【抽象代數(shù)】代數(shù)系統(tǒng)、群與商群

【抽象代數(shù)】代數(shù)系統(tǒng)捆探、群與商群

一然爆、代數(shù)系統(tǒng)

1.1 運(yùn)算律

我們已經(jīng)知道函數(shù)的概念，它表示集合間的一種映射關(guān)系黍图。當(dāng)像和原像是同一集合時(shí)曾雕，便是抽象代數(shù)中常討論的函數(shù)了。一元函數(shù) f: A?A 也被稱為集合 A 上的變換助被，其中雙射的變換也稱為置換剖张。一般如下式的多元函數(shù)，也被稱為集合A上的 n 元運(yùn)算揩环。集合 S 以及其上的一些運(yùn)算 f_1,f_2,?,f_m 組成的系統(tǒng)叫代數(shù)系統(tǒng)（algebraic system）搔弄，在不混淆的情況下也可用 S 表示這個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。代數(shù)系統(tǒng)可以讓我們拋開具體運(yùn)算對(duì)象丰滑，而只關(guān)注于它們共有的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)顾犹。f:A\times A\times\cdots\times A\mapsto A\tag{1}
二元運(yùn)算是最常見的運(yùn)算，比如各種對(duì)象（數(shù)褒墨、向量炫刷、多項(xiàng)式等）上的加減乘運(yùn)算，以及變換的復(fù)合運(yùn)算郁妈。這里就主要研究二元運(yùn)算下的代數(shù)系統(tǒng)浑玛，參照的例子主要是來自數(shù)論和置換變換。對(duì)于這個(gè)二元代數(shù)系統(tǒng)噩咪，
我們用特定的符號(hào)a°b來表示要研究的二元運(yùn)算 f(a,b)顾彰，有時(shí)也簡(jiǎn)寫為 ab失晴，并且說成是“乘法”，注意這里的乘法代表一種抽象的運(yùn)算拘央，即只要是有一種代數(shù)運(yùn)算滿足結(jié)合律就行涂屁，這個(gè)代數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)單記為 ? S, ° ? 。如果還有另一個(gè)系統(tǒng) ? G,? ?灰伟，我們?cè)趺慈ヅ袛嗨c上一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否有關(guān)系呢拆又。因?yàn)閷?duì)抽象代數(shù)而言，其運(yùn)算律的重要性栏账。故我們只要求在兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)之間在一個(gè)一一映射下保持其運(yùn)算律就行帖族。即它們之間有一一映射 f: S ? G，并且滿足下式挡爵，則這兩個(gè)系統(tǒng)稱為同構(gòu)的（isomorphic）竖般，記作 S?G。顯然同構(gòu)是個(gè)等價(jià)概念茶鹃，同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)可以看作是完全一樣的涣雕，本質(zhì)上可以不加區(qū)分。
f(a\circ b)=f(a)\star f(b)\tag{2}

從運(yùn)算的外在形式上看闭翩，有兩種比較重要的性質(zhì)是需要研究的挣郭，一個(gè)就是運(yùn)算的復(fù)合，另一個(gè)就是變量的位置互換疗韵。它們分別對(duì)應(yīng)著結(jié)合律與交換律兑障。運(yùn)算的復(fù)合是指變量本身又是另一個(gè)運(yùn)算的結(jié)果，比如 (a°b)°(c°d)蕉汪。結(jié)合律本質(zhì)上是說運(yùn)算只與被操作數(shù)的序列有關(guān)流译，而與運(yùn)算順序無關(guān)。直觀地講者疤，一串運(yùn)算福澡，無論如何添加括號(hào)限制運(yùn)算順序，結(jié)果都是一樣的宛渐。滿足結(jié)合律的代數(shù)系統(tǒng)稱為半群竞漾，但是半群的性質(zhì)過于簡(jiǎn)單，還不能構(gòu)成一個(gè)自成體系且有太多用處的代數(shù)結(jié)構(gòu)窥翩，還需要添加一些性質(zhì)或公理限制約束才行。(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\tag{3}

對(duì)于很多運(yùn)算鳞仙，運(yùn)算結(jié)果是依賴于變量的順序的寇蚊，a ° b 與 b ° a 不一定相等，比如置換和矩陣乘法棍好。反之仗岸，如下條件被稱為運(yùn)算的交換律允耿。我們已經(jīng)看到，交換律在很多場(chǎng)合是不滿足的扒怖，由此一般也不假定它成立较锡。交換律使得變量順序不再重要，它和結(jié)合律共同作用的結(jié)果就是盗痒，運(yùn)算結(jié)果僅與變量有關(guān)蚂蕴，它們的順序可以隨意安排。
a\circ b=b\circ a\tag{4}

1.2 單位元和逆元

前面討論的是運(yùn)算本身的外在形式特點(diǎn)俯邓，它們還構(gòu)成不了十分有趣的代數(shù)系統(tǒng)骡楼，現(xiàn)在需要對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的限制或公理化描述。正如前面描述的代數(shù)結(jié)構(gòu)稽鞭，即一個(gè)抽象集合和代數(shù)運(yùn)算鸟整。而我們通過函數(shù)或映射的觀點(diǎn)來看的代數(shù)運(yùn)算。故一個(gè)最為基本的映射就是集合之上的恒等映射朦蕴。而從運(yùn)算的角度來看就是我們的單位元篮条。即任何一個(gè)元素與它復(fù)合作用都是該元素本身。如果我們想我們的代數(shù)系統(tǒng)可以更加完善和靈活就必須要求有它吩抓。這是通過公理化的約束條件賦予給代數(shù)系統(tǒng)的兑燥。但上面也談到了對(duì)于一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)來說不一定具有交換律。故就存在著左單位元與右單位元琴拧。我們可以有 e_l=e_r=e_l°e_r降瞳，它們是相等的！這種情況則統(tǒng)稱為單位元（identity）（顯然唯一）蚓胸，而含有單位元的半群叫幺半群挣饥。
e_l\circ a=a,\quad a\circ e_r=a\tag{5}

單位元實(shí)現(xiàn)了我們一個(gè)樸素的目標(biāo)：任何元素都可以成為運(yùn)算結(jié)果。現(xiàn)在我們還有一個(gè)很普遍的要求沛膳，就是式（6）的某個(gè)一元一次方程總有解扔枫。你得承認(rèn)這也是個(gè)不過分的要求，因?yàn)橐淮畏匠潭紱]有解的話锹安，這個(gè)系統(tǒng)是很難玩得轉(zhuǎn)的短荐。如果要求ax=b有解，比較直觀的方法是要求兩邊可以“除以”a叹哭，或“乘以”a的逆 a^{?1}_l忍宋，得到x=a^{?1}_lb。換句話說就是要求存在逆风罩，分別使得式（7）成立糠排。滿足條件的逆分別稱為左逆元和右逆元。
a\circ x=b,\quad y\circ a=b\tag{6}
a_l^{-1}\circ a=e,\quad a\circ a_r^{-1}=e\tag{7}

