公式

$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1} \quad l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

拉格朗日插值	2點一階(一次多項式)	3點二階(二次多項式)
插值節(jié)點	$(x_0,y_0)企孩、(x_1,y_1)$	$(x_0,y_0)裁良、(x_1,y_1)衷恭、(x_2,y_2)$
基函數(shù)	$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1} \quad l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$	$l_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$ $l_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \quad l_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$
插值函數(shù)	$L_1(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x)$	$L_2(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x) + y_2l_2(x)$
說明	每2點間有2個基函數(shù)	每3點間有3個基函數(shù)

$l_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)\cdots (x_0-x_n)}$
$l_i(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_n)} {(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_n)} \quad (i=1,2,\cdots ,n-1)$
$l_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_0)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}$

$l_0(x)=\begin{cases} \frac{x-x_1}{x_0-x_1} & x_0≤x≤x_1 \\ 0 & 其他 \end{cases}$

$l_i(x)=\begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i - x_{i-1}} & x_{i-1}≤x≤x_{i} \\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i - x_{i+1}} & x_{i}≤x≤x_{i+1} \quad\quad (i=1,2,\cdots, n-1)\\ 0 & 其他 \end{cases}$

$l_0(x)=\begin{cases} \frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}} & x_{n-1}≤x≤x_{n} \\ 0 & 其他 \end{cases}$

$L(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x) + y_2l_2(x) + y_3l_3(x) + \cdots + y_nl_n(x)$

常用數(shù)值積分	梯形公式	辛普森公式	牛頓-科茨求積公式
性質(zhì)	拉格朗日型	拉格朗日型	拉格朗日型
基函數(shù)	2點線性插值	3點二次插值	n+1點n次插值
插值點	$x_0,x_1$	$x_0, x_1, x_2$	$x_0, x_1, \cdots, x_{n+1}$
插值函數(shù)	$L_1(x) = f(x_0)l_0(x) + f(x_1)l_1(x)$	$L_1(x) = f(x_0)l_0(x) + f(x_1)l_1(x) + f(x_2)l_2(x)$	$L_n(x) = f(x_0)l_0(x) + f(x_1)l_1(x) + \cdots + f(x_n)l_n(x)$
求積公式	$\int_{a}^f(x)dx ≈ \int_{a}^堤撵L_1(x)dx$	$\int_{a}^仁讨f(x)dx ≈ \int_{a}^L_2(x)dx$	$\int_{a}^实昨f(x)dx ≈ \int_{a}^洞豁L_n(x)dx$

$L_1(x) = \int_{a}^[f(x_0)\frac{x-x_1}{x_0-x_1} + f(x_1)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}]dx$

$L_2(x) = \int_{a}^[f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + f(x_1)\frac{(x-x_0)(x_x2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + f(x_2)\frac{(x-x_0)(x_0-x_1)}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)})]dx$

$l_i(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_n)} {(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_n)} \quad (i=1,2,\cdots ,n-1)$

<table>

基礎(chǔ)方法	梯形	辛普森	6階牛頓-科茨
$\int_{0}^{5}\frac{4}{1+x^2}dx ≈ 5.49360307$	$10.384615$	$5.3006189$	$5.4454758$
進化方法	6次復(fù)化梯形	6次加密復(fù)化梯形	6次龍貝格
$\int_{0}^{5}\frac{4}{1+x^2}dx ≈ 5.49360307$	$5.4968779$	$5.4935730$	$5.4936031$

三個有關(guān)正交的概念

如果 $\int_{a}^丈挟f(x)g(x)dx = 0$ 我們稱函數(shù) $f(x)$ 與 $g(x)$ 在區(qū)間 $[a,b]$ 上正交刁卜；
如果 $\int_{a}^p(x)f(x)g(x)dx = 0$ 稱函數(shù) $f(x)$ 與 $g(x)$ 在區(qū)間 $[a,b]$ 上帶權(quán) $p(x)$ 正交曙咽；
如果有一個"多項式"序列 $\{g_{k}(x)\}_{k=0}^{\infty}$ (每一項 $g_{k}(x)$ 就表示一個k次多項式)蛔趴，如果這個多項式序列所有元素滿足下面的規(guī)律：

