目?? 錄
一．設(shè)計目的：............................................................................. 2
二．設(shè)計要求：............................................................................. 3
三．設(shè)計內(nèi)容：............................................................................. 3
3.1選擇巴特渦斯低通數(shù)據(jù)濾波器及雙線性變換法的原因 3
3.2巴特沃思低通濾波器的基本原理................................... 4
3.3雙線性變換法原理........................................................... 5
3.4數(shù)字濾波器設(shè)計流程圖................................................... 7
3.5數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟................................................... 7
四．用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析.... 8
4.1巴特沃斯低通數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)的設(shè)置................... 8
4.2用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真.......... 9
4.3波形圖分析：................................................................. 12
五.總結(jié)與體會.............................................................................. 12
六．附錄 參考文獻(xiàn)..................................................................... 14
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??? 該課程設(shè)計是測控技術(shù)與儀器專業(yè)的必修課镣奋，開設(shè)課程設(shè)計的目的使學(xué)生掌握數(shù)字信號處理的基本概念和基本理論，能夠利用輔助工具進(jìn)行FIR和IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計，進(jìn)行一維信號的頻譜分析枚粘，并進(jìn)行仿真驗證西潘。加強實踐教學(xué)環(huán)節(jié)捎迫，加強學(xué)生獨立分析绷雏、解決問題的能力嵌言，培養(yǎng)學(xué)生動手能力和解決實際問題的能力魏烫，實現(xiàn)寬口徑教育辣苏。
(1)理解低通濾波器的過濾方法。
(2)進(jìn)一步熟悉低通濾波器的基本應(yīng)用哄褒。
(3)用仿真工具matlab軟件對設(shè)計的濾波器進(jìn)行軟件和硬件仿真稀蟋。
(6)將對仿真結(jié)果進(jìn)行比較，從而檢驗濾波器濾波性能的準(zhǔn)確性呐赡。
?????
?地震發(fā)生時糊治，除了會產(chǎn)生地震波，還會由地層巖石在斷裂罚舱、碰撞過程中所發(fā)生的震動產(chǎn)生次聲波井辜。它的頻率大約在每秒十赫茲到二十赫茲之間（可以用11Hz和15Hz的兩個信號的和進(jìn)行仿真，幅度可以分別設(shè)定為1管闷、2）粥脚。大氣對次聲波的吸收系數(shù)很小，因此它可以傳播的很遠(yuǎn)包个，而且穿透性很強刷允。通過監(jiān)測次聲波信號可以監(jiān)測地震的發(fā)生冤留、強度等信息，因為自然界中廣泛存在著各種次聲波树灶，這就對地震產(chǎn)生的次聲波產(chǎn)生了干擾（可以用白噪聲模擬纤怒，方差為5），需要采取一定的處理方法天通，才能檢測到該信號泊窘，要求設(shè)計檢測方案；并處理方法給出具體的軟件（可以以51系列單片機像寒、STM32F407烘豹、TMS320F28335或TMS320F6745為例）。
假設(shè)地震次聲波信號為x,輸入x=sin(2*π*11*t)+2*sin(2*π*15*t)和伴有白噪聲的合成信號诺祸，經(jīng)過濾波器后濾除15Hz以上的分量携悯，即只保留x=sin(2*π*11*t)+2*sin(2*π*15*t)的分量信號，來驗證設(shè)計的濾波器是否達(dá)到了設(shè)計要求筷笨。
3.1選擇巴特渦斯低通數(shù)據(jù)濾波器及雙線性變換法的原因
（1）由于低通濾波器是組成其它濾波器的基礎(chǔ)憔鬼，故選用低通濾波器；
（2）在當(dāng)今社會胃夏，數(shù)字信號的應(yīng)用越來越廣泛逊彭，故選用數(shù)字信號；
（3）巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑并且應(yīng)用范圍最廣构订，故選巴特沃斯型濾波器侮叮；
（4）為了不使數(shù)字濾波器在ω=[if !vml]
[endif]附近產(chǎn)生頻譜混疊，故選用雙線性變換法悼瘾。
3.2巴特沃思低通濾波器的基本原理
巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的幅度平方函數(shù)[if !vml]
[endif]用下式表示
[if !vml]
[endif]
式中囊榜，N稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng)[if !vml]
[endif]=0時亥宿，[if !vml]
[endif]卸勺；[if !vml]
[endif]時，[if !vml]
[endif]烫扼，[if !vml]
[endif]是3dB截止頻率曙求。在[if !vml]
[endif]附近，隨[if !vml]
[endif]加大映企，幅度迅速下降悟狱。幅度特性與[if !vml]
[endif]與N的關(guān)系如圖3.1所示。幅度下降的速度與階數(shù)N有關(guān)堰氓，N愈大挤渐，通帶愈平坦，過渡帶愈窄双絮，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快浴麻，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小得问。