如果左（右）逆元同時(shí)存在超升，則a_l^{-1}=a_l^{-1}\circ(a\circ a_r^{-1})=(a_l^{-1}\circ a)\circ a_r^{-1}=a_r^{-1}入宦，它們是又是相等的哺徊，這時(shí)統(tǒng)稱為逆元（inverse）（顯然唯一）。根據(jù)式（8）可知a同時(shí)也是a^{?1}的逆元乾闰，并且它們的運(yùn)算是可以交換的落追。比較容易證明逆元有式子（9）的性質(zhì)。
a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e,\quad (a^{-1})^{-1}=a\tag{8}
(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}\tag{9}

逆元的存在使得“除法”成為可能涯肩，它讓系統(tǒng)一下子立體起來轿钠。最典型的性質(zhì)就是，當(dāng) x 依次遍歷群時(shí)宽菜，a \in S, ax（或xa）會(huì)遍歷整個(gè)群椰弊，即相當(dāng)于同時(shí)對(duì)群內(nèi)的所有元素作了一個(gè)乘 a 的映射變換浪秘。如果作用后有任意兩個(gè)新元素相同，即 ax=ay，那么兩邊乘以a^{?1}棱貌，則有x=y矮嫉。這個(gè)性質(zhì)又叫消去律臊诊，便會(huì)推出矛盾坡慌。如果把整個(gè)運(yùn)算列成一張二維矩陣的表，行列都是集合 S 中的元素經(jīng)過相同復(fù)合作用挚赊，則矩陣的每行和每列都包含整個(gè)群诡壁，且沒有重復(fù)元素。這個(gè)性質(zhì)非常重要荠割，我們后面還會(huì)用到它妹卿，注意這里與后面要講的陪集的概念是不同的，陪集作用的是子群蔑鹦，而不是群元素本身夺克。

二、群

2.1 群和子群

存在逆元的幺半群叫群嚎朽，于是我們的主角就這樣登場(chǎng)了铺纽。總結(jié)一下，集齊結(jié)合律哟忍、單位元和逆元這三大基本性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)(集合 + 代數(shù)運(yùn)算)就是群狡门，這里我們也可以用另一種視角去看待它，即滿足上述五條公理化要求的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就稱為群锅很。一般用字母 G, H, K表示其馏。而對(duì)于后面要介紹的代數(shù)系統(tǒng)，我們都可以用公理化的視角去看待粗蔚。如果除此之外還滿足交換律尝偎，它就叫交換群（commutative group）（或Abel群（Abelian group））。集合的元素個(gè)數(shù) |G| 稱為群的階（order）鹏控，顯然有有限群和無限群致扯。有了上述性質(zhì)，尤其是逆元的存在当辐，群便有了非常有趣的結(jié)構(gòu)抖僵，后面會(huì)慢慢展開介紹。

值得一提的是缘揪，單位元和逆元的條件其實(shí)是有些冗余的耍群，在很多教材里只要求群滿足結(jié)合律、存在左單位元和左逆元（或右單位元和右逆元）≌殷荩現(xiàn)在我們來證它們和原定義的等價(jià)性蹈垢，即已知對(duì)任意a，存在e_l\circ a=a,a_l^{-1}\circ a=e_l袖裕，求證e_r,a_r^{-1}的存在性曹抬。首先記 a'=(a_l^{-1})_l^{-1}，則有 a\circ a_l^{-1}=(a'\circ a_l^{-1})\circ(a\circ a_l^{-1})=e_l急鳄，從而 a\circ e_l=a\circ(a_l^{-1}\circ a)=e_l\circ a=a谤民。這樣e_l同時(shí)還是右單位元，由前面的討論知它就是單位元e疾宏。那么再由剛才的a\circ a_l^{-1}=e_l=e可知a^{?1}_l還是右逆元张足，故有逆元 a^{?1}。

還有一點(diǎn)需要注意坎藐，方程（6）有解和消去律與逆之間是否有等價(jià)關(guān)系为牍？其實(shí)是不一定的，在某些情況還是等價(jià)的岩馍，大家可以嘗試著思考如下兩個(gè)問題碉咆。
　　? 滿足方程（6）都有解的半群是群；（提示：證明單位元和逆存在）
　　? 同時(shí)滿足左右消去律的有限半群是群兼雄。（提示：利用上題結(jié)論）

群的例子非常普遍吟逝，比較顯然的有任何數(shù)系的加法、正數(shù)的乘法赦肋、矩陣的加法和乘法块攒。再比如上面提到的變換，以及我們?cè)凇冻醯葦?shù)論》中看到的即約剩余系的乘法佃乘，都容易證明它們是群囱井。還有一些著名的群，它們?cè)貍€(gè)數(shù)很少趣避，但結(jié)構(gòu)卻不簡(jiǎn)單庞呕，應(yīng)用也很廣泛。比如著名的四元數(shù)群 \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}，它滿足下表的運(yùn)算律住练，它們就是四元數(shù)的單位元地啰，是比復(fù)數(shù)更一般的數(shù)系。

1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

還有就是以下Klein四元群K4=\{1,i,j,k\}讲逛，本篇提交的所有群都是后續(xù)討論中的典型例子亏吝，你可以先品味一下它們的特點(diǎn)，并帶入后續(xù)的討論中盏混。

1 i j k
1 1 i j k
i i 1 k j
j j k 1 i
k k j i 1

在給定了群的公理化定義之后蔚鸥，下面的任務(wù)就是要研究它的結(jié)構(gòu)，從而能得到有用的性質(zhì)许赃。結(jié)構(gòu)分析最常用的方法當(dāng)然就是分解止喷，將大的復(fù)雜對(duì)象分解為一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的小對(duì)象，結(jié)構(gòu)自然就清楚了混聊。同樣道理弹谁，我們也希望將群拆解為結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單的小群，這個(gè)目標(biāo)將貫穿整個(gè)群論技羔。我們自然先給這個(gè)“小群”下個(gè)定義僵闯，它首先必然是群的子集，并且在同樣的運(yùn)算下能獨(dú)立成群藤滥，這樣的子集被稱為子群（subgroup）鳖粟。

