一性問題鹃觉，只需要將矩陣變換為階梯形就可以了专酗。
例如，將上述方程組化簡為如下階梯形：
$\begin{bmatrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$
可以判斷出盗扇，基本變量是 $x_1$ 祷肯， $x_2$ ， $x_5$ 疗隶，自由變量是 $x_3$ 佑笋， $x_4$ 。這里沒有類似 $0=1$ 等明顯不成立的方程斑鼻，所以該方程是有解的蒋纬。同時，解不是唯一的坚弱，因為有自由變量的存在蜀备。
由此引出了下面的定理：

線性方程組相容的充要條件是增廣矩陣的最右列不是主元列。也就是說史汗，增廣矩陣的階梯形沒有形如 $[0 \cdots, 0, b], b\neq0$ 的行琼掠。若線性方程組相容拒垃，則它的解集可能有兩種情形：1. 當(dāng)沒有自由變量時停撞，有唯一解； 2. 若至少有一個自由變量悼瓮，則有無窮多解戈毒。

利用行化簡法解線性方程組的一般步驟

通過上面的討論，也可以總結(jié)出解線性方程組的一般步驟：

寫出方程組的增廣矩陣

應(yīng)用行化簡算法把增廣矩陣化為階梯形横堡，確定方程組是否相容埋市。如果沒有解則停止；否則進(jìn)行下一步命贴。

繼續(xù)行化簡算法得到它的簡化階梯形道宅。

寫出由第3步所得矩陣對應(yīng)的方程組食听。

把第4步所得的每個非零方程改寫為用任意自由變量表示其基本變量的形式。

例題：假設(shè)一個方程組的 $4 \times 7$ 系數(shù)矩陣有4個主元污茵，這個方程組是相容的嗎樱报？如果它是相容的，有多少解泞当？

解：由于系數(shù)矩陣有4個主元迹蛤，因此系數(shù)矩陣的每行有一個主元。這意味著系數(shù)矩陣是行簡化的襟士，它沒有0行盗飒，因此相應(yīng)的行簡化增廣矩陣沒有形如 $[0 \cdots, 0, b]$ 的行，其中 $b$ 是一個非零數(shù)陋桂。由本文所述定理知逆趣，方程組是相容的。此外嗜历，因為系數(shù)矩陣有7列且僅有4個主元列汗贫，所以將有3個自由變量構(gòu)成無窮多解。

1.2 行化簡和階梯形矩陣（線性代數(shù)及其應(yīng)用-第5版-系列筆記）