向量
向量性質(zhì)
維向量表示為
向量
也可表示成僅有一列行矩陣
![\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{V_{1}} \\ {V_{2}} \\ {\vdots} \\ {V_{n}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7Bv%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%7BV_%7B1%7D%7D%20%5C%5C%20%7BV_%7B2%7D%7D%20%5C%5C%20%7B%5Cvdots%7D%20%5C%5C%20%7BV_%7Bn%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
![\mathbf{v}^{T}=\left[\begin{array}{llll}{V_{1}} & {V_{2}} & {\cdots} & {V_{n}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7Bv%7D%5E%7BT%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bllll%7D%7BV_%7B1%7D%7D%20%26%20%7BV_%7B2%7D%7D%20%26%20%7B%5Ccdots%7D%20%26%20%7BV_%7Bn%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
維向量的絕對(duì)值是標(biāo)量
內(nèi)積
兩個(gè)維向量
和
的內(nèi)積是一個(gè)標(biāo)量销部，定義：
向量和的內(nèi)積
的矩陣乘法：
![\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \cdot \mathbf{Q}=\left[\begin{array}{llll}{P_{1}} & {P_{2}} & {\cdots} & {P_{n}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P_{1}} \\ {P_{2}} \\ {\vdots} \\ {P_{n}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7BP%7D%5E%7B%5Cmathrm%7BT%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BQ%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bllll%7D%7BP_%7B1%7D%7D%20%26%20%7BP_%7B2%7D%7D%20%26%20%7B%5Ccdots%7D%20%26%20%7BP_%7Bn%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%7BP_%7B1%7D%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7B2%7D%7D%20%5C%5C%20%7B%5Cvdots%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7Bn%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
內(nèi)積與向量和的夾角有關(guān)
Cauchy-Schwarz不等式
向量投影
向量在向量上的投影
可表示為
向量相對(duì)于向量上的垂直分量
可表示為
向量在向量上的投影是向量的線性變換阻逮，可以表示成矩陣向量乘積谊囚。在三維情況下
計(jì)算為
![\text{proj}_{Q} \mathbf{P}=\frac{1}{\|\mathbf{Q}\|^{2}} \left[\begin{array}{ccc}{Q_{x}^{2}} & {Q_{x} Q_{y}} & {Q_{x} Q_{z}} \\ {Q_{x} Q_{y}} & {Q_{y}^{2}} & {Q_{y} Q_{z}} \\ {Q_{x} Q_{z}} & {Q_{y} Q_{z}} & {Q_{z}^{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P_{x}} \\ {P_{y}} \\ {P_{z}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctext%7Bproj%7D_%7BQ%7D%20%5Cmathbf%7BP%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5C%7C%5Cmathbf%7BQ%7D%5C%7C%5E%7B2%7D%7D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%7BQ_%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7Bx%7D%20Q_%7By%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7Bx%7D%20Q_%7Bz%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7Bx%7D%20Q_%7By%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7By%7D%5E%7B2%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7By%7D%20Q_%7Bz%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7Bx%7D%20Q_%7Bz%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7By%7D%20Q_%7Bz%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7Bz%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%7BP_%7Bx%7D%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7By%7D%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7Bz%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
外積
兩個(gè)三維向量和的外積仍是一個(gè)三維向量晚岭，定義：
)
偽行列式計(jì)算向量外積：
-%5Cmathbf%7Bj%7D%5Cleft(P_%7Bx%7D%20Q_%7Bz%7D-P_%7Bz%7D%20Q_%7Bx%7D%5Cright)%2B%5Cmathbf%7Bk%7D%5Cleft(P_%7Bx%7D%20Q_%7By%7D-P_%7By%7D%20Q_%7Bx%7D%5Cright)%20%5Cend%7Baligned%7D)
外積
也寫(xiě)成矩陣與向量乘積的形式：
![\mathbf{P} \times \mathbf{Q}=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-P_{z}} & {P_{y}} \\ {P_{z}} & {0} & {-P_{x}} \\ {-P_{y}} & {P_{x}} & {0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{Q_{x}} \\ {Q_{y}} \\ {Q_{z}}\end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7BP%7D%20%5Ctimes%20%5Cmathbf%7BQ%7D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%7B0%7D%20%26%20%7B-P_%7Bz%7D%7D%20%26%20%7BP_%7By%7D%7D%20%5C%5C%20%7BP_%7Bz%7D%7D%20%26%20%7B0%7D%20%26%20%7B-P_%7Bx%7D%7D%20%5C%5C%20%7B-P_%7By%7D%7D%20%26%20%7BP_%7Bx%7D%7D%20%26%20%7B0%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7BQ_%7Bx%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7By%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7Bz%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
令兩個(gè)向量和為三維向量嗤无，則%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BP%7D%3D0)
壶愤，而且%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BQ%7D%3D0)
麦轰。
%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BR%7D)
的值計(jì)算方式：
%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7BR%7D%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Blll%7D%7BP_%7Bx%7D%7D%20%26%20%7BP_%7By%7D%7D%20%26%20%7BP_%7Bz%7D%7D%20%5C%5C%20%7BQ_%7Bx%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7By%7D%7D%20%26%20%7BQ_%7Bx%7D%7D%20%5C%5C%20%7BR_%7Bx%7D%7D%20%26%20%7BR_%7By%7D%7D%20%26%20%7BR_%7Bx%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C)
向量的外積不滿足交換律)
外積的大小與向量和的夾角
之間的關(guān)系如下：
向量空間
向量屬于一個(gè)被稱為向量空間的集合乔夯。
定義 向量空間是一個(gè)集合，該集合的元素都是向量款侵，定義了加法和標(biāo)量乘法末荐，則以下性質(zhì)成立。
- 集合對(duì)加法運(yùn)算封閉新锈，即集合中的任意向量和甲脏，他們的和
也是集合的向量。
- 集合對(duì)標(biāo)量乘法運(yùn)算封閉妹笆，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)
和集合中的任意向量块请，他們的積
也是集合的向量。
- 集合中存在
向量拳缠，對(duì)于集合中的任意向量墩新，
成立。
- 對(duì)于集合中的任意向量窟坐，在集合中存在向量海渊，使
成立。
- 集合中的向量滿足結(jié)合律哲鸳，即對(duì)于集合中的任意向量臣疑、和
，%2BR%3DP%2B(Q%2BR))
徙菠。
- 標(biāo)量乘法滿足結(jié)合律讯沈，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)和
，以及集合中的任意向量婿奔，P%3Da(bP))
成立缺狠。
- 標(biāo)量與向量和的乘法滿足分配律，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)脸秽，以及集合中的任意向量和儒老，
%3DaP%2BaQ)
成立。
- 標(biāo)量與向量的乘法滿足分配律记餐，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)和驮樊，以及集合中的任意向量，
P%3DaP%2BbP)
成立。
由實(shí)數(shù)組成的元組形式的向量都滿足這些性質(zhì)囚衔。包含全部元組形式的向量的向量空間表示為
挖腰，例如，包含所有三維向量的向量空間可表示為
练湿。
Gram-Schmidt 正交化
維向量空間的基
通過(guò)以下等式可構(gòu)造一個(gè)新的正交向量集合
而正交化猴仑。
- 令
- 令
- 從向量
中減去在向量
上的投影，結(jié)果保存在
中肥哎，即
- 如果
辽俗，
加一，轉(zhuǎn)到步驟(3)篡诽。