若H是G的子群，一般記作H?G拙绊，顯然 {e} 和 G 都是 G 的子群向图，它們也叫平凡子群。如果H≠G标沪，H叫做G的真子群（proper subgroup）榄攀，記作H<G。由于子群完全繼承了父群運(yùn)算金句，因此必定滿足結(jié)合律檩赢，并且單位元和逆元不變。唯一的要求就是要子群不殘缺违寞，該有的元素（單位元和逆元）都要有贞瞒，運(yùn)算在子群中還要封閉。現(xiàn)在我們要把這幾個(gè)條件寫成表達(dá)式趁曼，才能給出子群的嚴(yán)格定義军浆。對(duì)于G的一個(gè)非空子集 H，如果滿足式子（10）中的條件挡闰，它就是 G 的子群乒融。另外容易證明掰盘，這三個(gè)條件其實(shí)和式子（11）的條件是等價(jià)的，它一般被用作子群的判定條件赞季。
H\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad e\in H\:\wedge\:(\forall a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H)\:\wedge\:(\forall a,b\in H\Rightarrow ab\in H)\tag{10}
H\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad\forall a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H\tag{11}

如果子集 M 不滿足子群的條件怎么辦愧捕？你當(dāng)然可以把需要的元素一個(gè)個(gè)補(bǔ)齊，最終滿足條件的子群就叫的生成子群碟摆，記作 ?M?晃财。當(dāng)然叨橱，你可以給出生成子群的精確定義：包含 集合 M 的最小子群典蜕，也稱由集合 M 誘導(dǎo)的生成子群。只有一個(gè)元素 a 生成的子群又叫循環(huán)群 ?a?（cyclic group）罗洗，a 叫做它的生成元（generator）愉舔。顯然整數(shù)加群、有原根的即約剩余系都是循環(huán)群伙菜，并且循環(huán)群顯然是交換群轩缤。

2.2 循環(huán)群

雖然定義了子群，但分解群的任務(wù)還很重贩绕，這里我們暫且休息一下火的，從最簡(jiǎn)單的循環(huán)群研究起。循環(huán)群是一類被完全解決了的群淑倾。也就是說這種群的元素表達(dá)方式和運(yùn)算規(guī)則馏鹤，以及在同構(gòu)意義下它由多少個(gè)和它們子群的狀況都研究清楚了的群。一個(gè)循環(huán)群中無非是這樣的元素：\cdots,a^{-1}a^{-1},a^{-1},e,a,aa,\cdots娇哆。類似數(shù)系中的冪運(yùn)算湃累，我們可以引入指數(shù)記號(hào)a^n 表示循環(huán)群中的每一個(gè)元素，你可以證明它完全滿足指數(shù)的常規(guī)性質(zhì)（公式（12）（13））碍讨。
a^0=e,\quad a^n=a^{n-1}a,\quad a^{-n}=(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}\tag{12}
a^{m+n}=a^ma^n,\quad a^{mn}=(a^m)^n\tag{13}

在任何群中治力，如果有最小n>0的使得a^n=e，那么稱n為a的階（order）勃黍，記作 |a|宵统。如果不存在這樣的 n，則稱 a 的階為無窮大覆获，也記作 |a|马澈。階的性質(zhì)和我們之前介紹的在《初等數(shù)論》中討論的指數(shù)的性質(zhì)完全一樣。

在循環(huán)群 ?a? 中锻梳，如果 |a|=n箭券，則顯然它和有原根的既約剩余系同構(gòu)：a,a^2,\cdots,a^n，并且有φ(n)個(gè)生成元疑枯。當(dāng) a 的階為無窮大時(shí)辩块，它和整數(shù)加法群同構(gòu)：\cdots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\cdots，其中只有a,a^{-1}兩個(gè)生成元。下面有一些階和子群的思考題废亭，難度不大国章，可供讀者消遣思考一下：
　　　
　　? 有限子集 H 是子群的充要條件是：對(duì)任何a,b∈H，總有 ab∈H豆村；
　　? 求證：|a|=|a^{-1}|=|cac^{-1}|液兽，|ab|=|ba|，|abc|=|bca|=|cab|掌动；
　　? 求證：有限群中階數(shù)大于2的元素有偶數(shù)個(gè)四啰；
　　? 如果H<G，求證?G?H?=G粗恢。

2.3 置換群

說完了最簡(jiǎn)單的群柑晒，現(xiàn)在來看最“完整”的群。置換群是一類很重要的群眷射，最早的群論就是從研究它開始的匙赞，利用它，伽羅瓦解決了代數(shù)方程是否可用根式求解問題妖碉，后面在伽羅瓦的工作基礎(chǔ)之上慢慢發(fā)展到了今天代數(shù)學(xué)中專門的理論——即伽羅瓦理論涌庭。前面我們看到群 G 中的任何元素 a 使得 aG 遍歷整個(gè)群，因?yàn)閺?fù)合運(yùn)算是和函數(shù)和映射是等同的欧宜，故我們可以從 aG 看出 a 是和 G 上的一個(gè)雙射變換相對(duì)應(yīng)坐榆。而容易證明，集合 G 上的所有雙射變換 S(G) 組成一個(gè)群鱼鸠，并且 G 是 S(G) 的子群猛拴。一般地，集合 M 上的所有雙射變換組成的群S(M)蚀狰，也可以看成集合 G 的排列是任何從G到G的雙射函數(shù)愉昆；所有這種函數(shù)的集合形成了在函數(shù)復(fù)合下的一個(gè)群S(M)叫 M 上的對(duì)稱群（symmetric group）。當(dāng)|G|=n 時(shí)麻蹋，又可記作S_n跛溉，叫 n 次對(duì)稱群。顯然每個(gè)n 階群都同構(gòu)于 S_n 的某個(gè)真子群扮授，而階為無窮的群也同構(gòu)于 S(G)的某個(gè)真子群（凱萊定理）芳室。即所有群 G 同構(gòu)于在集合G上的對(duì)稱群的子群。這可以被理解為G在集合G的元素上的群作用的一個(gè)例子刹勃。關(guān)于群在集合上的作用后面會(huì)講到堪侯。凱萊定理通過把任何群（包括無限群比如(R,+)）都當(dāng)作某個(gè)底層集合的排列群，把所有群都放在了同一個(gè)根基上荔仁。因此伍宦，對(duì)排列群成立的定理對(duì)于一般群也成立芽死。

這樣一來，我們就可以通過討論對(duì)稱群的子群來研究一般的群次洼。對(duì)稱群的子群叫置換群（permutation group）（因?yàn)樵厥侵脫Q）关贵，S_n 的子群叫 n 次置換群，這里我們只討論 n 次置換群卖毁。將集合中元素用1,2,\cdots,n編號(hào)揖曾，每個(gè)置換 σ(x) 可以表示為下式，改變列的順序并不改變定義亥啦。
\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}\tag{14}