$\int_{a}^p(x)g_{m}(x)g_{n}(x)dx=\begin{cases} 0 & 當(dāng)m≠n \\ \int_{a}^例朱p(x)[g_{m}(x)]^{2}dx & 當(dāng)m=n \\ \end{cases}$
我們稱 $\{g_{k}(x)\}_{k=0}^{\infty}$ 為在區(qū)間 $[a,b]$ 上帶權(quán) $p(x)$ 的"正交多項式序列"孝情；序列中的每一個元素，我們可以叫它"一個正交多項式"洒嗤！

$\int_{-1}^{1}p(x)f(x)dx ≈ \sum_{i=0}^NA_if(x_i)$
$\int_{-1}^{1}f(x)dx = \int_{-1}^{1}1f(x)dx ≈ \sum_{i=0}^NA_if(x_i)$

$x_i = \frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n = 0$

$A_i = \int_{-1}^{1}p(x)l_i(x)dx$

clear; clc;
format long;

syms x;
n = double(input('輸入使用幾點(n)的高斯-勒讓德插值:'));
% n點插值的高斯-勒讓德多項式Pn和對應(yīng)插值節(jié)點Xi:
f = x^2 -1;
fprintf('%d點高斯-勒讓德多項式為:\n',n)
P = vpa(1/(2^n*factorial(n)) * diff(f^n,x,n))   % 勒讓德多項式
Xi = sort(double(solve(P)))';                   % 對應(yīng)的插值節(jié)點

% n點高斯-勒讓德插值節(jié)點對應(yīng)的插值系數(shù)Ai:
xnum = Xi;
l = sym(zeros(1,n));  
Ai = zeros(1,n);
for m = 1:n
    l(m) = prod(x - xnum([1:m-1 m+1:n]))/prod(xnum(m) - xnum([1:m-1 m+1:n])); 
    Ai(m) = double(int(l(m),x,-1,1));   % 插值系數(shù)
end

fprintf('%d點高斯-勒讓德插值節(jié)點為:\n',n);
Xi
fprintf('%d點高斯-勒讓德插值節(jié)點對應(yīng)的系數(shù)為:\n',n);
Ai

?	插值節(jié)點 $x_i$	插值系數(shù) $A_i$
10階高斯-勒讓德求積	$±0.973906528517172$ $±0.865063366688985$ $±0.679409568299024$ $±0.433395394129247$ $±0.148874338981631$	$0.066671344308688$ $0.149451349150581$ $0.219086362515982$ $0.269266719309996$ $0.295524224714753$

原函數(shù)與精確解	10點高斯-勒讓德求積	10點復(fù)化梯形(分段線性)求積
$\int_{0}^{5}\frac{4}{1+x^2}dx≈5.4936031$	$5.\color{red}{493}5968$	$5.\color{red}{49}24163$
$\color{red}{精確度}$	小數(shù)點后3位	小數(shù)點后2位

$\left\{ \begin{matrix} \color{blue}{b_1} & \color{blue}{c_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{blue}{a_2} & \color{blue}{b_2} & \color{blue}{c_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{blue}{a_3} & \color{blue}{b_3} & \color{blue}{c_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{blue}{a_4} & \color{blue}{b_4} & \color{blue}{c_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_5} & \color{blue}{b_5} & \color{blue}{c_5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_6} & \color{blue}{b_6} \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \color{blue}{r_1} \\ \color{blue}{r_2} \\ \color{blue}{r_3} \\ \color{blue}{r_4} \\ \color{blue}{r_5} \\ \color{blue}{r_6} \\ \end{matrix} \right\}$

