有符號(hào)數(shù)的主要用途是表示負(fù)數(shù)代虾。

在某些語言里數(shù)值類型可標(biāo)志為有符號(hào)或無符號(hào)进肯，如 c 語言的整數(shù)類型 int 默認(rèn)是有符號(hào)，加上 unsigned 就是無符號(hào)棉磨。

有符號(hào)表達(dá)方式里將最高位 MSB 用作符號(hào)位江掩，因此對(duì)于位數(shù)為32的有符號(hào)數(shù)能表示的非負(fù)整數(shù)范圍為

比無符號(hào)中的

目前主導(dǎo)的表達(dá)方式為更先進(jìn)的 two's complement乘瓤，只有很老的系統(tǒng)還在使用 ones' complement 或者 sign-magnitude 环形，以下會(huì)對(duì)它們進(jìn)行描述和比較。

sign-magnitude

sign-magnitude 正如其名把位數(shù)分為 sign 和 magnitude 部分衙傀。
最高位作為 sign 表示符號(hào)抬吟，其余位作為 magnitude 表示數(shù)值。
這種表達(dá)方式對(duì)人來說最容易理解统抬，例如

但這種表達(dá)方式有2個(gè)缺點(diǎn)

• 對(duì)于0來說有2種表達(dá)方式：+0和-0
• cpu需要額外的減法部件進(jìn)行減法運(yùn)算

ones' complement

ones' complement 表達(dá)方式中負(fù)數(shù)的表達(dá)通過對(duì)相應(yīng)正數(shù)進(jìn)行取反位操作（包括符號(hào)位）取得火本，可對(duì)比以下 127 與 -127 的表達(dá)方式。
反過來聪建，對(duì)負(fù)數(shù)的表達(dá)取反可取得相應(yīng)正數(shù)的表達(dá)钙畔。

它不像 sign-magnitude 需要額外減法部件來進(jìn)行減法運(yùn)算，它的減法實(shí)際上也是加法金麸，只是遇到超過最高位進(jìn)位時(shí)需要進(jìn)行 end-around carry 將進(jìn)位的1加回上去才能得到正確的結(jié)果擎析，例如
?1 1111 1110 與 +2 0000 0010 相加

      binary    decimal
    11111110     ?1
 +  00000010     +2
............      …
  1 00000000      0   ← 不是正確的結(jié)果
           1     +1   ← 加上進(jìn)位
............      …
    00000001      1   ← 正確的結(jié)果

有趣的一點(diǎn)是 sign-magnitude 和 ones' complement 的負(fù)數(shù)表達(dá)形式可以通過對(duì)除符號(hào)位外的位取反相互獲得。
例如 -127 在 sign-magnitude 和 ones' complement 中分別是 1111 1111 和 1000 0000钱骂。

它的可表達(dá)范圍與 sign-magnitude 相同叔锐。

但它還是存在 sign-magnitude 中另一個(gè)缺點(diǎn)

• 對(duì)于0來說有2種表達(dá)方式：+0和-0

two's complement

對(duì)two's complement 表達(dá)方式來說挪鹏，以上2種表達(dá)方式的缺點(diǎn)都不復(fù)存在。
負(fù)數(shù)表達(dá)的獲得步驟是

1. 對(duì)相應(yīng)正數(shù)（包括符號(hào)位）取反。
2. 加一

對(duì)于0只有一種表達(dá)

two's complement 的設(shè)計(jì)讓它對(duì)于0只有一種表達(dá)方式 0000 0000页徐，因此比 sign-magnitude 和 ones' complement 都多出一個(gè) binary code愈案，能多表示一個(gè)負(fù)數(shù)。

因此 two's complement 的表達(dá)范圍從

加法和減法

與 ones' complement 一樣返顺，它不需要額外的減法部件進(jìn)行減法運(yùn)算禀苦，更優(yōu)勝的是它不需要 end-around carry 就可以獲得正確結(jié)果蔓肯。
如 -1 1111 1111 與 +2 0000 0010 相加

      binary    decimal
    11111111     ?1
 +  00000010     +2
............      …
  1 00000001      1   ← 最高位進(jìn)位直接舍棄
............      …
    00000001      1   ← 正確的結(jié)果

名字由來

至于為什么叫作 two's complement 呢，因?yàn)楂@得負(fù)數(shù)的表達(dá)除了以上提到的方法外振乏，還有另一種能體現(xiàn)這個(gè)名字的方法蔗包。
假設(shè)位數(shù)為 n 的正數(shù) x，那負(fù)數(shù) -x 的表達(dá)就是 x 的 2的n次冪 的補(bǔ)集