考察置換中的映射序列：1,\sigma(1),\sigma(\sigma(1)),\cdots炭剪，容易證明這個(gè)序列最終必定會(huì)回到 1，這就形成了一個(gè)環(huán)路禁悠。顯然任何置換都是由幾個(gè)不相交的環(huán)路組合而成的念祭，有必要對(duì)它繼續(xù)進(jìn)行研究。每個(gè)環(huán)路其實(shí)也可以看成是一個(gè)置換碍侦，只不過環(huán)路之外的值映射到自身而已。如果環(huán)路上共有 k 個(gè)元素隶糕，這樣的置換就稱為 k-循環(huán)置換（或k-循環(huán)）瓷产，特別地，2-循環(huán)也叫對(duì)換枚驻。循環(huán)置換可表示為下式濒旦，其中\sigma(a_k)=a_1,\sigma(a_i)=a_{i+1} 它的階顯然為 k。
\sigma=(a_1a_2\cdots a_k)=(a_2a_3\cdots a_1)=\cdots=(a_ka_1\cdots a_{k-1})\tag{15}

這樣就可知再登，任何置換都可以唯一分解為幾個(gè)不相交循環(huán)的乘積尔邓。另外，顯然不相交循環(huán)的乘積是可交換的锉矢，故置換分解為循環(huán)后的順序是可以任意的梯嗽。另外也容易有下式成立，即循環(huán)可以分解為一系列對(duì)換的乘積（不可交換）沽损，故任一置換又可以分解為一系列對(duì)換的乘積灯节。這個(gè)地方你需要弄清置換、對(duì)換的本質(zhì)是映射绵估，如下當(dāng)右向左的復(fù)合映射炎疆。
(a_1a_2\cdots a_k)=(a_1a_k)(a_1a_{k-1})\cdots(a_1a_2)\tag{16}

至此就不能再分解了，我們不禁想問国裳，如果一個(gè)置換有不同的分解為對(duì)換的方法形入，那它們的對(duì)換個(gè)數(shù)有什么關(guān)系嗎？現(xiàn)在需要一個(gè)固定的值將它們聯(lián)系起來缝左，這個(gè)值只能從置換 σ 本身下手亿遂。對(duì)于數(shù)對(duì) i<j螟蒸，如果σ(i)>σ(j)，則稱i, j為一個(gè)反序崩掘∑呦樱總反序數(shù)是固定的，定義有奇數(shù)個(gè)反序的置換為奇置換苞慢，否則叫偶置換诵原。你可以證明，任何對(duì)換與置換相乘后都會(huì)改變它的奇偶性挽放。而由上面的分解可知绍赛，任何置換都是由恒等變換與一系列對(duì)換相乘得來，這樣不同分解的對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性也就必然相等辑畦。

奇偶性是置換的一個(gè)符號(hào)性質(zhì)吗蚌，它們相乘后的奇偶性變化與正負(fù)符號(hào)是一樣的。以某個(gè)奇置換為乘積的值纯出，可以將偶置換與奇置換一一配對(duì)蚯妇，這樣它們就各占一半。另外容易看出暂筝，所有偶置換的運(yùn)算是封閉的(因?yàn)楸仨毎瑔挝辉嵫裕春愕扔成洹Ｆ嬷脫Q不含單位元不構(gòu)成群)焕襟，故它們能組成一個(gè)群陨收，這個(gè)群叫做 n 次交錯(cuò)群（alternating group），記作A_n鸵赖。如下有幾個(gè)小思考題务漩，僅供讀者練習(xí)：

? 求證\sigma\tau{\sigma}^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\sigma(\tau(1))&\sigma(\tau(2))&\cdots&\sigma(\tau(n))\end{pmatrix}；

? 求證\{(12),(13),\cdots(1n)\}和\{(12),(12\cdots n)\}都是Sn的生成系它褪。

三饵骨、商群與直積

1. 陪集

現(xiàn)在我們繼續(xù)研究群的分解，先來討論一般子群之間列赎、以及子群和父群的關(guān)系宏悦。首先我們便要講陪集的概念。緊接著我們就能看到陪集就是用群內(nèi)任意一個(gè)元素與原群的子集進(jìn)行一個(gè)復(fù)合操作包吝，左復(fù)合就是左陪集饼煞，反之為右陪集。

思路概覽：

緊接著我們便要問：我們?yōu)槭裁匆@樣做 诗越？使用一個(gè)元素去對(duì)子群進(jìn)行作用得到一個(gè)新的概念——陪集砖瞧，這里僅給出我個(gè)人的觀點(diǎn)，正如前面已經(jīng)講到的嚷狞，群代表著某種對(duì)稱性块促。當(dāng)給我們一個(gè)抽象群需要研究它時(shí)荣堰，我們直觀就能意識(shí)到拋去具體細(xì)節(jié)，從形式上看就知道它代表著某種對(duì)稱性竭翠。于是我們?cè)谏钊胙芯克膬?nèi)部結(jié)構(gòu)的時(shí)候振坚，不禁想問這個(gè)群里面是不是還包含著另外一個(gè)小的對(duì)稱性，即子群的概念斋扰。于是緊接著這個(gè)子群與大群是否可以建立某種聯(lián)系渡八，參考前面將大群分解小群的概念。我們是否可以構(gòu)造出一種分解的概念传货，于是我們面臨著一個(gè)直接的問題屎鳍，我們知道群元素其底層就是一個(gè)集合，在對(duì)應(yīng)到集合的劃分之后问裕，我們可以直觀的理解是將一個(gè)大的原集合劃分成若干個(gè)小集合逮壁。

