大物十四講張?jiān)茞?庫(kù)侖

靜電場(chǎng)庫(kù)倫定律

知識(shí)點(diǎn)

庫(kù)侖力: $F=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^2}$
電勢(shì)能： $E_{p庫(kù)}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q_{1}Q_{2}}{r}(Q_{1}Q_{2}有正有負(fù)）$
場(chǎng)強(qiáng)： $\vec{E}=\frac{\vec{F_庫(kù)}}{q}$
電場(chǎng)和電勢(shì)分別描述的什么眯亦？
電量為Q的點(diǎn)電荷(場(chǎng)源電荷)，在距離它為 $r$ 的場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)（場(chǎng)強(qiáng)）和電勢(shì)分別為般码？
$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q}{r^2}\vec{e_r}(方向：正電荷射出妻率，負(fù)電荷射回)$ ， $V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q}{r}標(biāo)量$
電場(chǎng)和電勢(shì)遵守何種疊加原理板祝？
電場(chǎng)：矢量疊加宫静，電勢(shì)：標(biāo)量疊加

表達(dá)題

電量分別為 $Q_{1}=1$ 和 $Q_{2}=2$ 的點(diǎn)電荷(場(chǎng)源電荷)，相距為 $d=2r=2?$ 券时，則其連線中點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)和電勢(shì)分別為

解答： $電勢(shì)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q_1}{r}+\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q_2}{r}$
取右為正孤里， $場(chǎng)強(qiáng)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q_2}{r^2}-\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q_1}{r^2}$

電量分別為 $Q_{1}=Q_{2}=1$ 和 $Q_{3}=Q_{4}=-1$ 的四個(gè)點(diǎn)電荷，分別位于正方形(邊長(zhǎng) $d=\sqrt{2}$ )的四個(gè)頂點(diǎn)上橘洞。則其中心點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)和電勢(shì)分別為
電量分別為 $Q_{1}=Q_{3}=1$ 和 $Q_{2}=Q_{4}=-1$ 的四個(gè)點(diǎn)電荷捌袜，分別位于正方形(邊長(zhǎng) $d=\sqrt{2}$ )的四個(gè)頂點(diǎn)上。則其中心點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)和電勢(shì)分別為

提示：電勢(shì)都為0炸枣，電場(chǎng)可能為0

電場(chǎng)的兩種情況.jpg

一個(gè)電量為 $dq$ 的點(diǎn)電荷虏等，在距離它為 $r$ 的場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)和電勢(shì)為

解答：
電場(chǎng)： $E=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q}{r^2},電勢(shì):V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q}{r}$

均勻帶電的圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分別為()

解答：
場(chǎng)強(qiáng)為0弄唧，電勢(shì)： $V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.\frac{Q}{r}$

物理強(qiáng)調(diào)建模。如圖霍衫，求均勻帶電的細(xì)棒在場(chǎng)點(diǎn)P處的電場(chǎng)和電勢(shì)候引，微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，則微元公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答：

6

如圖敦跌，求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)在場(chǎng)點(diǎn)O處的電場(chǎng)和電勢(shì)澄干，經(jīng)常把微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段，則公式中的 $dq$ 為

解答：

7

積分法求場(chǎng)強(qiáng)柠傍，經(jīng)常需要定性分析合場(chǎng)強(qiáng)的方向麸俘。如圖，均勻“帶負(fù)電”的細(xì)棒在場(chǎng)點(diǎn) $M$ 點(diǎn)和 $N$ 點(diǎn)的電場(chǎng)方向分別為

解答：

8

M點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)水平向左惧笛，N點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)豎直向上

