[機(jī)器學(xué)習(xí)]-邏輯回歸-原理及代碼實(shí)現(xiàn)(含數(shù)據(jù))

提出問題

二分類問題

圖像的寬x磕昼，高y譬重，根據(jù)x和y的大小医窿，將圖像分為橫向圖片和縱向圖片

寬x	高y	形狀label
80	150	縱向
60	110	縱向
35	130	縱向
160	50	橫向
160	20	橫向
125	30	橫向

邏輯回歸-概率分類

sigmoid函數(shù)

sigmoid函數(shù)的由來

幾率：事件發(fā)生的概率除以未發(fā)生的概率 仰担，設(shè)p為事件發(fā)生的概率，則(1-p)為事件未發(fā)生的概率玷氏。此時(shí)：

$odds =\frac{p}{1-p}$

定義域： $p\in[0,1]$ 堵未；值域： $odds\in[0,+\infty)$

將上式取對(duì)數(shù)，可以將其擴(kuò)展到實(shí)數(shù)空間 盏触，就是logit函數(shù) ：

$logit(p) = log_e(odds)=log_e(\frac{p}{1-p})$

定義域： $p\in(0,1)$ 渗蟹；值域： $logit(p)\in(-\infty,+\infty)$

由于logit函數(shù)和線性回歸模型在同一取值范圍內(nèi)，因此赞辩，可以用線性回歸模型來表示logit函數(shù)：

$logit(p)=\theta_1x_1+\theta_2x_2+bias$

令

$\theta_1x_1+\theta_2x_2+bias=z$

則：

$logit(p)=log_e(\frac{p}{1-p})=z$

對(duì)上式等號(hào)兩邊取e：

$\frac{p}{1-p}=e^z\\ p=(1-p)e^z=e^z-pe^z \\ p = \frac{e^z}{1+e^z}=\frac{1}{1+e^{-z}}$

至此雌芽，得到了sigmod函數(shù)，用來將線性回歸模型 輸出的實(shí)數(shù)空間取值映射成為概率 辨嗽。

sigmoid函數(shù)的一般表達(dá)式如下：

$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

sigmoid函數(shù)圖像

sigmoid

sigmoid函數(shù)性質(zhì)
定義域： $(- \infty, + \infty)$
值域： $(0, 1)$
$z=0, g(z)=0.5$
$z<0, g(z)<0.5$
$z>0, g(z)>0.5$

sigmoid導(dǎo)數(shù)性質(zhì)
$g^{'}=g(1-g)$

sigmoid函數(shù)的優(yōu)勢(shì)：
????1. 引入了非線性映射世落，將線性回歸 $(- \infty, + \infty)$ 的值域映射到(0, 1)之間，符合概率值區(qū)間[0, 1]
????2. 大于0.5表示陽性糟需，小于0.5表示陰性屉佳，有助于直觀地做出預(yù)測(cè)類型的判斷
????3. 數(shù)學(xué)特性好谷朝，便于求導(dǎo)

借助sigmoid函數(shù)，生成邏輯回歸模型表達(dá)式 為：

$f_{\theta}(x)=g(\theta^Tx)=\frac{1}{1+exp(-\theta^Tx)}$

其中：

$\theta^Tx=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3+\cdots+\theta_nx_n$

該式表現(xiàn)為多元線性回歸（含有n個(gè)參數(shù)）的模式武花。這也是邏輯回歸中圆凰，回歸二字的來源。

因?yàn)?/strong> $0<f_\theta(x)<1$ 体箕，因此专钉，上式可以作為概率來使用。

圖像大小	形狀label	$x_1$	$x_2$	$y$	概率
80 x 150	縱向	80	150	0	期待 $P(y=0\|\vec{x})$ 最大
60 x 110	縱向	60	110	0	期待 $P(y=0\|\vec{x})$ 最大
35 x 130	縱向	35	130	0	期待 $P(y=0\|\vec{x})$ 最大
160 x 50	橫向	160	50	1	期待 $P(y=1\|\vec{x})$ 最大
160 x 20	橫向	160	20	1	期待 $P(y=1\|\vec{x})$ 最大
125 x 30	橫向	125	30	1	期待 $P(y=1\|\vec{x})$ 最大

決策邊界

定義概率計(jì)算式為：

$\begin{aligned} P(y=1|\vec{x}) &=f_\theta(\vec{x})\\ P(y=0|\vec{x}) &=1-f_\theta(\vec{x}) \end{aligned}$