<font color=red>問題來了，我們劃分之后的小集合還是群?jiǎn)?粮宛？</font>窥淆，首先我們應(yīng)該明確：當(dāng)我們研究一個(gè)東西的時(shí)候常常是從具體實(shí)際出發(fā)到理論抽象建模，然而當(dāng)我們提出一個(gè)理論的時(shí)候確實(shí)從抽象出發(fā)窟勃，在衍生到所有的具體場(chǎng)景祖乳。因?yàn)槌橄蟮氖羌s束最少的情況，具體的是通過添加限制約束的情況秉氧。抽象的適用面更廣、更自由蜒秤、更易于表達(dá)思想汁咏。回到正題作媚，我們便會(huì)很容易的想到對(duì)應(yīng)于劃分之后的小集合都能構(gòu)成群便是一種具體的情況攘滩，而不滿足這個(gè)強(qiáng)約束的是一般。于是我們就可以理解我們這里要提出的陪集的概念(一般情況)和后面要提到的直積概念(具體情況) 了纸泡。而至于我們?yōu)槭裁匆米尤号c元素的作用來作為陪集的概念漂问，首先我們肯定不能用待研究的抽象群，因?yàn)橥ㄟ^前面的學(xué)習(xí)女揭，我們知道任意一個(gè)元素與一個(gè)群本身左右得到的還是它本身蚤假，對(duì)我們來說沒有任何新的有意義的結(jié)果或信息。而針對(duì)子群來說就不一樣了吧兔，我們可以想象使用一個(gè)元素去作用子群磷仰，與我們量子力學(xué)或原子物理學(xué)中使用一個(gè)粒去去碰撞另一個(gè)待研究的粒子是一樣的。使用一個(gè)元素去作用一個(gè)子群我們便有了一個(gè)劃分境蔼。因?yàn)槲覀冎廊绻@個(gè)元素屬于這個(gè)子群灶平，由于封閉性得到的元素必定還是在群內(nèi)伺通，反之不在群內(nèi)。便達(dá)到了我們分解大群的目的逢享，雖然有些不完全罐监，但在這種抽象一般情景下也只能這樣做。如果結(jié)構(gòu)性質(zhì)良好瞒爬，就可以使用直積的概念來分解了弓柱。

下面，進(jìn)入到正題疮鲫。首先根據(jù)子群的判定條件吆你，如果H,K?G，則很容易有H∩K?G俊犯。那么H∪K呢?當(dāng)然這里 H, K 都是真子群妇多，并且不互相包含。對(duì)于子群交的情況我們可以較容易的證明燕侠，而對(duì)于子群并其實(shí)大多數(shù)情況下都是不成立的者祖。在比如如果我們想劃分之后的子集都構(gòu)成子群，我們就會(huì)問一個(gè)問題 绢彤？ 即HK是不是 G 的子集七问？對(duì)h_1k_1,h_2k_2∈HK，如果總有有(h_1k_1)(h_2k_2)=hk茫舶，容易證明該條件和HK=KH等價(jià)械巡。所以就有下式結(jié)論。這樣的分割需要子集滿足一定條件饶氏，不符合我們現(xiàn)在的一般情況讥耗，需要另找方法。
HK\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad HK=KH\tag{1}

現(xiàn)在看來疹启，我們必須放棄將父群分解為若干個(gè)子群的想法古程，而只能以某個(gè)子群 H 為參考或劃分單位。我們還希望分成的每一塊和子群一樣大喊崖，最好元素與H也有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系挣磨。由此我們想到了考察集合 aH，它表示 a 和 H 每個(gè)元素的乘積組成的集合荤懂，被稱為 H 的左陪集（left coset）茁裙，a 是左陪集的代表元。如果 a∈H势誊，顯然aH=H呜达，現(xiàn)在來研究a?H時(shí)，aH之間的關(guān)系粟耻。

對(duì)任意 b∈aH查近，存在b=ah,(h∈H)眉踱，則bH=ahH=aH，也就是說以aH的中任何元素為代表元的左陪集都與aH完全重合霜威。換句話說谈喳，所有左陪集要么完全相等，要么沒有交集戈泼，每個(gè)元素都被劃分到了一個(gè)左陪集中婿禽，且都能作為該左陪集的代表元。另一方面大猛，對(duì)b∈aH扭倾，有a^{?1}b=h∈H，容易證明a^{?1}b∈H 就是a,b同屬于一個(gè)左陪集的充要條件挽绩，它是群元素之間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系膛壹。如果用aH, bH, cH, ... 表示子群 H 在群 G 中的所有不同的左陪集，則有等式 G=aH \cup bH \cup cH \cup ... 稱其為群 G 關(guān)于子群 H 的左陪集分解唉堪。而稱 \{a, b, c, ...\} 為 G 關(guān)于 H 的一個(gè)左陪集代表系模聋。同理右陪集。應(yīng)注意 H 本身就是 G 的一個(gè)左陪集唠亚，但 G 的任何別的左陪集由于沒有單位元链方，當(dāng)然都不是 G 的子群。

同樣可以定義右陪集Ha的概念灶搜，并有著和左陪集一樣的結(jié)論祟蚀，只不過同屬于一個(gè)右陪集的條件要改成ab^{?1}。對(duì)于非交換群割卖，aH與Ha一般不相等暂题，所以左右陪集的分割是完全不同的（H本身除外，它既是左陪集，又是右陪集）。但你也許并不甘心许帐，它們之間一定有別的方法能聯(lián)系起來照弥。考慮到左右陪集只是左右顛倒的攻人，你很自然就可以想到逆運(yùn)算取试，對(duì)任何ah∈aH，都有(ah)^{?1}=h^{?1}a^{?1}∈Ha^{?1}怀吻。即aH和Ha^{?1}的元素是完全互逆的關(guān)系瞬浓，這樣左右陪集就找到了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。現(xiàn)在想來蓬坡，左陪集aH中元素的逆被分散到了其它左陪集中猿棉，但卻神奇地集中到了右陪集Ha^{?1} 里磅叛。

考慮所有左陪集aH組成的集合，它的階被稱為子集H的指數(shù)（index）萨赁，記為[G: H]弊琴，那么顯然有式（2）的拉格朗日定理成立。進(jìn)一步地杖爽，如果 K?H?G敲董，還容易有式（3）成立（注意對(duì)無窮的討論）。并且可以直觀地看出慰安，K 的陪集其實(shí)就是在 H 陪集的基礎(chǔ)上再以 K 為單位進(jìn)行的劃分腋寨。
|G|=|H|[G:H]\tag{2}
[G:K]=[G:H][H:K]\tag{3}

現(xiàn)在再來看H∩K的陪集與H,K陪集的關(guān)系，首先由剛才的結(jié)論知化焕，H∩K 的陪集正好是 H, K陪集的一個(gè)再次分割萄窜。從而aH∩bK要么是空集，要么正好是某些H∩K的陪集锣杂。進(jìn)一步地脂倦，如果c=aH∩bK，則aH∩bK=cH∩cK=c(H∩K)元莫，即aH∩bK最多只包含一個(gè)H∩K的陪集赖阻。這樣的話就容易有以下不等式。
[G:H\cap K]\leqslant [G:H][G:K]\tag{4}

最后來看子集HK踱蠢，它顯然由一些 K 的左陪集組成火欧。另外考慮 H 中 H∩K的 m=\dfrac{|H|}{|H\cap K|} 個(gè)左陪集，考慮 h1,h2∈H茎截，它們屬于同一 H∩K 左陪集的充要條件是h_1^{-1}h_2\in H\cap K苇侵。而該條件顯然等價(jià)于 h_1^{-1}h_2\in K，它又是h1,h2屬于同一 K 的左陪集充要條件企锌，故 HK 中 K 的左陪集的個(gè)數(shù)就是 m榆浓。以上結(jié)論可以總結(jié)為式（5），顯然只有當(dāng) H∩K=e時(shí)撕攒，才有|HK|=|H||K|陡鹃。應(yīng)該注意雖有下面式子，但 HK 仍然不一定是子群抖坪。
|HK|=\dfrac{|H||K|}{|H\cap K|}\tag{5}

