滾動問題中圓的圈數(shù)的探討
一 問題的提出
一位學生向我提出了一個問題捎琐；將兩枚同樣大小的硬幣放在桌子上裹匙，其中一枚硬幣A固定，而另一枚硬幣B則沿著硬幣A邊緣無滑動滾動一圈回到初始位置概页，這時滾動的硬幣B滾動（）圈。
A.1圈? ? B.1.5圈? ? C.2圈? ? ? ? D.2.5圈
看完題目技掏，我不加思考的說项鬼，圓滾動一圈，選擇A答案鸠真。學生看著我說龄毡，有兩位老師說答案是2圈，加上你有2位老師說答案是一圈沦零，許多學生認為是一圈。聽了學生的敘述序攘，我有些不知所措，于是對他說程奠，我再仔細的思考思考，然后回答你己沛。
進過很長的一段時間距境，我突然想起這個問題與一個關于圓滾動的中考題頗為相似，查找資料發(fā)現(xiàn)2009年河北省的中考題與學生問的題目有聯(lián)系师幕。原題的部分敘述為（1）如圖1诬滩，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動到⊙O2的位置疼鸟，當AB=c時，⊙O恰好自轉1圈浩淘；（2）如圖2吴攒，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滾動舶斧，在點B處茴厉，必須由⊙O1的位置旋轉到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋轉的角∠O1BO2=n°矾缓，⊙O在點B處自轉（）圈．
看到這個中考題后，我恍然大悟蜕依，原來圓在折線上滾動存在一個旋轉角的問題，而圓在直線上滾動不存在旋轉角样眠。我把人們非常熟悉的圓在直線上滾動的規(guī)律，想當然的運用到物體在圓周上或者曲線上滾動的情形辫秧，實際上這兩者卻有著重大區(qū)別被丧。
觀察圖1，圓在線段AB上滾動一周柿究，在直線上經(jīng)過的路程為圓的周長即AB黄选，也可以認為是O1O2的長度,圓在直線上滾動一周，圓自身轉動了一圈糕簿。
觀察圖2狡孔，當圓滾動到圓O1的位置時，圓在B處無滑動的旋轉到圓O2的位置殃恒，也就是圓以B點為圓心辱揭，圓的半徑旋轉過一個角度，即∠O1BO2 亥鬓。因為O1B⊥BD, O2B⊥BC,所以∠O1BO2=∠DBC域庇。因此圓在折線外側上滾動，在經(jīng)過折點的過程中熟呛，圓心O從O1的位置自轉到O2的位置旋轉過的角度等于折線內(nèi)角的補角（圖2中∠ABC的補角n°）尉姨。實際上圓在折線上運動經(jīng)過折點時自轉n/360圈。
現(xiàn)在以一個容易理解的題目來理解圓在折線上滾動的問題。
例1：一個正方形的邊長和與它相切的一個圓周長相等椎瘟，將此圓從某一位置沿此正方形的各邊做無滑動旋轉侄旬，直至回到原來的位置，則這個圓旋轉的圈數(shù)為多少婆排？
圓從圓O1的位置旋轉到O2的位置笔链，恰好旋轉過的角度是90°，也就是∠DCB的補角的度數(shù)鉴扫。在頂點C處，圓旋轉了90°/360°=1/4圈,在頂點B處炕婶，圓旋轉了1/4圈, 在頂點A處莱预，圓旋轉了1/4圈, 在頂點D處，圓旋轉了1/4圈涯贞。在4個頂點處共旋轉過了1圈危喉，在四條邊上共滾動了4圈，所以圓一共滾動5圈辜限。
通過上面的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)在每一個頂點處旋轉過的角度都是折線內(nèi)角的補角n氧急，所有補角的和就是多邊形的外角和360°因為每一個頂點處自轉n/360圈岂座，在所有折點處一共自轉360/360=1圈。因此這種類型的題目的答案是（多邊形的周長÷圓的周長+1）圈钾恢。