[if !vml]
[endif][if !vml]
[endif]
圖3.1? 巴特沃斯低通數(shù)字濾波器?????????? 圖3.2 三階巴特沃斯濾波器極點
幅度特性與[if !vml]
[endif]與N的關(guān)系????????????????????????? 分布圖
以ｓ替換[if !vml]
[endif]，將幅度平方函數(shù)[if !vml]
[endif]寫成ｓ的函數(shù)
???? [if !vml]
[endif][if !vml]
[endif]
復(fù)變量[if !vml]
[endif]软免，此式表示幅度平方函數(shù)有2N個極點宫纬，極點[if !vml]
[endif]用下式表示：[if !vml]
[endif]????? （[if !vml]
[endif]=0,1,2,3….）
??? 2N個極點等間隔分布在半徑為[if !vml]
[endif]的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔為[if !vml]
[endif]rad膏萧。例如N=3,極點間隔為[if !vml]
[endif]/3rad漓骚，如圖3.2所示。
??? 為形成因果穩(wěn)定的濾波器向抢，2N個極點中只取ｓ平面左半平面的的N個極點構(gòu)成Ha(s), 而右半平面的的N個極點構(gòu)成Ha(-s),Ha（s）的表達(dá)式為[if !vml]
[endif]
為使設(shè)計公式和圖表統(tǒng)一胚委，將頻率歸一化挟鸠。巴特沃斯低通數(shù)字濾波器采用對3dB截止頻率[if !vml]
[endif]歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為
[if !vml]
[endif]
令[if !vml]
[endif],[if !vml]
[endif],[if !vml]
[endif]稱為歸一化頻率亩冬，[if !vml]
[endif]?稱為歸一化復(fù)變量艘希，這樣，巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為
[if !vml]
[endif]?
3.3雙線性變換法原理
雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法硅急。為了克服多值映射的缺點覆享，采用把整個s平面頻率壓縮方法，
將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-π/T～π/T之間营袜，再用[if !vml]
[endif]轉(zhuǎn)換到Z平面上撒顿。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里荚板；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系[if !vml]
[endif]將此橫帶變換到整個Z平面上去凤壁。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性跪另，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象拧抖。映射關(guān)系如圖3.3所示。
設(shè)Ha（s）,[if !vml]
[endif],經(jīng)過非線性頻率壓縮后用[if !vml]
[endif]免绿，[if !vml]
[endif]表示唧席，這里用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮：
???????????? [if !vml]
[endif]
[if !vml]
[endif]
圖3.3? 雙線性變換的映射關(guān)系
式中，T為采樣間隔嘲驾，當(dāng)[if !vml]
[endif]從-π/T經(jīng)過0變化到π/T時淌哟，[if !vml]
[endif]由-∞經(jīng)過0變化到+∞，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到[if !vml]
[endif]平面上虛軸的+π/T之間的轉(zhuǎn)換辽故。即
??????[if !vml]
[endif]
代入[if !vml]
[endif],[if !vml]
[endif],得到
??????[if !vml]
[endif]
再通過[if !vml]
[endif]從[if !vml]
[endif]平面轉(zhuǎn)換到z平面绞绒，得到
???????[if !vml]
[endif]??????????[if !vml]
[endif]
??? 上式是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比榕暇，因此稱為雙線性變換蓬衡。
雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比喻杈，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象，雖然在線性方面有些欠缺狰晚，但是可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正且計算比沖激響應(yīng)不變法方便筒饰，實現(xiàn)起來比較容易，所以壁晒，本設(shè)計選擇用雙線性變換法設(shè)計巴特沃斯低通濾波器瓷们。
3.4數(shù)字濾波器設(shè)計流程圖
3.5數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟
數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟：根據(jù)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),然后將Ha(s)按某種方法（本實驗采用雙線性變換法）轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。具體為：
（1）確定巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率ωp,阻帶截止頻率ωs,通帶最大衰減аp,阻帶最小衰減аs秒咐。
（2）將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)谬晕。這里指ωp和ωs的變換而аp和аs保持不變。本題采用雙線性變換法携取，其轉(zhuǎn)換公式為：
??????? [if !vml]
[endif]?