2. 同態(tài)與商群

2.1 同態(tài)定理

現(xiàn)在群 G 被分成了 H 的陪集萍鲸，H 當(dāng)然有更細(xì)的劃分方法，現(xiàn)在需要來研究它的陪集組成的集合擦俐。我們先不直接研究陪集脊阴，而是采用更一般性的方法。回顧陪集的定義嘿期，其實(shí)就是一個(gè)從群元素到陪集的映射品擎，我們希望研究一般的代數(shù)系統(tǒng)之間的映射』辔澹考慮兩個(gè)系統(tǒng)\langle S,\circ\rangle ,\langle \bar{S},\star\rangle之間的映射 f孽查，我們當(dāng)然希望運(yùn)算律是保持的，滿足以下條件的映射被稱為同態(tài)映射（homomorphism）坦喘。如果映射是滿的盲再，則稱 S,\bar{S} 同態(tài)，記作 S\sim\bar{S}瓣铣。
f(a\circ b)=f(a)\star f(b)\tag{6}

我們重點(diǎn)要關(guān)注的當(dāng)然是同態(tài)映射像和原像的關(guān)系答朋，即同態(tài)系統(tǒng)之間的關(guān)系。如果G\sim\bar{G}棠笑，其中 G為一個(gè)群梦碗，容易證明\bar{G}滿足群的所有條件（證明略），故\bar{G}也是群蓖救。當(dāng)然還可以得到更多結(jié)論洪规，比如單位元映射到單位元、逆元映射到逆元循捺，甚至子群映射到子群斩例，這里就不贅述了。反過來思考同態(tài)映射从橘，它的每個(gè)像都有可能不止一個(gè)原像念赶，G按照像的不同被劃分成了不同的等價(jià)類，這些等價(jià)類有什么性質(zhì)恰力？它和\bar{G}又有什么關(guān)系叉谜？

顯然那些等價(jià)類與同態(tài)像是一一對(duì)應(yīng)的，如果能定義好運(yùn)算踩萎，它們自然就是同構(gòu)的停局，現(xiàn)在的任務(wù)就是尋找這些等價(jià)類有意義的運(yùn)算。先定義\bar e的原像f^{-1}(\bar{e})為核（kernel）香府，記作Ker\ f翻具。下面來看那些等價(jià)類是什么，對(duì)于\bar x∈\bar G回还，考察 X=f^{-1}(\bar{x})。對(duì)任何 a,b∈X叹洲，f(a^{-1}b)=(f(a))^{-1}f(b)=\bar{e}柠硕，故a^{-1}b\in \text{Ker}\:f，從而 K=\text{Ker}\:f 是一個(gè)子群，且每個(gè)等價(jià)類是都是它的左陪集蝗柔。你還可以發(fā)現(xiàn)闻葵，剛才的證明對(duì)右陪集同樣成立，也就是說Ker f的左右陪集是一樣的癣丧！

既然陪集不分左右了槽畔，就可以為其定義 aK?bK=(ab)K，容易證明在該運(yùn)算下胁编，K 的陪集與 \bar G是同構(gòu)的厢钧。我們需要專門研究像核這樣的子群，即對(duì)子群 N嬉橙，要求 aN=Na 恒成立早直。為此定義滿足下式的子群為正規(guī)子群（normal subset），記作N\trianglelefteq G市框，如果N≠G霞扬，也記作N\triangleleft G。剛才的結(jié)論可以說成枫振，同態(tài)映射的核是正規(guī)子群喻圃，那么反過來呢？其實(shí)容易證明粪滤，對(duì)任意正規(guī)子群N斧拍，映射f(a)=aN就是同態(tài)的。故我們可以下結(jié)論：任何正規(guī)子群都與一個(gè)同態(tài)映射等價(jià)额衙。
\forall a\in G(aNa^{-1})\quad\Rightarrow\quad N\trianglelefteq G\tag{7}

因?yàn)檎?guī)子群 N 的陪集與同態(tài)像一一對(duì)應(yīng)饮焦，它們必然組成群，定義它為商群（quotient group）窍侧，記作G/N县踢，從而有|G/N|=[G:N]。剛才的結(jié)論用符號(hào)表示就是下式伟件，它被稱為同態(tài)基本定理硼啤。
G\sim G/N\cong \bar{G}\tag{8}

現(xiàn)在繼續(xù)對(duì)正規(guī)子群作一些常規(guī)討論。正規(guī)子群是 N 與 G 的關(guān)系斧账，所以對(duì)任意 N\leqslant H\leqslant G,N\trianglelefteq G谴返，總有N\trianglelefteq H，但對(duì)H\trianglelefteq N\trianglelefteq G咧织，卻不一定有H\trianglelefteq G嗓袱。交換群的子群顯然都是正規(guī)子群。對(duì)非交換群 G习绢，{e}和 G 顯然都的正規(guī)子群渠抹，但如果除了這兩個(gè)平凡正規(guī)子群外沒有其它正規(guī)子群蝙昙，那么 G 叫單群（single group）。反之如果其所有子群都是正規(guī)子群梧却，它也叫哈密頓群奇颠。比較容易證明，兩個(gè)正規(guī)子群的交和積也必然是正規(guī)子群（公式（8））放航，但正規(guī)子群與子群的交和積卻只能是普通的子群烈拒。
N,K\trianglelefteq G\quad\Rightarrow\quad N\cap K\trianglelefteq G,\quad NK\trianglelefteq G\tag{8}

如下幾個(gè)小小的關(guān)于正規(guī)子群的問題，僅供讀者思考：
　　? A_n是S_n的正規(guī)子群广鳍，K_4是S_4的正規(guī)子群荆几。如果已知n≠4時(shí)，A_n都是單群搜锰，則S_n的非平凡正規(guī)子群只有A_n伴郁；
　　? N,K\trianglelefteq G 且(|N|,|K|)=1，若G/N,G/K都是交換群蛋叼，求證G也是交換群焊傅；
　　? N=?a? 是正規(guī)子群，則任何 H?N 也是正規(guī)子群狈涮；