通過觀察，我認識到在圓的滾動問題中瘩蚪，圓的滾動其實是一種復合運動：一是圓沿另一個幾何圖形的滾動（指的是圓周上的點與幾何體上的點逐一接觸時圓的旋轉前進滾動）疹瘦。一是滾動圓本身的旋轉（指的是動圓繞某一定點，圓心旋轉過一定的角度的運動）言沐；因此解決圓的滾動問題就要分情況把其分解為直線上的滾動和折點處繞頂點的旋轉。圓在多邊形的外側滾動汹押，可以分解成圓在多邊形邊上的滾動和在多邊形折點上的旋轉起便，滾動和旋轉不是同時發(fā)生的；動圓在定圓的外側滾動是一種復合運動妙痹，滾動和旋轉是同時發(fā)生的鼻疮。
回到文章的引言的問題，圓可以認為是正多邊形的極限震贵，外角和也是360°水评，圓在滾動過程中自身旋轉了1圈媚送，圓B沿著圓A的周長滾動了1圈，所以硬幣B共滾動2圈塘偎，當然我們要認識到這兩種運動是同時發(fā)生的吟秩，只不過在分析問題時把它們分開。
二 問題的拓展
通過上面分析涵防，我們發(fā)現(xiàn)一個有趣的事實：圓在折線的外側和多邊形的外側無滑動滾動時，圓心的軌跡的長度除以圓的周長恰好是圓滾動的圈數(shù)偏瓤。以上的例子都可以證明這個事實。以上文中例1為例赔退，在每一個頂點處证舟，動圓的圓心的軌跡恰好是自身的1/4，因此圓心軌跡的長度除以圓的周長卵渴，正是圓在折點處旋轉的圈數(shù)鲤竹。那么一個小圓在一個大圓的內(nèi)側無滑動滾動，滾動的圈數(shù)是否還遵循同樣的規(guī)律呢辛藻？
如圖圓在折線內(nèi)部部滾動，圓從切點A沿A—B—C滾動到C痘拆，滾動的方向是順時針方向氮墨，但是圓在弧DE間跨過，而自身沒有滾動桥氏，即圓在∠DO2E處沒有滾動猛铅。在這條折線上，圓實際上滾動的距離是AD和EC的距離和奸忽，AD和EC的距離和等于O1O2和O2O3的和栗菜。圓在折線內(nèi)部部滾動可以分解成上文中圖1的情形，因此疙筹，圓從切點A沿A—B—C滾動到C禁炒，圓滾動的圈數(shù)=（AD+EC）÷圓的周長=（O1O2+O2O3）÷圓的周長齐苛，即圓心的軌跡長度除以圓的周長恰好是圓滾動的圈數(shù)桂塞。因此可以證明，圓心的軌跡的長度除以圓的周長恰好是圓滾動的圈數(shù)是同樣成立的玛痊。
例2：兩個半徑之比為2：1的圓狂打，大圓固定不動，小圓繞其內(nèi)邊緣滾動(無滑動)对省，當小圓滾動到原來位置(第一次重合)時晾捏，小圓滾動的圈數(shù)是（? ? ）。
A.1? ? ? ? ? B.2? ? ? ? C.3? ? ? ? D.4
圓可以認為是正多邊形的極限惦辛，因此只要求出小圓在大圓內(nèi)部形成的軌跡的長度，問題就容易解決玻淑。根據(jù)題意呀伙，大圓與小圓半徑之比是2：1，小圓的軌跡是以大圓的圓心為圓心干像，小圓半徑為半徑形成的圓驰弄。所以2πr÷2πr=1速客。小圓滾動的圈數(shù)是1圈。
例3? 如圖4岔擂，半徑為2的⊙O從半徑為18，圓心角為120°的弧的一個端點A（切點）開始先在外側滾動到另一個端點B（切點）塑崖，再旋轉到內(nèi)側繼續(xù)滾動痛倚，最后轉回到初始位置，⊙O自轉多少周抒蚜？請說明理由．
觀察圖形分析題意耘戚，我們知道小圓圓心的軌跡是由4條弧線構成。第一條弧線是以P為圓心饿这，半徑為20圓心角為120°的弧線撞秋，第二條弧線是以P為圓心，半徑為16圓心角為120°的弧線唆姐，另外兩條弧線分別是以A廓八、B為圓心，半徑2圓心角180°的兩條弧線声功，正好形成一個半徑為2的圓宠叼。所以⊙O滾動的圈數(shù)為=（2π·20·120/360+2π·16·120/360+2π·2）÷(2π·2)=7圈
三 問題的結論
通過以上的分析，我們可以總結出伸蚯，圓在幾何圖形（直線简烤，折線，多邊形挥萌，弧線、圓的外側或者內(nèi)側）上無滑動滾動時引瀑，圓心的軌跡的長度除以圓的周長等于圓滾動的圈數(shù)憨栽。本文由圓在圓上滾動問題，通過分解成圓在直線上滾動徒像，圓在折線上滾動锯蛀，圓在多邊形上滾動，圓在圓上滾動翔曲，圓在圓的內(nèi)側滾動的探
