數(shù)學(xué)建模筆記——評價類模型（二）

好的匀归，今天繼續(xù)研究評價類模型的相關(guān)算法坑资。實不相瞞，雖然我才寫到第二個算法朋譬，但是已經(jīng)聽了幾十節(jié)課了盐茎，清風(fēng)老師的課程確實蠻不錯的，實用性比較強(qiáng)徙赢。相關(guān)的模型字柠、算法基本上越往后越難，所以珍惜現(xiàn)在比較容易理解的評價類模型吧hhh狡赐。

在這里要說明一下窑业，小白本白只是一個即將大三的本科生，目前比較容易理解的模型我還能寫得完整一些枕屉。之后很多模型會涉及較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)常柄，我可能很難完整地從原理去描述了，只能著重于實際應(yīng)用方面搀擂。請各位諒解啦西潘。

ok，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)評價類模型算法哨颂。

（注：以下案例均來自我所聽的網(wǎng)課）

回顧

上一篇文章我們介紹了一個簡單又實用的評價打分方法——層次分析法喷市。同時我們也提到了，層次分析法有一些缺陷之處威恼。首先就是主觀性較強(qiáng)品姓，層次分析法往往是專家用來打分的方法寝并，但建模比賽中沒有專家，判斷矩陣只能我們自己填腹备；其次衬潦，當(dāng)指標(biāo)或者方案層數(shù)量較多時，我們兩兩比較得出的判斷矩陣和一致矩陣可能會出現(xiàn)較大的差異（想一想你的心理預(yù)期植酥，有多符合那個乘法關(guān)系）镀岛，判斷矩陣的填寫也會比較麻煩（例如要問 $C_{20}^2$ 次問題）；再者惧互，層次分析法往往用于沒有相關(guān)數(shù)據(jù)的問題哎媚，我們的打分也是按照判斷矩陣給出的，如果已經(jīng)有了數(shù)據(jù)喊儡，再主觀打分就不太合適了拨与。

看看這個題目

給出 $A—T$ 二十條河流的水質(zhì)指標(biāo)及具體數(shù)據(jù)，請建立合適的模型艾猜，給這些河流的水質(zhì)從高到低排排序买喧。嗯，現(xiàn)在再用層次分析法匆赃，是不是就不太合適了……

TOPSIS算法

TOPSIS算法是解決上述問題的一個比較合適的算法淤毛，其全稱是 $Technique\ for\ Order\ Preference\ by\ Similarity\ to\ an\ Ideal\ Solution$ ，通俗的翻譯則是“優(yōu)劣解距離法”算柳。這個翻譯可以說是指向了此算法的本質(zhì)低淡，我們接下來慢慢談。

我們依然從一個簡單的問題入手瞬项。小明同學(xué)考上南大之后蔗蹋，不知不覺就迎來了第一次高數(shù)考試，他及其舍友的分?jǐn)?shù)如下囱淋。

現(xiàn)在我們要根據(jù)他們的成績猪杭，給他們進(jìn)行打分，要求分?jǐn)?shù)可以合理地表達(dá)其成績的高低妥衣。hhh可能會有人覺得這個問題比較奇怪皂吮，成績本身就可以作為所謂的分?jǐn)?shù)了，實在不行我們還有GPA税手，怎么還要打分蜂筹？因為這只是一個例子，事實上在許多實際問題中芦倒，我們只有數(shù)據(jù)狂票，例如上面水質(zhì)問題的含氧量，PH值熙暴，并沒有這樣一個分?jǐn)?shù)闺属。再者，實際問題中有很多的指標(biāo)周霉，其量綱經(jīng)常不同掂器，但我們需要通過這些數(shù)據(jù)得出一個綜合的分?jǐn)?shù)。因此我們很有必要對數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的處理俱箱，同時找到一個綜合打分的方法国瓮。