該式含義：已知 $\vec{x}$ 數(shù)據(jù)的條件下累铅， $y=1$ 的概率為 $f_\theta(\vec{x})$ 驶沼。假設(shè)計(jì)算得到 $f_\theta(\vec{x})=0.8$ ，則說明數(shù)據(jù) $\vec{x}$ 對(duì)應(yīng)的類別 $y$ 是 $1$ 的概率為0.8

分類標(biāo)準(zhǔn)如下：（1:橫向争群；0:縱向）

$y=\begin{cases} 1\quad&(f_\theta(\vec{x})\ge0.5)\\ 0\quad&(f_\theta(\vec{x})<0.5) \end{cases}$

根據(jù)邏輯回歸模型表達(dá)式的定義，上式可改寫為

$y=\begin{cases} 1\quad&(\theta^Tx\ge0)\\ 0\quad&(\theta^Tx<0) \end{cases}$

將分類條件改為這種寫法的意義在于： $\theta^Tx=0$ 將作為分類邊界 大年，實(shí)現(xiàn)二分類的目的换薄。

決策邊界：用于數(shù)據(jù)分類的直線稱為決策邊界。上述討論中的 $\theta^Tx=0$ 就是邏輯回歸模型的決策邊界翔试。

為了獲得合理的決策邊界轻要，即求得正確的參數(shù) $\vec\theta$ ，需要定義目標(biāo)函數(shù) 垦缅，進(jìn)行微分冲泥，獲得參數(shù)更新表達(dá)式 ，然后利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)壁涎，不斷更新 $\vec\theta$ 來得到正確的決策邊界凡恍。該過程即為邏輯回歸模型。

似然函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))

按照前述分析：

當(dāng)y=1時(shí)怔球，我們希望概率 $P(y=1|\vec{x})$ 是最大的

當(dāng)y=0時(shí)嚼酝，我們希望概率 $P(y=0|\vec{x})$ 是最大的

對(duì)于全部示例數(shù)據(jù)，有如下信息：

圖像大小形狀label $x_1$ $x_2$ $y$ 概率

80 x 150 縱向 80 150 0 期待 $P(y=0|\vec{x})$ 最大

60 x 110 縱向 60 110 0 期待 $P(y=0|\vec{x})$ 最大

35 x 130 縱向 35 130 0 期待 $P(y=0|\vec{x})$ 最大

160 x 50 橫向 160 50 1 期待 $P(y=1|\vec{x})$ 最大

160 x 20 橫向 160 20 1 期待 $P(y=1|\vec{x})$ 最大

125 x 30 橫向 125 30 1 期待 $P(y=1|\vec{x})$ 最大

假定所有的訓(xùn)練數(shù)據(jù)都互不影響竟坛、獨(dú)立發(fā)生闽巩。這樣的話，整體的概率可用下面的聯(lián)合概率來表示：

$L(\vec\theta)=P(y^{(1)}=0|\vec{x}^{(1)})\cdot P(y^{(2)}=0|\vec{x}^{(2)})\cdot P(y^{(3)}=0|\vec{x}^{(3)})\cdot P(y^{(4)}=1|\vec{x}^{(4)})\cdot P(y^{(5)}=1|\vec{x}^{(5)})\cdot P(y^{(6)}=1|\vec{x}^{(6)})$

更一般化的寫法如下：

$L(\vec\theta)=\prod_{i=1}^{m}P(y^{(i)}=1|\vec{x}^{(i)})^{y^{(i)}}\cdot P(y^{(i)}=0|\vec{x}^{(i)})^{1-y^{(i)}}\tag{1}$

關(guān)鍵點(diǎn)：這個(gè)表達(dá)式利用了任何數(shù)的0次方都是1的特性担汤。結(jié)合二分類的類別分別取0和1涎跨，得到所有樣本概率乘積的統(tǒng)一表達(dá)式。

$m$ ：表示共有m個(gè)樣本崭歧。

這里的目標(biāo)函數(shù) $L(\vec\theta)$ 也被稱為似然隅很，L 取自似然的英文單詞Likelihood

回歸的時(shí)候，處理的是誤差率碾，因此需要使誤差最小化外构。

現(xiàn)在考慮的是聯(lián)合概率普泡，我們希望概率盡可能大，所以更新參數(shù)的目標(biāo)是使得概率盡可能大审编。

對(duì)數(shù)似然函數(shù)

上述目標(biāo)函數(shù)（似然函數(shù)）直接求微分比較困難撼班，是因?yàn)椋?strong>（取對(duì)數(shù)的原因）
????1. 聯(lián)合概率都是小于1的，其乘積會(huì)更小垒酬，若值太小砰嘁，編程時(shí)會(huì)出現(xiàn)精度問題
????2. 乘法相比于加法，計(jì)算量要大很多