??????? [if !vml]
[endif]
（3）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp攒钳、Ωs、ωp和ωs用下面公式求出濾波器的階數(shù)雷滋。[if !vml]
[endif]
[if !vml]
[endif]?????????? [if !vml]
[endif]?????????????[if !vml]
[endif]
[if !supportLists]（4）[endif]根據(jù)N由表3.1求出歸一化極點[if !vml]
[endif]和歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)不撑。
表3.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)
??? 分母因式
階數(shù)
B(p)=B1(p)B2(p)…B[N/2](p)?? [N/2表示取大于等于N/2的最小整數(shù)]
?1（p2+1）
?2?(p2+1.4142p+1)
?3?(p2+p+1)(p+1)
4?(p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)
5?(p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)
6?(p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)
7?(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)
8?(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9619p+1)
9?(p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8974p+1)(p+1)
（5）將Ga（p）去歸一化，將[if !vml]
[endif]代入Ga（p）晤斩，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)：
[if !vml]
[endif]?
這里Ωc為3dB截止頻率焕檬。
（6）用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。轉(zhuǎn)換公式為：
[if !vml]
[endif]s=[if !vml]
[endif]
四．用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析
4.1巴特沃斯低通數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)的設(shè)置
通帶截至頻率ωp=15Hz,??????? αp=1dB
阻帶截至頻率ωs=20Hz???????? αs=30dB
采樣頻率為fs=1000Hz
4.2用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真
Matlab程序如下：
clear all;
%模擬地震信號澳泵，頻率是11hz和15hz
fs=1000;dt=1/fs;
f1=11;f2=15;
n=500;
t=[0:n-1]*dt;??????????????????????????????????????????????%時間序列
x=sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t);????%信號
figure(1);
subplot(511);
plot(t,x);????????????????????????????????????????????????%顯示原始信號
title('模擬地震信號');
%白噪聲信號
%rand函數(shù)用來產(chǎn)生均值0.5实愚，方差約為1/12，幅值在0~1的偽隨機數(shù)
%修改為均值為0兔辅，方差為5的白信號爆侣。
p=5;??????????????????????????? %
u1=rand(1,n);
u1_mean=mean(u1);
u1_var=var(u1);
u=u1-u1_mean;
u=u*sqrt(p/u1_var);???????????????????????????????????????? %白噪聲信號
subplot(512);
plot(u(1:100));
title('均勻分布白噪聲');
%%%%地震信號和白噪聲疊加
y1=x+u;????????????????????????????????????????????????????%疊加白噪聲
subplot(513);
plot(t,y1);
title('地震信號和白噪聲疊加');
%FIR帶通
%m=20;
%f=[0? 0.001 0.0015 0.004 0.005 1];
%a=[0 0 1 1 0 0];
%BB=firls(m,f,a);
%bb=fftfilt(BB,y1);
%subplot(313);
%plot(t,bb);
%fir低通
%m=60;
%f=[0 0.03 0.04 1];
%a=[1 1 0 0];
%BB=firls(m,f,a);
%bb=fftfilt(BB,y1);
%subplot(313);
%plot(t,bb);
%B=fir1(45,0.025);
%bb=fftfilt(B,y1);
%subplot(313);
%plot(t,bb);
%巴特沃斯
wp=2*20/fs;
ws=2*30/fs;
Rp=1;
As=30;
[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As);
[B,A]=butter(N,wc);
bb=filter(B,A,y1);
[H,W]=freqz(B,A);
subplot(514);
plot(W,abs(H));
title('巴特沃斯幅頻特性');
subplot(515);
plot(t,bb);
title('巴特沃斯濾波');
用matlab濾波前后的信號波形變化如圖4.1所示：
[if !vml]
[endif]
圖4.1 用matlab濾波前后的信號波形變化
4.3波形圖分析：
由技術(shù)指標(biāo)得：設(shè)計的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器為15Hz以內(nèi)的信號能通過，而高于15Hz的信號將通不過濾波器幢妄。因此兔仰，我們設(shè)計一個輸入信號，其為：y=sin(2*π*11*t)+2*sin(2*π*15*t)+u（u為白噪聲信號）蕉鸳。使其通過設(shè)計好的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器乎赴，來驗證是否有地震發(fā)生。????