所以我們有一個很直接的想法，就是對分?jǐn)?shù)進(jìn)行歸一化處理狞谱，例如清風(fēng)的最后得分就是 $\frac {99}{89+60+74+99} = 0.307$ 乃摹。嗯，這個想法很合理跟衅。即一個人的成績占總成績的比重孵睬，就可以作為這個人在總體中的得分。但是注意了伶跷，這里只有一個指標(biāo)掰读，所以我們可以直接用這個得分作為排序標(biāo)準(zhǔn)。如果還有一些指標(biāo)叭莫，同樣進(jìn)行類似的操作蹈集，實際上就相當(dāng)于我們對數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，消去了量綱的影響罷了雇初。結(jié)果就是拢肆，一番操作過后，留給我們的仍然是一個得分表格靖诗，只不過里面是已經(jīng)被處理過的數(shù)據(jù)郭怪，但還是沒能給出排名。

這里提出一個小問題呻畸，我們把PH值作為衡量水質(zhì)的一個標(biāo)準(zhǔn)移盆，其范圍是0~14，PH=7時最好伤为，所以PH=7時相關(guān)指標(biāo)得分應(yīng)該最高咒循。這時候就不能像成績那樣，直接求和算比重了吧绞愚，那應(yīng)該怎么處理呢叙甸？

ok，我們繼續(xù)位衩。上述的操作只是對數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理裆蒸，我們還是需要一個打分的標(biāo)準(zhǔn)。有同學(xué)就會想到糖驴，賦權(quán)僚祷，然后打分佛致。這就回到了我們層次分析法的內(nèi)容。還是那些問題辙谜，主觀性比較強(qiáng)俺榆，指標(biāo)太多時操作起來不準(zhǔn)確且麻煩，對數(shù)據(jù)的利用不充分等等装哆。

這里就可以引入TOPSIS的想法了罐脊。事實上我們的目的是對方案給出一個排序，只要數(shù)據(jù)有了蜕琴，我們就可以根據(jù)這些數(shù)據(jù)萍桌，構(gòu)造出一個所有方案組成的系統(tǒng)中的理想最優(yōu)解和最劣解（我感覺最劣解和理想不搭，就直接用最劣解稱呼吧）凌简。而TOPSIS的想法就是上炎，我們通過一定的計算，評價系統(tǒng)中任何一個方案距離理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離号醉。如果一個方案距離理想最優(yōu)解越近反症，距離最劣解越遠(yuǎn)，我們就有理由認(rèn)為這個方案更好畔派。那理想最優(yōu)解和最劣解又是什么呢铅碍？很簡單，理想最優(yōu)解就是該理想最優(yōu)方案的各指標(biāo)值都取到系統(tǒng)中評價指標(biāo)的最優(yōu)值线椰，最劣解就是該理想最劣方案的各指標(biāo)值都取到系統(tǒng)中評價指標(biāo)的最劣值胞谈。這么說可能不是很清楚，舉個例子憨愉。

如果我們只有一個指標(biāo)烦绳，例如上圖中的成績，那么理想最優(yōu)解就是99分配紫，注意径密，不是滿分100分，理想最優(yōu)解中的數(shù)據(jù)都是各方案中的數(shù)據(jù)躺孝，而不要選擇方案中沒有的數(shù)據(jù)享扔。不然如果是GDP這種上不封頂?shù)闹笜?biāo)，理想最優(yōu)取值豈不是正無窮了……同理植袍，該系統(tǒng)中的最劣解是60惧眠。

那如果有兩個指標(biāo)呢？例如我們引入一個“與他人爭吵的次數(shù)”于个，用來衡量情商氛魁，給出相應(yīng)的數(shù)據(jù)表格。

按照我們的一般想法，與他人爭吵的次數(shù)應(yīng)該是越小越好秀存，所以我們可以用向量表達(dá)這個系統(tǒng)中的理想最優(yōu)解捶码，也就是 $[99,0]$ ，取清風(fēng)的成績和小王的爭吵次數(shù)或链，最劣解就是 $[60,3]$ 宙项，取小王的成績和清風(fēng)的爭吵次數(shù)。