第一步：將系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)A為上三角矩陣

第一行方程： $\color{blue}{b_1}x_1 + \color{blue}{c_1}x_2 = \color{blue}{r_1}$ 兩邊除以 $\color{blue}{b_1}$ 得： $x_1 + \color{blue}{\frac{c_1}{b_1}}x_2 = \color{blue}{\frac{r_1}{b_1}}$
重新記錄為： $x_1 + \color{red}{r_1}x_2 = \color{red}{p_1} \quad \color{red}{r_1} = \color{blue}{\frac{c_1}{b_1}} \quad \color{red}{p_1} = \color{blue}{\frac{r_1}{b_1}}$
新的矩陣方程變?yōu)椋?br> $\left\{ \begin{matrix} \color{red}{1} & \color{red}{r_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{blue}{a_2} & \color{blue}{b_2} & \color{blue}{c_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{blue}{a_3} & \color{blue}{b_3} & \color{blue}{c_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{blue}{a_4} & \color{blue}{b_4} & \color{blue}{c_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_5} & \color{blue}{b_5} & \color{blue}{c_5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_6} & \color{blue}{b_6} \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \color{red}{p_1} \\ \color{blue}{r_2} \\ \color{blue}{r_3} \\ \color{blue}{r_4} \\ \color{blue}{r_5} \\ \color{blue}{r_6} \\ \end{matrix} \right\}$

第二行方程： $\color{blue}{a_2}x_1 + \color{blue}{b_2}x_2 + \color{blue}{c_2}x_3= \color{blue}{r_2}$
用新矩陣的第一行消去第二行的 $x_1$ 得： $(\color{blue}{b_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{r_1})x_1 + \color{blue}{c_2}x_3 = \color{blue}{r_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{p_1}$
重新記錄為： $x_2 + \color{red}{r_2}x_3 = \color{red}{p_2} \quad \color{red}{r_2} = \frac{\color{blue}{c_2}}{\color{blue}{b_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{r_1}} \quad \color{red}{p_2} = \frac{\color{blue}{r_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{p_1}}{\color{blue}{b_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{r_1}}$
新的矩陣方程變?yōu)椋?br> $\left\{ \begin{matrix} \color{red}{1} & \color{red}{r_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{blue}{a_3} & \color{blue}{b_3} & \color{blue}{c_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{blue}{a_4} & \color{blue}{b_4} & \color{blue}{c_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_5} & \color{blue}{b_5} & \color{blue}{c_5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_6} & \color{blue}{b_6} \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_2} \\ \color{blue}{r_3} \\ \color{blue}{r_4} \\ \color{blue}{r_5} \\ \color{blue}{r_6} \\ \end{matrix} \right\}$

每一行同理遞推后箫荡，最終新的矩陣方程變?yōu)椋?br> $\left\{ \begin{matrix} \color{red}{1} & \color{red}{r_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_2} \\ \color{red}{p_3} \\ \color{red}{p_4} \\ \color{red}{p_5} \\ \color{red}{p_6} \\ \end{matrix} \right\}$

第二步：方程逆序求解

$x_6 = \color{red}{p_6} \quad x_5 = \color{red}{p_5} - \color{red}{r_5x_6} \quad x_4 = \color{red}{p_4} - \color{red}{r_4x_5}$
$x_3 = \color{red}{p_3} - \color{red}{r_3x_4} \quad x_2 = \color{red}{p_2} - \color{red}{r_2x_3} \quad x_1 = \color{red}{p_1} - \color{red}{r_1x_2}$

Thomas算法通式

$\left\{ \begin{matrix} b_1 & c_1 & & & 0\\ a_2 & b_2 & c_2 & & \\ & a_3 & b_3 & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & c_{n_1} \\ 0 & & & a_n & b_n \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \\ d_4 \\ d_5 \\ d_6 \end{matrix} \right\}$

系數(shù)變化通式：
$c^{'}_i=\begin{cases} \frac{c_i}{b_i} & i = 1 \\ \frac{c_i}{b_i - c^{'}_{i-1}a_i} & i = 2,3,\cdots,n-1\\ \end{cases} \quad\quad d^{'}_i=\begin{cases} \frac{d_i}{b_i} & i = 1 \\ \frac{d_i - d^{'}_{i-1}a_i}{b_i - c^{'}_{i-1}a_i} & i = 2,3,\cdots,n-1\\ \end{cases}$

