普通最小二乘法推導(dǎo)

OLS(普通最小二乘估計(jì))

簡(jiǎn)單回歸模型的參數(shù)估計(jì),對(duì)于具體的樣本數(shù)據(jù),假設(shè)滿(mǎn)足:
$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+u_i$
假設(shè)條件的數(shù)學(xué)表示
$\begin{cases} E(u)=0................................................................(i)\\ Cov(x,u)=E(xu)-E(x)E(u)=E(xu)=0........(ii)\\ \end{cases}$
對(duì)于殘差項(xiàng)
$u_i=y_i-\beta_0-\beta_1x_i$
代入(i),(ii)
$\begin{cases} E(y-\beta_0-\beta_1x)=0\\ E[x(y-\beta_0-\beta_1x)]=0\\ \end{cases}$
選擇估計(jì)量 $\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}$ 解決上述方程的樣本問(wèn)題
$\begin{cases} n^{-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x)=0\\ n^{-1}\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\beta_0-\beta_1x)=0\\ \end{cases}$
上一式等價(jià)于 $\bar{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}\bar{x}$ ,則 $\hat{\beta_0}=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}$ ,代回上式,得:
$\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-(\bar{y}-\hat{\beta_1\bar{x}})-\hat{\beta_1}x_i)=0$
調(diào)整后,
$\begin{cases} \sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\bar{y})=\hat{\beta_1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})\\ \sum_{i=1}^{n}x_i(x_i-\bar{x})=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\\ \sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\bar{y})=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \end{cases}$
因此,只要有 $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2>0$ ,估計(jì)的斜率為
$\beta_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
由此, $\beta_0$ 也可以求

OLS回歸線(xiàn)

使用估計(jì)的斜率參數(shù)和截距參數(shù),構(gòu)建殘差的平方和,并使其盡量小 (最小二乘法的由來(lái))

OLS回歸線(xiàn)==(樣本回歸函數(shù)SRF)==
$\bar{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}\bar{x}$

最后編輯于：2019.02.21 22:04:10

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