重新整理和理解一些重要的數(shù)學(xué)概念
極限
1.數(shù)列的極限
直觀的想象一下，設(shè){a(n)}是一個(gè)數(shù)列，如果當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)总放，a(n)趨近于某一個(gè)常數(shù)a，那么我們就可以認(rèn)為a是數(shù)列{a(n)}的極限
2.函數(shù)的極限
2.1 自變量x趨于無(wú)窮時(shí)的極限
類似于數(shù)列的極限好爬，因?yàn)閿?shù)列本身也是一種函數(shù)局雄，當(dāng)自變量x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)值趨于某一常數(shù)值A(chǔ)存炮，則稱A為函數(shù)f(x)的極限炬搭。
2.2 自變量x趨于x0時(shí)的極限
如果在x→x0 的過(guò)程中蜈漓，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限的接近常數(shù)A，那么稱A就是函數(shù)f (x) 當(dāng)x→x0時(shí)的極限宫盔。
完整的定義為：
設(shè)函數(shù)f (x) 在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義融虽，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么凶瓢拧）有额，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足 0 < | x – x0 | < δ時(shí)彼绷，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x) 都滿足不等式 | f (x) – A | < ε巍佑，那么稱A就是函數(shù)f (x) 當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作
上述概念中寄悯，x是既從x0的左側(cè)也從x0的右側(cè)趨向于x0萤衰。若只考慮x僅從x0的左側(cè)趨于x0（x→x0–），或者僅從x0的右側(cè)趨于x0（x→x0+）热某，就可得到函數(shù) f (x) 當(dāng)x→x0的左極限腻菇，右極限。左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限昔馋。
函數(shù) f (x) 當(dāng)x→x0的極限存在的充分必要條件是：左極限筹吐、右極限各自存在并相等，即 f (x0–) = f (x0+)秘遏。如下圖丘薛，當(dāng)x→0時(shí)f (x) 的極限是不存在的:
上圖中當(dāng)x趨近于0時(shí)，f(x0–)的極限為-1邦危，f(x0+)的極限為1洋侨，所以當(dāng)x→0時(shí)f (x) 的極限是不存在的。
函數(shù)的連續(xù)性
1.連續(xù)的概念
設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域中有定義倦蚪，如果當(dāng)x的變化值趨近于0時(shí)希坚，y的變化值也趨近于0則說(shuō)明函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，也就是：
改寫成極限的形式為：
函數(shù)連續(xù)需要滿足3個(gè)條件：
1.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處有定義
2.函數(shù)在x0處的極限存在（左極限等于右極限）
3.函數(shù)在x0處的極限等于f(x0)
當(dāng)然極限有左極限和右極限陵且，連續(xù)也有左連續(xù)和右連續(xù)裁僧，函數(shù)的左極限等于f(x0)，則稱函數(shù)在x0處左連續(xù)慕购，函數(shù)的右極限等于f(x0)聊疲，則稱函數(shù)在x0處右連續(xù)。
如上圖所示沪悲，此函數(shù)左連續(xù)获洲，但不是右連續(xù)。
初等函數(shù)是連續(xù)函數(shù)
2.函數(shù)的間斷點(diǎn)
在函數(shù)不連續(xù)的情況下殿如，由于函數(shù)間斷的原因不同贡珊，我們可以將間斷分為一下幾類：
2.1 第一類間斷點(diǎn)
第一類間斷點(diǎn)函數(shù)f(x0+)和函數(shù)f(x0-)都存在最爬，但函數(shù)不連續(xù)
可去間斷點(diǎn)：
f(x0+)=f(x0-)
左圖中，函數(shù) y 在 x = 1 處是沒(méi)有定義的
右圖中飞崖，函數(shù) y 在 x = 1 處有定義烂叔，可極限值 ≠ 函數(shù)值
跳躍間斷點(diǎn)：
上圖表示的是不大于 x 的最大整數(shù)，每到整數(shù)點(diǎn)就上升跳躍
f(0+) ≠ f(0-)
2.2 第二類間斷點(diǎn)
除了第一類間斷點(diǎn)以外則稱為第二類間斷點(diǎn)
無(wú)窮間斷點(diǎn)：
f(0+)和f(x0-)中至少有一個(gè)是∞固歪，則稱為x0是f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)
y = tan x 在 x = (π/2) + kπ 處沒(méi)定義蒜鸡，函數(shù)的極限是無(wú)窮大 ∞
y = cot x 在 x = kπ 處沒(méi)定義，函數(shù)的極限是無(wú)窮大 ∞
所以x0= (π/2) + kπ是函數(shù)y = tan x 的無(wú)窮間斷點(diǎn)
x0= kπ是函數(shù)y = cot x 的無(wú)窮間斷點(diǎn)
震蕩間斷點(diǎn)：
f(0+)和f(x0-)中至少有一個(gè)是不斷震蕩的牢裳，則稱為x0是f(x)的震蕩間斷點(diǎn)
y = sin (1/x) 在 x = 0 處沒(méi)定義逢防，此時(shí)當(dāng) x→0時(shí)，函數(shù)振蕩多次
由函數(shù)的連續(xù)性可以推出以下結(jié)論
1.最值定理
由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值
2.零點(diǎn)定理
函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)蒲讯，且f(a)*f(b)<0忘朝，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0使得f(x0)=0
概率分布的概念
設(shè)P為概率測(cè)度,X為隨機(jī)變量則X的概率分布函數(shù)為：
如果將X看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么判帮，分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間(-∞,x]上的概率
由此也可以看出F(X)是單調(diào)不減函數(shù)局嘁。
如上圖所示，分布函數(shù)的另一個(gè)特點(diǎn)就是右連續(xù)性晦墙，也就是當(dāng)隨機(jī)變量x趨近于x0+時(shí)悦昵，函數(shù)的極限是存在的。
概率密度：
上圖展示了概率密度函數(shù)f(x)晌畅，其中陰影部分面積為值在a到b之間的概率但指。
可以看出，對(duì)概率密度的積分就是概率
如上圖所示抗楔，在u處概率分布的變化最大棋凳，所以也是概率密度的最大值，u處的概率分布值為0.5說(shuō)明P(x<=u)為0.5