解的通式：
$x_i = d^{'}_{i} - c^{'}_{i}x_{i+1} \quad\quad i = n-1,n-2,\cdots, 1$

$k\frac{d^2f}{d^2x} + s(x) = 0 \quad 0≤x≤L$

$\begin{cases} k\frac{d^2f}{d^2x} + s(x) = 0 \\ q_0 = -k(\frac{df}{dx})_{x=0} \quad\quad f(x=L) = f_L\\ \end{cases}$

參數(shù)	f(x)	s(x)	k
含義	桿上溫度函數(shù)	桿上單位長度的產(chǎn)熱率	桿材料熱傳導(dǎo)系數(shù);

?	Neumann邊界條件	Dirichlet邊界條件
內(nèi)容	桿左端 $x=0$ 處的熱通量已知	桿右端 $x=L$ 處溫度已知;
公式	$q_0 = -k(\frac{df}{dx})_{x=0} \quad q_0為給定常數(shù)$	$f(x=L) = f_L \quad f_L為給定常數(shù)$

發(fā)現(xiàn)：公式中 $f(x)$ 與 $s(x)$ 都是 $x$ 的函數(shù)，可以用 $N_E+1$ 個插值點近似

$f(x) ≈ \sum_{j=1}^{N_E+1}f_j\phi_j(x) \quad s(x) ≈\sum_{j=1}^{N_E+1}s_j\phi_j(x)$

注意：

上兩式中的 $\phi_j(x)$ 是同一套拉格朗日插值基函數(shù)渔隶！因為大家都是用的同一個區(qū)域羔挡；
這個例子用的全是分段線性拉格朗日插值，即每個基函數(shù)都是前文中線性函數(shù)间唉；
插值點包括左右2個端點绞灼，即總共 $N_E+1$ 個插值點，把桿分成了 $N_E+1$ 份终吼；
區(qū)間可以不均分镀赌，隨便怎么分都行！一般給一種固定的區(qū)間分法是為了好編程而已际跪。

$\int_{0}^{L}\phi_i(x)[k\frac{d^2f}{d^2x} + s(x)]dx = 0 \quad\quad \phi_i(i = 1,2,\cdots, N_E)$

基于Galerkin積分式：
$\int_{0}^{L}\phi_i(x)[k\frac{d^2f}{d^2x} + s(x)]dx = 0 \quad\quad \phi_i(i = 1,2,\cdots, N_E)$

現(xiàn)在商佛，我們把 $\phi_i(x)$ 帶進去相乘并進行展開，將 $\phi_i(x)$ 和 $s(x)$ 縮寫為 $\phi_i$ 和 $s$ ：
$\int_{0}^{L}(\phi_ik\frac{d^2f}{d^2x} + \phi_is)dx = \int_{0}^{L}\phi_ik\frac{d^2f}{d^2x}dx + \int_{0}^{L}\phi_isdx$

對于右邊第一項姆打，我們用分部積分法再展開為：
$\int_{0}^{L}\phi_ik\frac{d^2f}{d^2x}dx = \int_{0}^{L}[ k\fraciebx1l0{dx}(\phi_i\frac{df}{dx}) - k\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx} ]dx$

將上式帶回上上式良姆，將Galerkin積分式完整展開為：
$-k(\frac{df}{dx})_{x=0} + k(\frac{df}{dx})_{x=L} - k\int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx}dx + \int_{0}^{L}\phi_isdx = 0$

根據(jù)插值的性質(zhì)，將公式進一步改寫為：

$-\delta_{i,1}k(\frac{df}{dx})_{x=0} + \delta_{i,N_E+1}k(\frac{df}{dx})_{x=L}- k\int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx}dx + \int_{0}^{L}\phi_isdx = 0$

根據(jù)分段線性插值基函數(shù)性質(zhì)幔戏， $\delta_{i,N_E+1}=0$ 玛追，即左邊第二項為0；根據(jù)邊界條件 $q_0 = -k(\frac{df}{dx})_{x=0}$ 闲延，左邊第一項為已知痊剖。帶入這兩個條件到上式中：