同態(tài)基本定理給出了一種分析群的結(jié)構(gòu)的方法狐胎，將群拆分為正規(guī)子群和商群，這里介紹著名的群的同構(gòu)定理歌馍。第一同構(gòu)定理其實(shí)就是同態(tài)基本定理握巢，第三同構(gòu)定理以正規(guī)子群N為單位元，得到更大正規(guī)子群的結(jié)構(gòu)松却。將G換成HN就得到第二同構(gòu)定理暴浦。
　　（1）第一同構(gòu)定理：G/\text{Ker}\:f\cong f(G)晓锻；
　「杞埂（2）第二同構(gòu)定理：N\trianglelefteq G,\:H\leqslant G\quad\Rightarrow\quad HN/N\cong H/(H\cap N)；
　⊙舛摺（3）第三同構(gòu)定理：H,N\trianglelefteq G,\:N\subseteq H\quad\Rightarrow\quad G/H\cong (G/N)/(H/N)独撇。

2.2 自同構(gòu)群

之前講了對(duì)稱群，它的組成元素是集合的一一映射躁锁，現(xiàn)在來看它在群上的一個(gè)特殊子群纷铣。我們考慮群的所有自同構(gòu)變換組成的集合，很容易證明它們組成群战转，稱為自同構(gòu)群（automorphism）搜立，并記作為Aut\ G。容易證明無限循環(huán)群的自同構(gòu)群是 2 階循環(huán)群槐秧，而 n 階循環(huán)群的自同構(gòu)群是 φ(n) 階群儒拂。如果你覺得自同構(gòu)群不好構(gòu)造寸潦，那你可以試試同構(gòu)映射 \sigma_a(x)\to axa^{-1}，所有這樣的映射構(gòu)成內(nèi)自同構(gòu)群社痛，記作Inn\ G。顯然正規(guī)子群在內(nèi)自同構(gòu)下保持不變命雀，因此它也叫不變子群蒜哀。另外容易證明，內(nèi)自同構(gòu)群是自同構(gòu)群的正規(guī)子群（公式（9））吏砂。
\text{Inn}\:G\trianglelefteq\text{Aut}\:G\tag{9}

現(xiàn)在考慮從G到Inn\ G映射撵儿，它顯然是同態(tài)映射，映射的核是所有使 axa^{-1}=x 恒成立的a（內(nèi)自同構(gòu)的單位元是恒等變換）狐血。為此我們定義與所有元素可交換的元素為中心元素淀歇，它們組成的子群叫中心（center），記作C(G)或C匈织，中心僅有{e}的群叫無中心群浪默。這樣一來，使用同構(gòu)定理就有下式成立缀匕。
\text{Inn}\:G\cong G/C\tag{10}

而對(duì)于一般自同構(gòu)群的研究則沒有什么顯著成果纳决，它和原群之間并無特別的關(guān)系，這里只作簡(jiǎn)單討論乡小。若自同構(gòu)群Aut\ G有中心阔加，取一個(gè)非恒等自同構(gòu)變換\tau(a)=b\neq a和內(nèi)自同構(gòu)σ_a，從而有\tau\sigma_a=\sigma_a\tau满钟，進(jìn)而你可以證明 a^{-1}b 是 G 的中心胜榔。從而如果 Aut\ G 有中心，則 G也有中心湃番。反之如果 G 沒有中心夭织，則 Aut G 也沒有中心∏＠保考慮以下問題：

? 證明S_n和Aut\ S_n都是無中心群摔癣；
　　? 證明 n 階循環(huán)群的自同構(gòu)群是循環(huán)群的充要條件是 n=2,4,p^e,2p^e，其中p為奇素?cái)?shù)纬向。

2.3 可解群

商群可以將群分為兩個(gè)層次的“群”择浊，即群本身和它的子群，這樣的分割可以一直繼續(xù)下去逾条，如果有限步后子群為1=\{e\}（公式（11））琢岩，這樣的序列被稱為正規(guī)群列，其中的商群稱為因子群师脂。正規(guī)群列本質(zhì)上是講群分成了若干個(gè)因子群担孔，如果不做其它要求江锨，這個(gè)群列一定是存在的。但有時(shí)希望因子群有更好的性質(zhì)糕篇，以便研究群的結(jié)構(gòu)啄育，為此若群G某個(gè)正規(guī)群列的因子群可交換，我們稱G為可解群拌消。所有交換群顯然是可解群挑豌，而對(duì)非交換群，我們需要研究其可解的條件墩崩。
G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots \triangleright G_n=1\tag{11}

現(xiàn)在來看看 G 的因子群G/N可交換時(shí)氓英，正規(guī)子群 N 應(yīng)該滿足什么條件。G/N 可交換就是說鹦筹，對(duì)任何a,b∈G有aN°bN=bN°aN铝阐，由 N 正規(guī)容易有a^{-1}b^{-1}abN=N，從而a^{-1}b^{-1}ab\in N铐拐。記[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab徘键，它被稱為a,b的換位子。以上結(jié)論說明 G/N 可交換的充要條件是余舶，N 包含了所有的換位子啊鸭。反過來，考察所有換位子的生成子群 D(G)匿值，容易驗(yàn)證它的每個(gè)元素其實(shí)是有限個(gè)換位子之積赠制，并且它還是正規(guī)子群，這個(gè)群被稱為換位子群挟憔。這樣G/N可交換的充要條件便是D(G)?N钟些，而D(G)則是滿足條件的最小正規(guī)子群。

換位子群可以繼續(xù)生成它的換位子群D^2(G)绊谭，如果這樣的序列有限政恍，它被稱為換位群列。存在換位群列的群顯然是可解群达传，反之可解群的任意正規(guī)群列必然滿足 D^k(G)\subseteq G_k換位群列存在篙耗，這就是說群可解與它存在換位群列是等價(jià)的。根據(jù)這個(gè)結(jié)論宪赶，分別考察 G 子群的換位子群宗弯，以及 D(G)在 G/N 上的同態(tài)像，容易證明可解群的所有子群和商群也是可解群搂妻。

有限群上有時(shí)更關(guān)注另一種正規(guī)群列蒙保，它的每個(gè)因子群都是最基礎(chǔ)的單群，這樣的群列叫合成群列欲主，顯然有限群總存在合成群列邓厕。根據(jù)單群的特點(diǎn)容易知道逝嚎，有限單群要么是素?cái)?shù)階循環(huán)群（交換），要么是不可解群（非交換）详恼。這樣的話可解的單群就只能是素?cái)?shù)階循環(huán)群补君，又因?yàn)榭山馊旱纳倘汉妥尤阂彩强山馊海钥山馊旱暮铣扇毫械囊蜃尤憾际撬財(cái)?shù)階循環(huán)群昧互。該命題的逆命題顯然也成立赚哗，故對(duì)于有限群而言，它是可解群的充要條件是：合成群列的因子群為素?cái)?shù)階循環(huán)群硅堆。

