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1猜极、反函數(shù)

1.1 定義

一般地秋秤，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C拖刃，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x址貌，這樣的函數(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)铐拐，記作y=f^(-1)(x) 徘键。反函數(shù)y=f ^(-1)(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域遍蟋、定義域吹害。最具有代表性的反函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。

一般地虚青，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f（x）相對(duì)應(yīng)它呀，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為x=f(y)或者y=f﹣1（x）棒厘。存在反函數(shù)(默認(rèn)為單值函數(shù)）的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的（不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的）纵穿。注意：上標(biāo)"?1"指的并不是冪。

1.2 反函數(shù)的性質(zhì)

（1）函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)f-1(x)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱奢人；

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的[充要條件]是谓媒，函數(shù)的[定義域]與[值域]是[一一映射；

（3）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)[區(qū)間]上[單調(diào)性]一致何乎；

（4）大部分[偶函數(shù)]不存在反函數(shù)（當(dāng)函數(shù)y=f(x)句惯， 定義域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常數(shù)），則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且有反函數(shù)支救，其反函數(shù)的定義域是{C}抢野，值域?yàn)閧0} ）。[奇函數(shù)]不一定存在反函數(shù)各墨，被與y軸垂直的直線截時(shí)能過(guò)2個(gè)及以上點(diǎn)即沒(méi)有反函數(shù)指孤。若一個(gè)[奇函數(shù)]存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)贬堵。

（5）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性邓厕；

（6）嚴(yán)增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)；

（7）反函數(shù)是相互的且具有唯一性扁瓢；

（8）[定義域]、[值域]相反對(duì)應(yīng)法則互逆（三反）补君；

（9）反函數(shù)的[導(dǎo)數(shù)]關(guān)系：如果x=f(y)在開(kāi)區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)引几，可導(dǎo)，且f'(y)≠0挽铁，那么它的反函數(shù)y=f^-1(x)在區(qū)間S={x|x=f(y),y∈I }內(nèi)也可導(dǎo)伟桅，且：

（10）y=x的反函數(shù)是它本身

1.3 畫圖直觀理解

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2、基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)叽掘、指數(shù)函數(shù)楣铁、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)更扁、反三角函數(shù)和常數(shù)函數(shù)盖腕。

2.1 冪函數(shù)

2.1.1 定義

一般地.形如y=x^α(α為有理數(shù)）的函數(shù)赫冬，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量溃列，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)劲厌。例如函數(shù)y=x⁰、y=x¹听隐、y=x²补鼻、y=x^-1（注：y=x^-1=1/x y=x⁰時(shí)x≠0）等都是冪函數(shù)。

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2.1.2 性質(zhì)

冪函數(shù)的圖象一定在第一象限內(nèi)雅任，一定不在第四象限风范，至于是否在第二、三象限內(nèi)沪么，要看函數(shù)的奇偶性硼婿；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交成玫，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．

正值性質(zhì)

當(dāng)α>0時(shí)加酵，冪函數(shù)y=x^α有下列性質(zhì)：

a、圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）(0,0）哭当；

b猪腕、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)；

c钦勘、在第一象限內(nèi)陋葡，α>1時(shí)，導(dǎo)數(shù)值逐漸增大彻采；α=1時(shí)腐缤，導(dǎo)數(shù)為常數(shù)；0<α<1時(shí)肛响，導(dǎo)數(shù)值逐漸減小岭粤，趨近于0；

負(fù)值性質(zhì)

當(dāng)α<0時(shí)特笋，冪函數(shù)y=x^α有下列性質(zhì)：

a剃浇、圖像都通過(guò)點(diǎn)（1,1）；

b猎物、圖像在區(qū)間（0虎囚，+∞）上是減函數(shù)；（內(nèi)容補(bǔ)充：若為X^-2蔫磨，易得到其為偶函數(shù)淘讥。利用對(duì)稱性，對(duì)稱軸是y軸堤如，可得其圖像在區(qū)間（-∞蒲列，0）上單調(diào)遞增窒朋。其余偶函數(shù)亦是如此）

c、在第一象限內(nèi)嫉嘀，有兩條漸近線（即坐標(biāo)軸）炼邀，自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞剪侮，自變量趨近+∞拭宁，函數(shù)值趨近0。