$\delta_{i,1}q_0 - k\int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx}dx + \int_{0}^{L}\phi_isdx = 0$

一般將上式帶 $f(x)$ 的都移到左邊，帶 $s(x)$ 都移動右邊垒玲，故寫成：

$\int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx}dx = \frac{q_0}{k}\delta_{i,1} + \frac{1}{k}\int_{0}^{L}\phi_isdx$

上式即為"Galerkin有限元基本方程"陆馁，也就是有限元操作的"方程改寫"完成。

完成了公式改寫合愈，下面要對新的公式進行空間離散叮贩，根據(jù)分段線性插值：

$f(x) ≈ \sum_{j=1}^{N_E+1}f_j\phi_j(x) \quad s(x) ≈\sum_{j=1}^{N_E+1}s_j\phi_j(x)$

將上式帶入到"Galerkin有限元基本方程"中：

$\sum_{i,j=1}^{N_E}\left( \int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{d\phi_j}{dx}dx \right)f_j = - \left( \int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{d\phi_{N_{E+1}}}{dx}dx \right)f_L + \frac{q_0}{k}\delta_{i,1} + \sum_{i,j=1}^{N_E+1}\left( \int_{0}^{L}\phi_i\phi_jdx \right)s_j$

注意：為什么上式左邊求和只到 $N_E$ 击狮？因為邊界條件 $f_L$ 是已知的，因為把最后一項(已知項)單獨拿出了而已益老。上式方程用矩陣來表達(dá)：

$Df = b$

其中：
$b = c + \frac{1}{k}\tilde{M}s \quad\quad c = [\frac{q_0}{k},0,\cdots,0,\frac{f_L}{h_{N_E}}]^{T} \quad\quad s = [s1,s2,\cdots,s_{N_E},s_{N_E+1}]^{T}$

擴散矩陣D和質(zhì)量M如下：
$D_{ij} = \int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{d\phi_j}{dx}dx \quad\quad \tilde{M_{ij}} = \int_{0}^{L}\phi_i\phi_jdx \quad\quad f = [f1,f2,\cdots, f_{N_E-1},f_{N_E}]^{T}$

具體內(nèi)容很簡單：

$D_{ij}=\begin{cases} \frac{1}{h_1} & i = j = 1 \\ \frac{1}{h_{i-1}} + \frac{1}{h_{i}} & i = j ≠ 1,N_E+1 \\ \frac{1}{h_{N_E}} & i = j = N_E+1 \\ -\frac{1}{h_i} & j = i + 1 \\ -\frac{1}{h_{i-1}} & j = i - 1 \\ 0 & 其他 \end{cases} \quad\quad M_{ij}=\begin{cases} \frac{h_1}{3} & i = j = 1 \\ \frac{h_{i-1}}{3} + \frac{h_{i}}{3} & i = j ≠ 1,N_E+1 \\ \frac{h_{N_E}}{3} & i = j = N_E+1 \\ \frac{h_i}{6} & j = i + 1 \\ \frac{h_{i-1}}{6} & j = i - 1 \\ 0 & 其他 \end{cases}$

$M_{ij}=\begin{cases} \frac{h_1}{3} & i = j = 1 \\ \frac{h_{i-1}}{3} + \frac{h_{i}}{3} & i = j ≠ 1,N_E+1 \\ \frac{h_{N_E}}{3} & i = j = N_E+1 \\ \frac{h_i}{6} & j = i + 1 \\ \frac{h_{i-1}}{6} & j = i - 1 \\ 0 & 其他 \end{cases}$

$D = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{h_1} & -\frac{1}{h_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ -\frac{1}{h_1} & \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} & -\frac{1}{h_2} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{h_{N_E-3}} + \frac{1}{h_{N_E-2}} & \frac{1}{h_{N_E-2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{h_{N_E-2}} & \frac{1}{h_{N_E-2}} + \frac{1}{h_{N_E-1}} & -\frac{1}{h_{N_E-1}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{h_{N_E-1}} & \frac{1}{h_{N_E-1}} + \frac{1}{h_{N_E}} \end{matrix} \right\}_{N_E \times N_E}$

