4.1.1 什么是群似踱？
旋轉(zhuǎn)矩陣R對(duì)加法是不封閉的盾舌，意思是险胰，對(duì)于任意旋轉(zhuǎn)矩陣 、
矿筝，按照矩陣加法對(duì)它倆做加法運(yùn)算，結(jié)果不是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣棚贾，它沒有意義:
旋轉(zhuǎn)矩陣只有乘法運(yùn)算有意義窖维，所以把這種只有一種有意義運(yùn)算的集合稱為群(Group)榆综。
我們把 集合記作 A，運(yùn)算記作 ·铸史，則 鼻疮，它滿足以下幾個(gè)條件：
- 封閉性：
- 結(jié)合律：
- 幺元：
- 逆：
常見的群有 數(shù)加法 (Z, +)，但它不屬于 李群琳轿。
李群 是指具有連續(xù)性質(zhì)的群判沟。
4.1.2 李代數(shù)的引出
對(duì)于任意旋轉(zhuǎn)矩陣 R, 它滿足 , 如果
隨時(shí)間變化，則有時(shí)間的函數(shù)
崭篡，且依然滿足：
對(duì)上式求導(dǎo)得：
整理得：
可知挪哄， 是一個(gè)反對(duì)稱矩陣。
對(duì)于一個(gè)反對(duì)稱矩陣琉闪，可以找到一個(gè)向量迹炼，使得
，也可以表示為
.
所以我們把 表示為：
等式兩邊右乘 颠毙，得：
所以：對(duì) 求導(dǎo)斯入，只需左乘一個(gè)
即可。
當(dāng) 時(shí)蛀蜜，
刻两，設(shè)
，可得：
我們可以看到滴某，旋轉(zhuǎn)矩陣 與另一個(gè)反對(duì)稱矩陣
通過指數(shù)關(guān)系發(fā)生了聯(lián)系磅摹。
結(jié)論與問題：
(1) 給定某個(gè)時(shí)刻的 , 可以求得一個(gè)
,
描述了
在局部的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。我們稱
是對(duì)應(yīng)到 SO(3) 上的李代數(shù)
;
(3) 給定 壮池，計(jì)算
的方式稱為 李群與李代數(shù)的指數(shù)映射;
(3) 給定 偏瓤，計(jì)算
的方式稱為 李群與李代數(shù)的對(duì)數(shù)映射;