可解群是伽羅瓦分析多項(xiàng)式求根時(shí)提出的，它對(duì)于解析有限群的結(jié)構(gòu)也非常重要贿讹，后面我們會(huì)看到它的具體應(yīng)用渐逃。多項(xiàng)式求根中需要討論S_n,A_n的可解性，當(dāng) n<5 時(shí)有正規(guī)群列（12）民褂，故S_n,A_n,(n<5)時(shí)都是可解群茄菊。當(dāng)n?5時(shí)，首先S_n中顯然包含所有3-循環(huán)赊堪，取a=(i,l,j),b=(j,k,m)面殖，容易驗(yàn)證[a,b]=(i,j,k)。這就是說任何3-循環(huán)都還在換位子群中哭廉，不存在D_k(S_n)=1脊僚，所以S_n不是可解群，從而A_n也不是可解群遵绰。關(guān)于此有疑問的同學(xué)辽幌，可以參見 《代數(shù)學(xué)引論》（2nd)，聶靈紹椿访，2009乌企。第 66 頁定理 9 有詳細(xì)的證明過程。
S_2\triangleright 1,\quad S_3\triangleright A_3\triangleright 1,\quad S_4\triangleright A_4\triangleright K_4 \triangleright 1\tag{12}

3. 直積

正規(guī)子群可以將群分解成兩個(gè)群成玫，但這兩個(gè)群不在同一個(gè)層次加酵，似乎也不是真正意義上的“分解”。我們理想的分解應(yīng)當(dāng)是：各部分互相獨(dú)立且順序無關(guān)的哭当，就好比被劃分到了不同的維度猪腕。為此我們先來構(gòu)造一類滿足條件的群，對(duì)群 A_1,A_2,\cdots,A_n荣病，考察如下集合 G码撰。在 G 上定義乘法 (a_1,\cdots,a_n)(b_1,\cdots,b_n)=(a_1b_1,\cdots,a_nb_n)，容易證明在這個(gè)乘法下个盆，G 是一個(gè)群脖岛。容易驗(yàn)證當(dāng) e_i是 A_i的單位元時(shí)朵栖，(e_1, e_2, ... , e_n) 是直積的單位元，而 (a_1^{-1},a_2^{-1}, ... , a_n^{-1}) 是(a_1,a_2, ... , a_n)的逆元柴梆。如果把子集\{(e_1,\cdots,x_k,\cdots,e_n)\} 記做 G_k陨溅，顯然 G_k是與 A_k 同構(gòu)的群。存在著同構(gòu)映射 x_k \rightarrow G_k绍在。易知门扇，直積是交換群（有限群）當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)直積因子都是交換群（有限群）.而且當(dāng)每個(gè) A_k 都是有限群時(shí)，有 |A_1 \times A_2 \times ... \times A_n| = |A_1| · |A_2| · ... |A_n|
G=A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)\}\tag{13}

對(duì)于以上 G 的分解 G_k 顯然滿足我們的需求：（1）G_k 都是正規(guī)子群偿渡；（2）G=G_1G_2\cdots G_n臼寄；（3）G_1\cdots G_{k-1}\cap G_k=\{e\}。更本質(zhì)的它滿足我們對(duì)獨(dú)立分解的要求：各部分獨(dú)立且順序無關(guān)溜宽，用數(shù)學(xué)語言描述就是以下等價(jià)條件吉拳。滿足以上定義或以下等價(jià)條件的分解被稱為 G 的直積（direct product）,每個(gè) G_i被稱為直積因子，不混淆的情況下也寫作G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n适揉。

（1）g=g_1g_2\cdots g_n 的分解式存在且唯一留攒，其中 g\in G,g_k\in G_k；
（2）G_i,G_j 中的元素相乘可交換嫉嘀，即 g_ig_j=g_jg_i 恒成立炼邀。

直積分解將群分解為完全獨(dú)立幾個(gè)子群，這就方便了進(jìn)一步研究剪侮，可以進(jìn)行直積分解的群一般稱為可分解群拭宁，如果分解的子群都是單群，它又叫完全可分解群票彪。我們有兩個(gè)基本問題：什么樣的群可分解红淡？正規(guī)子群是否都可以作為分解因子？第一個(gè)問題的回答并不容易降铸，我們目前只能對(duì)一些簡(jiǎn)單的情景進(jìn)行判斷在旱。比如對(duì)于循環(huán)群，可以證明無限循環(huán)群和階為素?cái)?shù)冪的有限循環(huán)群的子群都有公共部分推掸，故都是不可分解的桶蝎。而對(duì)于階有多個(gè)素因子的循環(huán)群 G=?a?，設(shè)它的階有互素分解 m=m_1m_2\cdots m_n谅畅，使用初等數(shù)論的知識(shí)可以有以下直積分解登渣。
G=\langle a^{\frac{m}{m_1}}\rangle\langle a^{\frac{m}{m_2}}\rangle\cdots\langle a^{\frac{m}{m_n}}\rangle,\quad\left|\langle a^{\frac{m}{m_k}}\rangle\right|=m_k\tag{14}

那么是否每個(gè)正規(guī)子群都可以作為分解因子呢？這一點(diǎn)其實(shí)對(duì)完全可分解群是成立的毡泻。試想如果G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n是一個(gè)完全分解胜茧，且有 N\trianglelefteq G。首先有N\cap G_k\trianglelefteq G_k，而 G_k 是單群呻顽，故有N\cap G_k=G_k或N\cap G_k=\{e\}雹顺。這就是說 N 完全落在了某幾個(gè) G_k 中，它必定是某些G_k 的直積廊遍，所以也可作為分解因子嬉愧。另外使用同態(tài)定理你還可以證明，如果G=N×K喉前，則G/N?K没酣，這就把商積拉到了與 N 平行的位置。

還有一個(gè)問題值得考慮卵迂，就是可分解群中的子群是被怎樣分解的呢裕便？如果G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n，我們希望下式能成立见咒，但它的成立是需要條件的闪金。可以證明它成立的充要條件是|G_k|互質(zhì)论颅，充分性使用剛才對(duì)循環(huán)群的討論證明 a 分解的每個(gè)因子都是其生成群的元素，必要性則通過構(gòu)造兩個(gè) p-階元（參考下一篇）之積來導(dǎo)出矛盾囱嫩。另外恃疯，如果G=G_1×G_2且G_1?H，則容易證明有H=G_1\times(G_2\cap H)墨闲。
H=(H\cap G_1)\times(H\cap G_2)\times\cdots(H\cap G_n)\tag{15}

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