$\tilde{M} = \left\{ \begin{array}{cccccccc|c} \frac{h_1}{3} & \frac{h_1}{6} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{h_1}{6} & \frac{h_1}{3} + \frac{h_2}{3} & \frac{h_2}{6} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{h_2}{6} & \frac{h_2}{3} + \frac{h_3}{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{h_{N_E-3}}{3} + \frac{h_{N_E-2}}{3} & \frac{h_{N_E-2}}{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{h_{N_E-2}}{6} & \frac{h_{N_E-2}}{3} + \frac{h_{N_E-1}}{3} & \frac{h_{N_E-1}}{6} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{h_{N_E-1}}{6} & \frac{h_{N_E-1}}{3} + \frac{h_{N_E}}{3} & \frac{h_{N_E}}{6} \end{array} \right\}_{N_E \times (N_E+1)}$

$s(x) = s_0exp(-5\frac{x^2}{L^2})$

?	桿長L	單元總數(shù) $N_E$	單元剖分伸縮率a	邊界條件 $f(L)$	邊界常數(shù) $q_0$	熱源常數(shù) $s_0$
數(shù)值	1.0	16	5	0.0	-1.0	10.0

$\frac{d^2f}{dx^2} + af = 0$

?	桿長L	單元總數(shù) $N_E$	單元剖分伸縮率a	邊界條件 $f(L)$	邊界常數(shù) $q_0$	熱源常數(shù) $a$
數(shù)值	1.0	32	2	-0.2	-1.0	87.4

方程的精確解為：
$f(x)=\begin{cases} c_1sin(\sqrt{a}x) + c_2cos(\sqrt{a}x) & a>0 \\ c_1exp(\sqrt{|a|}x) + c_2exp(-\sqrt{|a|}x) & a<0 \\ \end{cases}$

當(dāng) $a>1$ 時常數(shù)：
$c_1 = -\frac{q_0}{k\sqrt{a}} \quad \quad c_2 = \frac{f_L - c_1sin(\sqrt{a}L)}{cos(\sqrt{a}L)}$

當(dāng) $a<1$ 時常數(shù)：
$c_1 = \frac{ f_L - \hat{q_0}exp(-\sqrt{|a|}L) }{ exp(\sqrt{|a|}L) + exp(-\sqrt{|a|}L) } \quad \quad c_2 = \frac{ f_L + \hat{q_0}exp(\sqrt{|a|}L) }{ exp(\sqrt{|a|}L) + exp(-\sqrt{|a|}L) } \quad \quad \hat{q_0} = \frac{q_0}{k\sqrt{|a|}}$

?	插值節(jié)點 $x_i$	插值系數(shù) $A_i$
6階Lobatto求積	$±0.871740148509607$ $±0.591700181433142$ $±0.209299217902479$	$0.21070422714350$ $0.34112269248350$ $0.41245879465870$

線性代數(shù)總結(jié)

行列式總結(jié):

行列式一定是正方形的彪蓬；
對換行列式的兩行，行列式結(jié)果要變號捺萌；
代數(shù)余子式：在n階行列式中档冬，把(i,j)元 $a_{ij}$ 所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做 $a_{ij}$ 的"余子式"互婿，記做 $M_{ij}$ (就是原行列式簡單的劃掉一行和一列后剩下的東西)捣郊。元 $a_{ij}$ 的"代數(shù)余子式"記為 $A_{ij}$ 辽狈。代數(shù)余子式和余子式之間的關(guān)系為：

$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

矩陣總結(jié)

（1）基本內(nèi)容：

矩陣很多特殊操作慈参，尤其是牽扯到相應(yīng)行列式時，這個矩陣都是正方形的刮萌；
矩陣A的伴隨矩陣：矩陣A的各個元素位置由元素對應(yīng)的代數(shù)余子式代替驮配，并做一次轉(zhuǎn)置后得到：

$A^* = \left( \begin{matrix} A_{11} & \color{red}{A_{21}} & \cdots & A_{n1} \\ \color{red}{A_{12}} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{matrix} \right)$