如圖疾掰，均勻帶異號(hào)電的半圓細(xì)環(huán)在圓心O點(diǎn)的電場(chǎng)方向?yàn)?/li>

解答：

9

$O點(diǎn)水平向右，O^,水平向左$

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電場(chǎng) $\vec{E}$ 的思路是：

(a)考慮帶電體的對(duì)稱性徐紧，分析出合場(chǎng)的方向静檬，記為 $\vec{e}$ ；
(b)取合適的電荷微元 $dq$ 并级，找到該微元到場(chǎng)點(diǎn)的距離 $r$ 拂檩，
(c) 借助點(diǎn)電荷公式，寫出微元在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)大小 $dE$ 嘲碧，進(jìn)而寫出 $dE$ 在合場(chǎng)方向 $\vec{e}$ 上的投影 $dE_{x}=dE\cdot\cos\theta$ 稻励。
(d)計(jì)算定積分。
現(xiàn)在求均勻帶電的細(xì)棒( $Q,L$ )在場(chǎng)點(diǎn)P處的電場(chǎng)愈涩，讓我們按照以上四個(gè)步驟研究該問(wèn)題望抽。
第一步，定性分析出該場(chǎng)點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)的方向履婉，可能的結(jié)果為
(1) $\vec{e}_{x}$
(2) $\vec{e}_{y}$
第二步以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸煤篙。微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為
(3) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ 毁腿， $r=\sqrt{h^{2}+x^{2}}$
(4) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ 辑奈， $r=\sqrt{h^{2}+4x^{2}}$
第三步分析該微元的場(chǎng)強(qiáng) $dE$ ，以及 $dE$ 在合場(chǎng)方向 $\vec{e}$ 上的投影已烤，可能的結(jié)果為
(5) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(6) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$
第四步鸠窗，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中，計(jì)算定積分胯究，有如下列法
(7) $\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(8) $\int_{0}^{L}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$
則正確的方程組是( )

解答：1稍计，3，5裕循，7

現(xiàn)在求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的電場(chǎng)臣嚣，讓我們按照以上四個(gè)步驟研究該問(wèn)題净刮。
第一步，定性分析出該場(chǎng)點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)的方向茧球，可能的結(jié)果為

解答：水平向右

第二步庭瑰，微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圓弧星持，則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答： $dq=\frac{Q}{\pi}d\theta,r=R$

第三步分析該微元的場(chǎng)強(qiáng) $dE$ 抢埋，以及 $dE$ 在合場(chǎng)方向 $\vec{e}$ 上的投影，可能的結(jié)果為

解答： $\int{dE_x}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{dq}{r^2}d\theta\sin\theta$

第四步督暂，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中揪垄，計(jì)算定積分，有如下列法

解答： $\int{dE_x}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\frac{Q}{\pi}}{R^2}d\theta\sin\theta$

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電勢(shì) $V$ 的思路更簡(jiǎn)單逻翁，因?yàn)殡妱?shì)是標(biāo)量疊加原理饥努。其基本思路是，
(a)取合適的電荷微元 $dq$ 八回，找到該微元到場(chǎng)點(diǎn)的距離 $r$ 酷愧，
(b)借助點(diǎn)電荷公式，寫出微元在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì) $dV$ 缠诅，
(c)計(jì)算定積分溶浴。
現(xiàn)在求均勻帶電的半圓細(xì)環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的電勢(shì)
第一步，微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圓弧管引。則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為
(1) $dq=\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta$ 士败， $r=R$
(2) $dq=\frac{Q}{R\pi}\cdot d\theta$ ， $r=R$
第二步寫出該微元在該點(diǎn)的電勢(shì) $dV$ 褥伴，可能的結(jié)果為
(3) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(4) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}\cdot\sin\theta$
第三步谅将，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中，計(jì)算定積分重慢，有如下列法
(5) $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(6) $\int_{0}^{\pi R}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\sin\theta$
則正確的方程組是( )

解答：1饥臂，3，5

細(xì)棒或細(xì)環(huán)帶電體求電勢(shì) $V$ 的思路更簡(jiǎn)單似踱，因?yàn)殡妱?shì)是標(biāo)量疊加原理擅笔。現(xiàn)在求均勻帶電的細(xì)棒( $Q,L$ )在中心 $O$ 處的電勢(shì)。
第一步屯援，微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段圓弧猛们，則 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答： $dq=\frac{dx}{L}Q,r=x$

第二步寫出該微元在該點(diǎn)的電勢(shì) $dV$ ，

解答： $V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{dq}{r}$

第三步狞洋，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達(dá)式中弯淘，計(jì)算定積分

解答： $\int^{-x}_x\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{dxQ}{xL}$

最后編輯于：2019.04.07 21:20:00

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