這個(gè)世界上有太多幫助初學(xué)者認(rèn)識十二平均律的文章和書籍了柬泽。十二平均律的原理很簡單，一句話就能解釋：把一個(gè)八度均分12份嫁蛇。不過這樣一句話的解釋對初學(xué)者是有迷惑性的锨并，會讓人有一種“把頻率差值直接除以12”的錯(cuò)覺。

現(xiàn)有的很多教程都不夠“傻瓜”——有的教程過早介紹了“音分”等不適合入門階段的知識琳疏，把學(xué)習(xí)者搞糊涂了；有的教程太惜字如金台汇，不夠“話癆”；有的重點(diǎn)著墨十二平均律的歷史文化背景，對于連原理都不懂的讀者則暫無益處。今天我也試著寫一篇介紹十二平均律的入門教程赠幕，盡可能系統(tǒng)嫌套、有邏輯、通俗易懂（有中學(xué)水平的代數(shù)知識就能看懂）且稍微啰嗦挨约；只講原理翁锡，不談歷史，給有需要的人再多一種參考。?

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發(fā)聲體振動產(chǎn)生聲波，聲波通過介質(zhì)（如空氣）傳播至人的聽覺系統(tǒng)被感知，人便可聽到聲音左冬。聲波振動越快绊袋，聲音便越高（想象尖刺的鳥鳴聲）；聲波振動越慢躁垛，聲音便越低（想象低沉的男低音）擂达。既然聲音有高有低，所以人們用音高一詞來描述聲音的高低程度。?

物理學(xué)中，用精確的標(biāo)量頻率來指示音高雾叭。頻率（符號為f）的含義是單位時(shí)間內(nèi)周期性事件發(fā)生的次數(shù)赚瘦，單位是赫茲（簡寫為Hz）揽咕。例如2,000 Hz表示每秒振動2,000次逗柴。頻率越高，音高越高托享；反之亦然辫诅。

人耳能感知到的頻率范圍是20 Hz至20,000 Hz么夫。高于20,000 Hz的被稱為超聲波腐螟；低于20 Hz的被稱為次聲波。

音樂是寫給人耳的酗宋。所以，從20 Hz到20,000 Hz這個(gè)范圍內(nèi)的所有可能的數(shù)值租漂，理論上都可以供音樂家隨意調(diào)用。但傳統(tǒng)的音樂理論中不可能也不必使用如此精確的度量。例如蛇券，2085 Hz、2086 Hz咳蔚、2087 Hz瞳筏、2088 Hz等對于人耳來說幾無區(qū)別丢烘。再例如赢乓，一個(gè)小提琴家是不會喜歡對著滿篇精確的數(shù)字來演奏的。經(jīng)過長期實(shí)踐，人們決定在無數(shù)多個(gè)頻率數(shù)值中按特定規(guī)則【注釋一】選出最常用的、區(qū)分度大的一些頻率數(shù)值朱巨，固定下來，形成體系粒蜈，供音樂家們長期使用借浊。這就好比從無數(shù)多種可能的顏色中選出常用的若干種，做成顏料盒森枪，包裝起來賣給畫家。其中最著名的一個(gè)規(guī)則是這樣的：指定一個(gè)頻率S=440 Hz漓滔，以其為基準(zhǔn)踏施；另指定常數(shù)p=2^(1/12)≈1.0594631。用p的n次方（n為整數(shù)）分別與S相乘，可得出一系列頻率值【注釋二】竖席。從低到高排列之后员寇，形成如下無窮等比數(shù)列：

代入S與p的值躯舔，可精確計(jì)算出此數(shù)列中每一項(xiàng)的值。

首先是基準(zhǔn)值S的左側(cè)——

然后是基準(zhǔn)值S的右側(cè)——

仔細(xì)觀察以上兩個(gè)表格?。你會發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律睡扬，對于該數(shù)列中的任何一項(xiàng)盟蚣，向左數(shù)12個(gè)格后，數(shù)值會減半卖怜；向右數(shù)12個(gè)格后屎开，數(shù)值會翻倍。這是非常符合預(yù)期的马靠，因?yàn)槌?shù)p的值恰恰等于2的12次方根奄抽。

除此之外，經(jīng)驗(yàn)證明甩鳄，對于任一給定頻率f逞度，當(dāng)將其提高或降低到(2^n)*f后（n為非0整數(shù)），從主觀聽覺上來講妙啃，新的音高與原音高相比有 “似曾相識”之感第晰，除了高低不同以外聽感上非常雷同。（在n取值較小時(shí)尤其如此。）這是人耳對(2^n)*f的敏感性導(dǎo)致的茁瘦，是人的自然屬性品抽。