矩陣可逆判斷(充要條件1)： $|A|≠0$ ；可逆矩陣 = 非奇異矩陣着茸；逆矩陣求法：

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}$

克拉默法則：n個方程n個未知數(shù)的正方形方程組壮锻，如果正方形系數(shù)矩陣A的行列式值不為0，即 $|A|≠0$ 涮阔，則該方程組有唯一解猜绣！
解線性方程組矩陣的3種初等變換：1. 對換兩行；2. 某行元素整體乘個系數(shù)k敬特；3. 把做完2步的那一行加到另一行去掰邢。初等變換不改變方程的解！伟阔！即始終同解辣之。與行列式變換不同！皱炉！
矩陣可逆判斷(充要條件2)：矩陣A經(jīng)過有限次初等變換后怀估，可以變成單位矩陣E；

（2）矩陣與線性方程組：

對應(yīng)線性方程組： $Ax = b$ ，右端矩陣b不為0是"非齊次線性方程組"曾掂，為0就是"齊次線性方程組"帅掘。系數(shù)矩陣A可以是正方形也可以是長方形。
矩陣A(任意形狀)的子式：在mxn矩陣A中康铭，任取k行k列(k≤m, k≤n)，位于這些行列交叉處的 $k^2$ 個元素梳猪，不改變它們在A中所處的相對位置而得到k階行列式麻削，稱為矩陣A的k階(主)子式蒸痹。注意：子式是一個行列式，也就是說它是一個具體的數(shù)值呛哟；
矩陣(主)子式與順序主子式：主子式/子式就是上面說的叠荠，取的行和列是沒有規(guī)律、隨便取的扫责；順序主子式：必須是從左上角往右下角取這樣變化：

圖1：各階順序主子式

矩陣A(任意形狀)的秩：矩陣A的最高階非0子式所對應(yīng)的階數(shù)r榛鼎，就是矩陣A的秩。秩可記做： $R(A)$ 鳖孤；范圍是： $0≤R(A)≤min\{m,n\}$ 者娱；
秩的深刻意義：
- 矩陣A(任意形狀)的初等變換、轉(zhuǎn)置不會改變矩陣的秩苏揣；
- 矩陣A做初等變換后得到的行階梯矩陣黄鳍，矩陣A的秩 = 行階梯矩陣非0行的行數(shù)！一般就是用行階梯來求秩的平匈；
秩在n元解線性方程組中的意義：不論正方形還是長方形方程組 $Ax=b$ 框沟，都可以用"秩"來判斷方程解的情況：

$Ax=b →\begin{cases} 無解 & R(A) < R(A,b) \\ 唯一解 & R(A) = R(A,b) = n \\ 無窮解 & R(A) = R(A,b) < n \end{cases}$

注意一點：長方形矩陣因為"方程個數(shù)"和"未知數(shù)個數(shù)"不相同，所以會導(dǎo)致上面3種解的情況出現(xiàn)增炭。

矩陣可逆判斷(充要條件3)：可逆矩陣的秩 = 階數(shù)忍燥，即為"滿秩矩陣"；

（3）特殊矩陣類：都是方陣

正交矩陣(n階方陣)：如果n階方陣A滿足下面式子隙姿，則稱方陣A為正交矩陣：

$A^TA = E \quad (A^{-1} = A^T)$

正交矩陣的2條性質(zhì)：
- 若A為正交陣梅垄，則 $A^{-1}$ 和 $A^{T}$ 都是正交矩陣(其實兩者相等)！并且正交矩陣的行列式為1输玷，即 $|A| = ±1$ 队丝；
- 兩個正交陣相乘，還是正交陣饲嗽；
方陣特征值：設(shè)A為n階方陣炭玫，如果數(shù) $\lambda$ 和n行非0列向量x滿足如下關(guān)系式，則稱數(shù) $\lambda$ 為矩陣A的一個"特征值(可以是復(fù)數(shù)結(jié)果)"貌虾，此時的列向量x稱為A對應(yīng)特征值 $\lambda$ 的"特征向量"：