零值性質(zhì)

當(dāng)α=0時(shí)瓣俯，冪函數(shù)y=x^a有下列性質(zhì)：

a杰标、y=x⁰的圖像是直線y=1去掉一點(diǎn)（0,1）。它的圖像不是直線彩匕。

2.2 指數(shù)函數(shù)

2.2.1 定義

一般地腔剂，y=a^x函數(shù)(a為常數(shù)且以a>0，a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)驼仪，函數(shù)的定義域是 R 掸犬。對(duì)于一切指數(shù)函數(shù)來(lái)講，值域?yàn)?0绪爸， +∞)湾碎。

2.2.2 數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)

指數(shù)函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)。應(yīng)用到值e上的這個(gè)函數(shù)寫為exp(x)奠货。還可以等價(jià)的寫為e^x介褥，這里的e是數(shù)學(xué)常數(shù)，就是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)递惋，近似等于 2.718281828柔滔，還稱為歐拉數(shù)。

2.2.3 基本性質(zhì)

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2.2.4 重要的運(yùn)算法則

①

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②

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③

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④

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2.2.5 對(duì)指數(shù)e的理解參考文章

http://blog.jobbole.com/86604/

2.3 對(duì)數(shù)函數(shù)

2.3.1 定義

一般地萍虽，對(duì)數(shù)函數(shù)以冪（真數(shù)）為自變量睛廊，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)杉编。

對(duì)數(shù)函數(shù)是6類基本初等函數(shù)之一喉前。其中對(duì)數(shù)的定義：

如果a^x=N（a>0，且a≠1）王财，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log_aN裕便，讀作以a為底N的對(duì)數(shù)佑稠，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)朗若，N叫做真數(shù)。

一般地耻警，函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)阱冶，也就是說(shuō)以冪（真數(shù)）為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)宝当，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。

其中x是自變量胆萧，函數(shù)的定義域是（0庆揩，+∞），即x>0跌穗。它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)订晌，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定蚌吸，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)锈拨。

2.3.2 圖像理解

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2.3.3 公式換算

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2.3.4 公式推導(dǎo)

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2.4 三角函數(shù)

2.4.1 定義

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2.4.2 公式換算

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2.4.3 函數(shù)圖象

正弦函數(shù)：y=sin x
對(duì)稱軸：x=kπ+π/2(k∈Z)
對(duì)稱中心：(kπ,0)(k∈Z)

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余弦函數(shù)：y=cos x
對(duì)稱軸：x=kπ(k∈Z)
對(duì)稱中心：kπ+π/2,0)(k∈Z)

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正切函數(shù)：y=tan x
對(duì)稱軸：無(wú)
對(duì)稱中心：(kπ/2+π/2,0)(k∈Z)

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余切函數(shù)：y=cot x
對(duì)稱軸：無(wú)
對(duì)稱中心：(kπ/2,0)(k∈Z)

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正割函數(shù)：y=sec x
對(duì)稱軸：x=kπ(k∈Z)
對(duì)稱中心：(kπ+π/2,0)(k∈Z)

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余割函數(shù)：y=csc x
對(duì)稱軸：x=kπ+π/2(k∈Z)
對(duì)稱中心：(kπ,0)(k∈Z)

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2.5 反三角函數(shù)

2.5.1 定義

反三角函數(shù)是一種基本初等函數(shù)。它是反正弦arcsin x羹唠，反余弦arccos x奕枢，反正切arctan x，反余切arccot x佩微，反正割arcsec x缝彬，反余割arccsc x這些函數(shù)的統(tǒng)稱，各自表示其反正弦喊衫、反余弦跌造、反正切、反余切 族购，反正割壳贪，反余割為x的角。

