引言

偏微分方程跟常微分方程一樣，是數(shù)學(xué)家在研究物理問題時(shí)發(fā)明的，例如把位移看作以時(shí)間和距離為變量的函數(shù)，就得到了偏微分方程○蹋科學(xué)家考察了弦樂在空氣中的傳播，又處理了號(hào)角、管風(fēng)琴、鈴瓦阐、鼓等聲音蜗侈。用物理術(shù)語來說篷牌，空氣是一種可壓縮的流體（液體是不可壓縮的流體），流體動(dòng)力學(xué)研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及波在流體中的傳播踏幻，也使用了偏微分方程枷颊。

18世紀(jì)數(shù)學(xué)家繼續(xù)研究不同形狀的物體產(chǎn)生萬有引力的問題，雖然基本與三重積分有關(guān)，但拉普拉斯把它變?yōu)槠⒎址匠痰膯栴}夭苗。

波動(dòng)方程

歐拉1734年提出過特殊的偏微分方程信卡，但偏微分方程的價(jià)值首次體現(xiàn)在弦振動(dòng)問題。1746年達(dá)朗貝爾（1717-1783）提議證明無窮種曲線的振動(dòng)题造。上一章弦振動(dòng)的弦被看作連接n個(gè)等間隔載荷的柔軟彈性繩傍菇，為了處理連續(xù)弦，將載荷視作無窮個(gè)界赔，大小和質(zhì)量都減小丢习，使總質(zhì)量趨近弦質(zhì)量，當(dāng)時(shí)取極限存在數(shù)學(xué)上的問題淮悼，不過被大家忽略了咐低。上章中約翰伯努利按離散載荷處理弦振動(dòng)，得到了第i個(gè)載荷的位移袜腥。達(dá)朗貝爾引入時(shí)間t和距離x變量见擦，用Δx代替了l/n，得到了一維波動(dòng)方程羹令。因?yàn)橄覂啥斯潭ɡ鹇牛疑细鼽c(diǎn)初始速度為0，有邊界條件：y(t,0)=0,y(t,l)=0和初始條件：y(0,x)=f(x),t=0時(shí)δy(t,x)/δt=0特恬。他首先證明y(t,x)=1/2Φ(at+x)+1/2ψ(at-x)即偏微分方程的解是(at+x)函數(shù)與(at-x)函數(shù)之和执俩，代入邊界、初始癌刽、周期性條件役首，最后得到y(tǒng)(t,x)=1/2Φ(at+x)-1/2Φ(at-x)。

看了達(dá)朗貝爾的論文后显拜，歐拉沿用了他的方法研究弦振動(dòng)衡奥，但他認(rèn)為還可以有其他函數(shù)作為初始曲線/偏微分方程的解（比如隨手亂畫的曲線下方面積，現(xiàn)在認(rèn)為是有間斷導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)）远荠，曲線的定義就是Φ(x+2l)=Φ(x)矮固，在每個(gè)2l區(qū)間內(nèi)重復(fù)曲線到無窮遠(yuǎn)。1755年他給函數(shù)下了一個(gè)新定義：如果某些量依賴于其他量譬淳，當(dāng)后者改變時(shí)它發(fā)生變化档址，則稱前者為后者的函數(shù)×诎穑”取代了18世紀(jì)的標(biāo)準(zhǔn)看法：函數(shù)由單一的解析表達(dá)式給出守伸。歐拉認(rèn)為振動(dòng)弦不管咋動(dòng)都是關(guān)于時(shí)間的周期運(yùn)動(dòng)。

歐拉和達(dá)朗貝爾的分歧是：他允許一切種類的初始曲線浦妄，包括非分析解尼摹，而達(dá)朗貝爾只接受解析的初始曲線见芹。歐拉引入不連續(xù)函數(shù)時(shí)意識(shí)到前面大有可為，寫信給達(dá)朗貝爾稱：考慮不服從連續(xù)性（解析性）法則的函數(shù)蠢涝，開辟了一個(gè)新的領(lǐng)域玄呛。