如圖4.1所示潮尝，輸入信號為x=sin(2*π*20*t)+2*sin(2*π*100*t)+5*sin(2*π*200*t)榕吼，其圖形在1秒內(nèi)重復(fù)了20次，故其頻率為20Hz勉失，幅度為8羹蚣，由sin(2*π*20*t)、2*sin(2*π*100*t)和5*sin(2*π*200*t)三個正弦波合成乱凿，從圖中可知顽素，輸入信號的幅度與頻率與輸入信號的理論波形幾乎完全相同咽弦。而通過低通濾波器后信號只剩下一個，且在1秒內(nèi)波形重復(fù)了20.25次胁出，即周期為1/20.25s型型，其頻率為20.25Hz, 幅度為1，和輸入信號中的sin(2*π*20*t)分量相差不大全蝶，但其頻率稍微有些失真闹蒜，說明了設(shè)計的
低通濾波器達(dá)到了要求。
用matlab濾波后的信號比理論信號在1秒內(nèi)大了1/4個周期抑淫，效果不錯绷落，而用Simulink濾波后的信號周期沒變，幅度大了0.1始苇，但濾波器控制不了幅度砌烁，幅度的變化說明存在外界干擾，說明噪聲較大埂蕊，但從濾波效果來看也達(dá)到了設(shè)計要求往弓。
??? 綜述
對設(shè)計結(jié)果與理論值的比較疏唾，其均存在一定的誤差蓄氧，從側(cè)面說明對于任何實驗結(jié)果，在一定范圍內(nèi)的誤差是允許的槐脏，其與理論值均有一定的誤差喉童，這是不可避免的，其中的原因多種多樣顿天，如實驗設(shè)計不合理堂氯，外界因素的干擾，信號衰減......對于這些牌废，我們只能通過不斷改進(jìn)設(shè)計原理咽白、優(yōu)化設(shè)計步驟等措施來減小誤差。同時鸟缕，也告訴我們晶框，任何理論結(jié)果要轉(zhuǎn)換成實際應(yīng)用，均要進(jìn)行一定的優(yōu)化懂从，使其達(dá)到實際的應(yīng)用要求授段。
五.總結(jié)與體會
??? 數(shù)字濾波器是一種對數(shù)字信號進(jìn)行濾波處理以得到期望的響應(yīng)特性的離散時間系統(tǒng)。它能夠有效的對數(shù)字信號進(jìn)行過濾番甩，過濾多數(shù)字信號中的干擾和多余成分侵贵，能夠保證通信過程的正常實現(xiàn)。
本次實驗設(shè)計選擇了在通信系統(tǒng)中最常用缘薛，也是最基礎(chǔ)的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器窍育。根據(jù)給定的數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)卡睦，先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),然后將Ha(s)采用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。在這個變換的過程中避免了頻率的混疊現(xiàn)象蔫骂。然后根據(jù)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)么翰，編寫程序，分別運用matlab和Simulink仿真工具對設(shè)計的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器進(jìn)行了仿真辽旋。經(jīng)過幾次調(diào)試和對產(chǎn)生的仿真結(jié)果的分析浩嫌，得到了在誤差允許范圍之內(nèi)的低通數(shù)字濾波器。并且設(shè)計了驗證實驗补胚。對一個由多個信號合成的數(shù)字信號進(jìn)行編程码耐，讓其通過讓所設(shè)計的濾波器。仿真結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行觀察比較溶其，判定所設(shè)計的濾波器符合要求骚腥。
經(jīng)過本次課程設(shè)計，讓我們熟悉了巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的基本知識和MATLAB的m語言及其相關(guān)模塊Simulink的應(yīng)用瓶逃，把課上的理論知識運用到實際中去束铭，更近一步地鞏固了課堂上所學(xué)的理論知識，并能很好地理解與掌握數(shù)字信號處理中的基本概念厢绝、基本原理契沫、基本分析方法。因為學(xué)過數(shù)字信號處理這門課昔汉，但這只是理論知識懈万，通過實驗我們才能真正理解其意義。同時靶病，進(jìn)行matlab軟件及Simulink硬件仿真会通，用兩種方法將其設(shè)計出來。
在設(shè)計過程中娄周，我們遇到了由于理論知識的忘記涕侈、總體輪廓的設(shè)計、編程過少導(dǎo)致的不熟練煤辨、軟件尤其是Simulink模塊運用不熟練等問題裳涛，但是經(jīng)過我們的思考討論和翻閱相關(guān)資料，最終這些問題得到了解決掷酗，設(shè)計出了符合標(biāo)準(zhǔn)的濾波器并通過相關(guān)信號進(jìn)行了驗證调违。
經(jīng)過這次的課程設(shè)計，使我們發(fā)現(xiàn)了自己的一些不足泻轰，為我們在今后的學(xué)習(xí)和生活中注意改進(jìn)自己的不足技肩，我們會更加努力，學(xué)習(xí)好我們的專業(yè)知識并注重運用到實際，克服自己的不足虚婿；同時旋奢，讓我們有機會將自己學(xué)到的理論知識運用到實際中，克服了只學(xué)習(xí)理論的枯燥和乏味然痊，提高了自己的動手能力至朗、思維能力和學(xué)習(xí)的積極性，同時剧浸，鍛煉了我們的團隊協(xié)作能力锹引，為我們今后的工作或考研，都提供了不小的幫助唆香，讓我們受益匪淺嫌变。