現(xiàn)在我們知道了如何取得理想最優(yōu)解和最劣解株扛，那如何衡量某一個方案與理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離呢？TOPSIS用下面一個表達(dá)式進(jìn)行衡量： $\frac {某一方案 - 最劣解}{理想最優(yōu)解 - 最劣解}$ 汇荐《淳停可以發(fā)現(xiàn)，如果方案取到了理想最優(yōu)解掀淘，其表達(dá)式取值為1旬蟋；如果方案取到了理想最劣解，其表達(dá)式取值為0革娄。我們便可以用這個表達(dá)式來衡量系統(tǒng)中某一個方案距離理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離倾贰，也直接用它給方案進(jìn)行打分。

相信到這里大家對于TOPSIS的基本思想已經(jīng)差不多理解了拦惋，之后就是實際操作的問題了匆浙。我們都知道，“方案 - 最劣解”這種東西只是方便理解厕妖，確實也是我編出來的首尼，實際中方案根本不能做差。所以我們只能用數(shù)據(jù)來求出這么一個距離言秸。對于某一個指標(biāo)的數(shù)據(jù)软能，我們可以用 $\frac {x-min}{max-min}$ 來衡量綜合距離。如果只有成績這一個指標(biāo)举畸，其計算很簡單查排，例如清風(fēng)的得分就是 $\frac {99-60}{99-60}=1$ ，其余人的成績可以依次給出抄沮。對于“爭吵次數(shù)”這個指標(biāo)跋核，清風(fēng)的得分可以是 $\frac {3-3}{0-3}=0$ ，雖然也能計算合是，但其分母是個負(fù)值了罪，還是不太習(xí)慣。那如果對于PH值聪全，7是最優(yōu)解泊藕，0和14哪一個看成最劣解用于計算呢？亦或者如果某個指標(biāo)處在10~20之間最佳，那最優(yōu)解最劣解又如何衡量呢娃圆？這便是我們遇到的問題玫锋。除此之外，由于數(shù)據(jù)的量綱不同讼呢，在實際的計算過程中也會出現(xiàn)這樣或者那樣的問題撩鹿，因此我們也有必要對于原數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的處理。

首先悦屏，我們解決第一個問題节沦，有些指標(biāo)的數(shù)據(jù)越大越好，有些則是越小越好础爬，有些又是中間某個值或者某段區(qū)間最好甫贯。我們可以對其進(jìn)行“正向化處理”，使指標(biāo)都可以像考試分?jǐn)?shù)那樣看蚜，越大越好叫搁。

我們可以把指標(biāo)分為四類，如下表所示供炎。

所謂的正向化處理渴逻，就是將上述的四種指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將其全部轉(zhuǎn)化為極大型指標(biāo)數(shù)據(jù)音诫，這樣我們計算時問題就少一點惨奕，碼代碼時也更加統(tǒng)一。

對于極小型指標(biāo)纽竣，例如費用墓贿，爭吵次數(shù)，我們可以用 $\hat x_i=max-x_i$ 將其轉(zhuǎn)化為極大型蜓氨，如果所有元素都為正數(shù)聋袋，也可以使用 $\hat x_i= \frac {1}{x_i}$ 。示例如下穴吹。

對于中間型指標(biāo)幽勒，如果其最佳數(shù)值是 $x_{best}$ ，我們可以取 $M=max\{|x_i - x_{best}|\}$ 港令，之后按照 $\hat x_i = 1 - \frac {x_i - x_{best}}{M}$ 轉(zhuǎn)化啥容，示例如下。

對于區(qū)間型指標(biāo)顷霹，如果其最佳區(qū)間是 $[a,b]$ 咪惠，我們?nèi)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=M%3Dmax%5C%7Ba-min%5C%7Bx_i%5C%7D%2Cmax%5C%7Bx_i%5C%7D-b%5C%7D" alt="M=max\{a-min\{x_i\},max\{x_i\}-b\}" mathimg="1">，之后按照 $\hat x_i = \begin{cases} 1-\frac {a-x_i}{M},&x_i<a \\ 1,&a<x_i<b\\1-\frac {x_i-b}{M},&x_i>b \end{cases}$ 轉(zhuǎn)化淋淀，示例如下遥昧。