丹尼爾伯努利（1700-1782）以另一種形式解答弦振動(dòng)問題，引發(fā)了另一場(chǎng)關(guān)于可允許解的討論和二。丹尼爾伯努利是約翰伯努利的兒子徘铝，在圣彼得堡當(dāng)過數(shù)學(xué)教授，在巴塞爾教過醫(yī)學(xué)惯吕、形而上學(xué)和自然哲學(xué)庭砍。他主攻流體動(dòng)力學(xué)和彈性力學(xué)，1760年他還通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了靜電荷的引力規(guī)律（即庫侖定律）混埠。上章提到丹尼爾研究聲音振動(dòng)模式怠缸，從物理上說明基因和高次諧音能同時(shí)存在（小諧振共存），他看了達(dá)朗貝爾和歐拉的論文后再次斷言振動(dòng)弦的各種模式能同時(shí)共存钳宪，說這就是歐拉和達(dá)朗貝爾抽象理論的實(shí)際內(nèi)容揭北，此外他認(rèn)為任何初始曲線可表示為，即弦上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是正弦周期的和吏颖，但他未從數(shù)學(xué)上證明搔体。

歐拉反駁說咋會(huì)呢，除非正弦級(jí)數(shù)能表示所有函數(shù)半醉，咱這初始曲線不需要連續(xù)性疚俱，也不需要什么解析式。歐拉還說麥克勞林級(jí)數(shù)不能表示為任意函數(shù)缩多，所以無窮正弦級(jí)數(shù)也不能表示為任意函數(shù)呆奕，伯努利說的三角級(jí)數(shù)是特解，這個(gè)他老早求過了衬吆。達(dá)朗貝爾不同意伯努利也不同意歐拉梁钾，他認(rèn)為函數(shù)必須二次可微。仨人吵了十年沒統(tǒng)一意見逊抡，因?yàn)閱栴}實(shí)質(zhì)是能用傅里葉級(jí)數(shù)表示的函數(shù)范圍（傅里葉：再等下我馬上出生了）姆泻。

1759年拉格朗日加入爭(zhēng)論，他批評(píng)歐拉的方法冒嫡，但贊同初始曲線是任意的拇勃，經(jīng)過了一系列奇怪的步驟后他成功地錯(cuò)過了發(fā)現(xiàn)傅里葉級(jí)數(shù)，然后得到了跟歐拉孝凌、達(dá)朗貝爾一致的結(jié)論（就是說沒啥意義）方咆。歐拉和達(dá)朗貝爾批評(píng)拉格朗日的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)（那不然呢，你們結(jié)論不是一致的嗎）胎许，不過歐拉還是鼓勵(lì)了拉格朗日的技巧峻呛。1779年拉普拉斯加入爭(zhēng)論，支持了達(dá)朗貝爾辜窑。因?yàn)榇蠹业恼摀?jù)都不完全正確钩述，所以沒啥說服力。

在這個(gè)問題上最奇怪的一點(diǎn)是：當(dāng)時(shí)這些人都知道非周期函數(shù)在一定周期內(nèi)能表示成三角級(jí)數(shù)穆碎，克萊羅牙勘、歐拉、丹尼爾都發(fā)表過求三角級(jí)數(shù)系數(shù)的公式所禀，歐拉方面、達(dá)朗貝爾、拉格朗日離傅里葉級(jí)數(shù)就差臨門一腳了色徘，不知為啥很自然地繞開了正確答案恭金。

當(dāng)時(shí)還有個(gè)問題：對(duì)常微分來說如果系數(shù)解析，解也是解析的褂策，但對(duì)偏微分方程横腿，系數(shù)解析能有非解析解。雖然歐拉正確指出具有角點(diǎn)的解是允許的斤寂，但很久以后才確定偏微分方程的解可允許的奇性耿焊。