$Ax = \lambda x \quad \leftrightharpoons \quad \color{red}{(A-\lambda E)x = 0}$

要想求解"特征值"吞加，就是求： $|A-\lambda E| = 0$ 這個1元n次方程；

方陣特征值的3條性質(zhì)：
- 所有特征值之和 = 矩陣A對角元素之和尽狠；
- 所有特征值乘積 = 矩陣A行列式的值衔憨；
- 若 $\lambda$ 是矩陣 $A$ 的特征值，則 $\lambda^k$ 是 $A^k$ 特征值袄膏， $\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 特征值践图；
矩陣可逆判斷(充要條件4)：n個特征值全 ≠ 0；
相似矩陣(2個n階方陣)：設(shè) $A$ 沉馆、 $B$ 都是n階方陣码党，若有可逆矩陣P德崭，使得 $A$ 和 $B$ 滿足如下關(guān)系，則稱矩陣 $A$ 與 $B$ 相似揖盘！可逆 $P$ 稱為把 $A$ 變成 $B$ 的"相似變換矩陣"：

$P^{-1}AP = B$

相似矩陣的2條性質(zhì)：
- 若 $A$ 與 $B$ 相似眉厨，則二者特征值相同；
- 矩陣 $A$ 的n個特征值做對角元素的對角陣 $D$ 兽狭，若想滿足 $P^{-1}AP = D$ 憾股，即矩陣 $A$ 可以對角化(與對角陣近似)，必須滿足：矩陣 $A$ 的n個特征值互不相同箕慧；
實對稱矩陣性質(zhì)：
- 一定可以對角化服球，對角陣元素為n個互不相等的特征值；
- $A$ 為n階方陣颠焦，則下面3個都是對稱陣：

$A + A^T \quad AA^T \quad \color{red}{A^TA}$

正定陣：特征值全為正的對稱陣斩熊；或：各階"順序主子式"都>0的對稱陣；
$\color{red}{正定矩陣一定是對稱陣蒸健！對稱正定陣 = 正定陣座享；}$
正定矩陣3條性質(zhì)：
- (對稱)正定陣特征值都是正數(shù)婉商；
- (對稱)正定陣主元都是正數(shù)似忧；
- $\color{red}{(對稱)正定陣主對角元素都 > 0}$ ；

（4）矩陣雜項類：

對角陣丈秩、上三角陣盯捌、下三角陣，行列式值都是對角元素乘積蘑秽；
嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣：每一行中對角元素的值的模 > 其余元素值的模之和饺著！即：

$|a_{ij}| > \sum_{j=1,j≠i}^{n}|a_{ij}| \quad (i = 1,2,3,\cdots,n)$

弱對角占優(yōu)矩陣：上面公式取 $≥$ 號；
嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的4條性質(zhì)：
- 若系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣肠牲，則關(guān)于它的線性代數(shù)方程組有解幼衰；
- 若系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則A為非奇異矩陣缀雳；
- 若系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣渡嚣，各階順序主子式必不為0；
- 若系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣肥印，雅克比迭代法识椰、高斯-賽德爾迭代法和0<ω≤1的超松弛迭代法均收斂。
共軛/Hermite矩陣：如果 $A(i,j) = A(j,i)$ 深碱，則稱矩陣為"對稱矩陣"腹鹉；如果 $A(i,j) = conj( A(j,i) )$ ，則稱矩陣為"共軛/Hermite矩陣"敷硅」χ洌可以看出兩者其實差別不大：實數(shù)域?qū)ΨQ矩陣與共軛矩陣是一回事愉阎。

$Rank(A,b) = 4 > Rank(A) = 3$

$E = \frac{1}{2}\parallel d_0 - d_1 \parallel ^ 2$

$E(v) = \sum_{x_s}$

$\begin{cases} E(v) = \sum_{x_s} \sum_{x_r} \sum_{t}[u_{cal}(t,x,x_s;v) - u_{obs}(t,x_r,x_s)] & \\ \end{cases}$

$x_s \quad x_r$

最后編輯于：2019.04.16 11:25:55

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