至此，我們已經(jīng)將所有的數(shù)據(jù)都轉(zhuǎn)化為極大型數(shù)據(jù)了，可以很好地使用 $\frac {x-min}{max-min}$ 來進(jìn)行打分炭臭。但是為了消除不同的數(shù)據(jù)指標(biāo)量綱的影響永脓，我們還有必要對已經(jīng)正向化的矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。在概率統(tǒng)計中鞋仍，標(biāo)準(zhǔn)化的方法一般是 $\frac {X-EX}{\sqrt {DX}}$ 常摧，不過這里我們不采用。我們記標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣為 $Z$ 威创，其中 $z_{ij}=\frac {x_{ij}}{\sqrt {\sum_{i=1}^n {x_{ij}}^2}}$ 落午，也就是 $\frac {每一個元素}{\sqrt {其所在列的元素的平方和}}$ 。

現(xiàn)在我們已經(jīng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行了相應(yīng)的處理肚豺，可以計算每一個方案的的得分了板甘，也就是所謂的距離。由于我們一個方案具有多個指標(biāo)详炬，因此我們可以用向量 $z_i$ 來表達(dá)第 $i$ 個方案。假設(shè)有n個待評價的方案寞奸，m個指標(biāo)呛谜，此時 $z_i=[z_{i1},z_{i2},...,z_{im}]$ 。由這n個向量構(gòu)成的矩陣也就是我們的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣 $Z$ 了枪萄。（實在是打不好這個樣子……）

之后我們就可以從中取出理想最優(yōu)解和最劣解了隐岛，經(jīng)過了正向化處理和標(biāo)準(zhǔn)化處理的評分矩陣，里面的數(shù)據(jù)全部是極大型數(shù)據(jù)瓷翻。因此我們?nèi)〕雒總€指標(biāo)聚凹，即每一列中最大的數(shù)，構(gòu)成理想最優(yōu)解向量齐帚，即妒牙。
同理，取每一列中最小的數(shù)計算理想最劣解向量对妄，湘今。

( $z^+$ 就是 $z_{max}$ ， $z^-$ 就是 $z_{min}$ )

現(xiàn)在我們可以計算得分了剪菱，之前我們的計算公式是 $\frac {z_i-z_{min}}{z_{max}-z_{min}} \$ 也就是 $\ \frac {z_i-z_{min}}{(z_{max}-z_i)+(z_i-z_{min})}$ 摩瞎，嗯，我們變形成了· $\frac {z與z_{min}的距離}{z與z_{max}的距離\ +\ z與z_{min}的距離}$ 孝常。為什么要這樣變形呢旗们？因為大家都是這么用的……好吧，其實我們接下來是使用歐幾里得距離來衡量兩個方案的距離构灸，變形前后分母的計算結(jié)果其實是不同的上渴。我個人認(rèn)為這樣變形更有利于說明問題，即我們衡量的得分是考慮到某個方案距離最優(yōu)解和最劣解的一個綜合距離。不然的話驰贷，所有方案計算得分時分母都是相同的盛嘿，相當(dāng)于只衡量了分子，也就是距離最劣解的距離括袒。那應(yīng)該還是采用綜合衡量的方式會好一點兒吧次兆，你覺得呢？

嗯锹锰，我就默認(rèn)大家都同意這個說法了芥炭。我們繼續(xù)計算得分，對于第 $i$ 個方案 $z_i$ 恃慧，我們計算它與最優(yōu)解的距離 $d_i^+\ =\ \sqrt {\sum_{j=1}^m (z_j^+\ - z_{ij})^2 }$ 园蝠，與最劣解的距離為 $d_i^-\ =\ \sqrt {\sum_{j=1}^m (z_j^-\ - z_{ij})^2 }$ 。我們記此方案的得分為 $S_i$ 痢士，則 $S_i = \frac {d_i^-}{d_i^+\ +d_i^- }$ 彪薛，也可以理解為我們上文一直在說的綜合距離。很明顯怠蹂， $0 \le S_i \le 1$ 善延，且 $d_i^+$ 越小，也就是該方案與最優(yōu)解的距離越小時城侧， $S_i$ 越大易遣； $d_i^-$ 越小，也就是該方案與最劣解的距離越小時嫌佑， $S_i$ 越小豆茫。這種計算方式同時考慮了該方案與最優(yōu)解和最劣解的距離。