從數(shù)值上和聽覺經(jīng)驗(yàn)上皆證實(shí)了：該數(shù)列是有一定循環(huán)性的，其中每12項(xiàng)為一組（也叫“一個(gè)八度”）甜熔，組與組的位置相同項(xiàng)之間是2^n的倍數(shù)關(guān)系（n為整數(shù)）圆恤。

為了將“組”的分界點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)化，人們指定Sp^(-9)至Sp^2各項(xiàng)（含兩端）為“第四組”腔稀。第四組之后的12項(xiàng)為“第五組”盆昙，第四組之前的12項(xiàng)為“第三組”，以此類推焊虏〉玻“第〇組”極罕見，編號為負(fù)數(shù)的組更是不會在實(shí)際中出現(xiàn)诵闭×锻牛“第九組”及以上各組也十分罕見。

為了方便實(shí)際使用疏尿，每組內(nèi)的12項(xiàng)也被冠以更方便記憶的名字瘟芝，它們是（按從低頻至高頻的順序）——C , C ?/D ? , D , D ?/E ? , E , F , F ?/G ? , G , G ?/A ? , A , A ?/B ? , B。其中褥琐，“?”讀作“升”锌俱， “?”讀作“降”。 有的項(xiàng)有別名敌呈，因此用斜線隔開贸宏。這套使用拉丁字母記錄音高的符號叫做音名。

如果想精確定位此規(guī)則體系下的音高磕洪，不必使用冗長的頻率值吭练，只須使用簡易的“音名+組號”法，也叫“科學(xué)音高標(biāo)記法”褐鸥。例如线脚，440 Hz 對應(yīng)的音高（即前文的基準(zhǔn)值S）就是 A4；Sp^(-9)對應(yīng)C4（由于C4在鋼琴上是正中央的一個(gè)鍵叫榕，因此C4也俗稱“中央C”）等等浑侥。如果某頻率值沒有落在此規(guī)則遴選出的頻率值集合中，則無法使用科學(xué)音高標(biāo)記法標(biāo)記晰绎。

科學(xué)音高標(biāo)記法在文字描述中非常方便【注釋三】寓落，但是在演奏中不夠直觀。因此音樂家們更傾向于使用科學(xué)音高標(biāo)記法的圖表升級版——五線譜荞下。五線譜中可看出音樂的起伏走勢伶选，輕重緩急史飞，信息容量巨大，非常方便仰税。

本文所述的“使用基準(zhǔn)值S和常數(shù)p構(gòu)造數(shù)列构资，并將每12項(xiàng)分為一組”的思想，正是著名的“十二平均律”陨簇。十二平均律亦直接指導(dǎo)了以鋼琴為首的當(dāng)代眾多鍵盤樂器的設(shè)計(jì)吐绵。仔細(xì)觀察鋼琴黑白相間的鍵盤，你會對十二平均律有更直觀的理解河绽。

十二平均律的核心精髓是其構(gòu)建規(guī)則己单。至于基準(zhǔn)值S（即A4）的取值，更多是來自歷史遺留習(xí)慣耙饰、音樂家們的約定俗成纹笼、或某種審美傾向。A4= 440 Hz是當(dāng)代標(biāo)準(zhǔn)苟跪。今天廷痘，在交響樂隊(duì)演奏之前，所有樂手都要跟隨雙簧管將自己樂器上的A4調(diào)成440 Hz（如果是室內(nèi)樂削咆，則一般跟隨鋼琴）牍疏。而在演奏巴洛克復(fù)古音樂時(shí)蠢笋，這個(gè)基準(zhǔn)值常被定為415 Hz以追求復(fù)古效果拨齐。理論上，基準(zhǔn)值甚至可以隨意取值昨寞。很多當(dāng)代作曲家都樂于在樂器的調(diào)律上做文章以追求新奇效果瞻惋。

十二平均律、科學(xué)音高標(biāo)記法和五線譜記譜法共同構(gòu)成了今天西洋嚴(yán)肅音樂理論的事實(shí)標(biāo)準(zhǔn)援岩。

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【注釋一】這種規(guī)則被稱為“律制”歼狼。研究律制的學(xué)科被稱為“律學(xué)”。

【注釋二】通俗地說享怀，就是使用p將S一次又一次“放大”羽峰，使用p的倒數(shù)將S一次又一次“縮小”。

【注釋三】信手拈來一例：“小提琴的最低音是G3”總比“小提琴的最低音是196 Hz”更易讀易記添瓷。

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本文選用的插圖在公有領(lǐng)域中梅屉。