它并不能狹義的理解為三角函數(shù)的反函數(shù)寝杖，是個(gè)多值函數(shù)违施。三角函數(shù)的反函數(shù)不是單值函數(shù)，因?yàn)樗⒉粷M足一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值的要求瑟幕，其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù) y=x 對(duì)稱磕蒲。歐拉提出反三角函數(shù)的概念，并且首先使用了“arc+函數(shù)名”的形式表示反三角函數(shù)只盹。

2.5.2 分類

為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)辣往，將反正弦函數(shù)的值y限在-π/2≤y≤π/2，將y作為反正弦函數(shù)的主值殖卑，記為y=arcsin x站削；相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0≤y≤π孵稽；反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2许起；反余切函數(shù)y=arccot x的主值限在0<y<π十偶。

反正弦函數(shù)

正弦函數(shù)y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函數(shù)园细，叫做反正弦函數(shù)惦积。記作arcsinx，表示一個(gè)正弦值為x的角猛频，該角的范圍在[-π/2狮崩，π/2]區(qū)間內(nèi)。定義域[-1伦乔，1] 厉亏，值域[-π/2，π/2]烈和。^[1]

反余弦函數(shù)

綠的為y=arccos(x) 紅的為y=arcsin(x)

余弦函數(shù)y=cos x在[0爱只，π]上的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)招刹。記作arccosx恬试，表示一個(gè)余弦值為x的角，該角的范圍在[0疯暑，π]區(qū)間內(nèi)训柴。定義域[-1，1] 妇拯， 值域[0幻馁，π]。^[1]

反正切函數(shù)

正切函數(shù)y=tan x在(-π/2越锈，π/2)上的反函數(shù)仗嗦，叫做反正切函數(shù)。記作arctanx甘凭，表示一個(gè)正切值為x的角稀拐，該角的范圍在（-π/2，π/2）區(qū)間內(nèi)丹弱。定義域R德撬，值域（-π/2，π/2）躲胳。^[1]

反余切函數(shù)

余切函數(shù)y=cot x在（0蜓洪，π）上的反函數(shù)，叫做反余切函數(shù)坯苹。記作arccotx

綠的為y=arccot(x) 紅的為y=arctan(x)

隆檀，表示一個(gè)余切值為x的角，該角的范圍在（0，π）區(qū)間內(nèi)刚操。定義域R，值域（0再芋，π）菊霜。^[1]

反正割函數(shù)

正割函數(shù)y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函數(shù)，叫做反正割函數(shù)济赎。記作arcsecx鉴逞，表示一個(gè)正割值為x的角，該角的范圍在[0,π/2)U(π/2,π]區(qū)間內(nèi)司训。定義域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]构捡。^[1]

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反余割函數(shù)

余割函數(shù)y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函數(shù)，叫做反余割函數(shù)壳猜。記作arccscx勾徽，表示一個(gè)余割值為x的角，該角的范圍在[-π/2,0)U(0,π/2]區(qū)間內(nèi)统扳。定義域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]喘帚。^[1]

2.5.3常用的關(guān)系公式

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2.6 常數(shù)函數(shù)

2.6.1 定義

在數(shù)學(xué)中，常數(shù)函數(shù)（也稱常值函數(shù)）是指值不發(fā)生改變（即是常數(shù)）的函數(shù)咒钟。例如吹由，我們有函數(shù)f(x)=4，因?yàn)?em>f映射任意的值到4朱嘴，因此f是一個(gè)常數(shù)倾鲫。更一般地，對(duì)一個(gè)函數(shù)f: A→B萍嬉，如果對(duì)A內(nèi)所有的x和y乌昔，都有f(x)=f(y)，那么帚湘，f是一個(gè)常數(shù)函數(shù)