這個時候我們就有了每個方案的分?jǐn)?shù)了屋摇，按分?jǐn)?shù)排排序揩魂，就知道哪個方案好一點兒哪個方案次一點兒了。還可以按照這個得分再進(jìn)行一次歸一化炮温，不過我覺得沒什么必要了肤京。

嗯，基本部分講完啦茅特。

總結(jié)

總結(jié)一下忘分。使用TOPSIS算法的一個先決條件就是要有數(shù)據(jù)，最好全部是定量數(shù)據(jù)白修，如果是定性數(shù)據(jù)或者定序數(shù)據(jù)妒峦，但能夠分別優(yōu)劣，也可以按照定量數(shù)據(jù)來處理兵睛。之后就開始操作:

將原始數(shù)據(jù)矩陣正向化肯骇。
也就是將那些極小性指標(biāo)窥浪，中間型指標(biāo)，區(qū)間型指標(biāo)對應(yīng)的數(shù)據(jù)全部化成極大型指標(biāo)笛丙，方便統(tǒng)一計算和處理漾脂。

將正向化后的矩陣標(biāo)準(zhǔn)化。
也就是通過標(biāo)準(zhǔn)化胚鸯，消除量綱的影響骨稿。

計算得分并排序
公式就是 $S_i = \frac {d_i^-}{d_i^+\ +d_i^- }$ 。

這次好像還沒有給一個完整的過程姜钳，嗯坦冠，我就把PPT里的完整過程放在這里供大家參考。
這是原始數(shù)據(jù)矩陣

我們對其進(jìn)行正向化

我們再對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

最后計算得分給出排名

嗯哥桥，這個例子告訴我們辙浑，成績很重要，但是情商更重要hhh拟糕。小王雖然只考了60分判呕，但也及格了，而且他從不與人爭吵送滞，所以我們可以給他一個最好的評價hhh佛玄。

拓展

TOPSIS是不是又簡單又使用呢？其實我們還可以進(jìn)行一點點兒的拓展累澡，不想打字了，看下圖般贼。

我們可以看到愧哟，在計算距離時，我們其實默認(rèn)每個指標(biāo)的權(quán)重是相同的哼蛆，但實際問題中蕊梧，不同的指標(biāo)重要程度可能是不一樣的。例如評獎學(xué)金的時候腮介，成績往往是最重要的肥矢，之后還有參與活動分，志愿服務(wù)分等等叠洗，他們的權(quán)重又低一點甘改。因此，在實際的應(yīng)用中灭抑，我們也可以給指標(biāo)進(jìn)行賦權(quán)十艾，將權(quán)重放到計算距離的公式中。如圖腾节。

帶上了權(quán)重之后忘嫉，不同的指標(biāo)發(fā)揮的影響就不一樣了荤牍，帶權(quán)重的評價也往往是實際生活中很常見的一種評價方式。

那在建模中如何確定權(quán)重呢庆冕？如果是日常生活向的評價康吵，我們可以使用層次分析法，結(jié)合常識給出。如果是比較專業(yè)的評價指標(biāo)诵姜，我們可以查詢資料溪食，看看別人怎么研究的。還有一種方法叫熵權(quán)法耍铜，也是這套課程的內(nèi)容，不過限于篇幅跌前，就留到之后再提吧棕兼。

局限性

TOPSIS法有什么局限性呢？其實也是有的抵乓，例如沒有數(shù)據(jù)你就行不通了吧hhh伴挚。不過在實際建模中，倒也不必考慮太多的局限性灾炭，知道每個模型的適用條件就好了茎芋。到時候見招拆招，增刪查改蜈出，盡力而為就好了田弥。一個沒有參加過比賽的小白說這些是不是有點兒不妥……不管了，反正就是碰到什么題用對應(yīng)的模型铡原，實在不行就試著綜合綜合偷厦，總能有個結(jié)果的hhh

嗯，就這樣燕刻，拜拜~

作業(yè)

我把PPT里的題目也放在這里只泼，應(yīng)該沒問題。嗶哩嗶哩上有作業(yè)講解的卵洗。