1、叉乘-數(shù)學(xué)解釋
向量積酗宋，數(shù)學(xué)中又稱外積积仗、叉積，物理中稱矢積蜕猫、叉乘寂曹，是一種在向量空間中向量的二元運(yùn)算。與點積不同回右，它的運(yùn)算結(jié)果是一個向量而不是一個標(biāo)量隆圆。并且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應(yīng)用也十分廣泛翔烁，通常應(yīng)用于物理學(xué)光學(xué)和計算機(jī)圖形學(xué)中渺氧。
叉乘是三維設(shè)計和游戲開發(fā)的底層最簡單邏輯，計算機(jī)從業(yè)者都應(yīng)用理解叉乘租漂。
2維空間中的叉乘是
看起來像個標(biāo)量，事實上叉乘的結(jié)果是個向量颊糜，方向在z軸上哩治。我們來做一個推導(dǎo)，我們可以來嘗試計算一下兩個向量圍成的平行四邊形的面積衬鱼，其實可以求向量圍成的三角形的面積业筏。我們知道面積是底*高，所有推導(dǎo)如下：
設(shè)：
我找到向量A',使得A?A',
也就出現(xiàn)了
也就是
就有如下推導(dǎo)：
這個推導(dǎo)不是很容易直接看懂鸟赫，我來解釋一下蒜胖，首先是A’是如何求得的消别，這非常簡單，但是我們程序員可能忘了：
a,b是兩個向量：a=（a1,a2） b=（b1,b2）
a垂直b：a1b1+a2b2=0
由此可以得到A’,然后是|A|=|A`|,因為是垂直關(guān)系台谢，向量的膜肯定是相等的啊寻狂，然后就是
這是其實更加簡單直接查詢點積公式即：
同樣的后面的利用點積代數(shù)定義：
很容易就得出結(jié)論，這個說的這樣細(xì)致朋沮，就是因為我們程序員可能很久不碰數(shù)學(xué)了蛇券，這個推導(dǎo)對于高中生是非常簡單的。好了樊拓，展示：
繼續(xù)說叉乘：
叉乘不是面積纠亚，叉乘的膜才是面積，嚴(yán)格來說筋夏，叉乘是有向面積蒂胞，正負(fù)代表了面積的方向。好像這樣沒什么意思啊条篷，計算面積沒有簡化都少啊骗随，來看三維向量。
3維空間中的叉乘是：
這里涉及到行列式的計算拥娄，后面在說明蚊锹，我們來看一下結(jié)合意義
不難發(fā)現(xiàn)，在3D圖像學(xué)中稚瘾，叉乘的概念非常有用牡昆，可以通過兩個向量的叉乘，生成第三個垂直于a摊欠，b的法向量丢烘，從而構(gòu)建X、Y些椒、Z坐標(biāo)系播瞳，所以上面描述的有方向的面積現(xiàn)在應(yīng)該明白了，因為二維向量的法向量其實就是Z軸免糕，我們把二維向量補(bǔ)齊成三維向量計算赢乓，a=（a1,a2,0） b=（b1,b2,0） 發(fā)現(xiàn)結(jié)果為(0,0,a1b2-a2b1)的一個平行于Z軸的向量。
2石窑、叉乘-程序應(yīng)用
P1(-1,0,1)牌芋、P2(0,2,2)、P3(0,-1,2)三個點正好可以圍成一個三角形松逊，這三角形的面積是多少躺屁？
import numpy as np
# 構(gòu)建點
P1 = np.array([-1, 0, 1])
P2 = np.array([0, 2, 2])
P3 = np.array([0, -1, 2])
# A和B兩個向量尾部相連
A = P3 - P1
B = P3 - P1
# 計算叉乘
A_B = np.cross(A, B)
# 計算叉乘的膜
AB_mo = np.linalg.norm(A_B)
# 計算面積
Area = AB_mo / 2
print("三角形的面積為：", Area)
三角形的面積為： 2.1213203435596424
已知四個點p1(2,0,0),p2(1,0,2),p3(-1,0,0),p4(2,5,0)可以構(gòu)成平行四面體，求它的體積经宏？
這個題目我們利用小學(xué)的知識一樣可以解決犀暑，但是如何利用程序的方式去解決驯击？我們不可能讓計算機(jī)自己畫圖，然后低乘高吧耐亏，而且如果四面體的所有面全部平行四邊形(沒有90度的角)徊都，我們即使繪圖也是不容易求解的。所以苹熏，展示：
空間向量A碟贾，B，C組成平行6面體的三條鄰邊轨域，H是高袱耽，我們知道向量的叉乘的模是面積，所以底面積就是|B×C|干发，關(guān)鍵看H如何表示朱巨，我們設(shè)i為H方向的單位向量，則：
這里參考點積公式
即可明白一個向量點積一個單位向量枉长，結(jié)果為這個單位向量方向上的投影冀续。繼續(xù)展示：
得到：
接著展示：
import numpy as np
# 構(gòu)建點
P1 = np.array([2, 0, 0])
P2 = np.array([1, 0, 2])
P3 = np.array([-1, 0, 0])
P4 = np.array([2, 5, 0])
# 構(gòu)建向量，以P1為原點
A = P2 - P1
B = P4 - P1
C = P3 - P1
# 計算叉乘
A_B = np.cross(B, C)
# 計算點積
volume = np.inner(A, A_B)
print("四點圍成的體積：", volume)
四點圍成的體積： 30