因此需要在微分前勘究，對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形矮湘，即：取似然函數(shù)的對(duì)數(shù)

取對(duì)數(shù)的可行性：對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，要獲取 $L(\theta)$ 的最大值口糕，即獲取 $logL(\theta)$ 的最大值

對(duì)式（1）取自然對(duì)數(shù)缅阳，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)如下所示：

$\begin{aligned} L(\vec\theta) &=\prod_{i=1}^{m}P(y^{(i)}=1|\vec{x}^{(i)})^{y^{(i)}}\cdot P(y^{(i)}=0|\vec{x}^{(i)})^{1-y^{(i)}}\\ log\left(L(\vec\theta)\right) &=log\left(\prod_{i=1}^{m}P(y^{(i)}=1|\vec{x}^{(i)})^{y^{(i)}}\cdot P(y^{(i)}=0|\vec{x}^{(i)})^{1-y^{(i)}}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}log\left(P(y^{(i)}=1|\vec{x}^{(i)})^{y^{(i)}}\cdot P(y^{(i)}=0|\vec{x}^{(i)})^{1-y^{(i)}}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left(log(P(y^{(i)}=1|\vec{x}^{(i)})^{y^{(i)}}) + log(P(y^{(i)}=0|\vec{x}^{(i)})^{1-y^{(i)}})\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left({y^{(i)}}\cdot log(P(y^{(i)}=1|\vec{x}^{(i)})) + ({1-y^{(i)}})\cdot log(P(y^{(i)}=0|\vec{x}^{(i)}))\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left({y^{(i)}}\cdot log(P(y^{(i)}=1|\vec{x}^{(i)})) + ({1-y^{(i)}})\cdot log(1-P(y^{(i)}=1|\vec{x}^{(i)}))\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left({y^{(i)}}\cdot log(f_\theta(\vec{x}^{(i)})) + ({1-y^{(i)}})\cdot log(1-f_\theta(\vec{x}^{(i)}))\right)\\ \end{aligned}$

綜上：邏輯回歸使用如下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)：

$logL(\theta)=\sum_{i=1}^{m}\left({y^{(i)}}\cdot log(f_\theta(x^{(i)})) + ({1-y^{(i)}})\cdot log(1-f_\theta(x^{(i)}))\right)$

邏輯回歸參數(shù)學(xué)習(xí)更新的算法通常為梯度下降法 和擬牛頓法 ，這里采用梯度下降法景描，求導(dǎo)過程如下：

針對(duì)參數(shù) $\theta_j$ 十办，對(duì)上式兩邊求偏導(dǎo)如下：

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\theta_j}logL(\theta)&= \frac{\partial}{\partial\theta_j}{\sum_{i=1}^{m}\left({y^{(i)}}\cdot log(f_\theta(x^{(i)})) + ({1-y^{(i)}})\cdot log(1-f_\theta(x^{(i)}))\right)}\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}\cdot\frac{1}{f_\theta(x^{(i)})}\cdot \frac{\partial}{\partial\theta_j}f_\theta(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\cdot\frac{-1}{1-f_\theta(x^{(i)})}\cdot \frac{\partial}{\partial\theta_j}f_\theta(x^{(i)})\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left((\frac{y^{(i)}}{f_\theta(x^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-f_\theta(x^{(i)})})\cdot \frac{\partial}{\partial\theta_j}f_\theta(x^{(i)})\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left((\frac{y^{(i)}}{f_\theta(x^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-f_\theta(x^{(i)})})\cdot f_\theta(x^{(i)})\cdot(1-f_\theta(x^{(i)}))\cdot \frac{\partial}{\partial\theta_j}\theta^Tx^{(i)}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left( (y^{(i)}\cdot(1-f_\theta(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})\cdot f_\theta(x^{(i)}))\cdot\frac{\partial}{\partial\theta_j}(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\cdots+\theta_nx_n)\right)\\ &=\sum_{i=1}^{m}\left( (y^{(i)}-f_\theta(x^{(i)}))\cdot x_j^{(i)}\right) \end{aligned}$

其中：
???? $i$ ：第 $i$ 個(gè)樣本
???? $j$ ：第 $j$ 個(gè)參數(shù)

參數(shù)更新表達(dá)式如下所示：
$\theta_j:=\theta_j+\eta\cdot\sum_{i=1}^{m}\left( (y^{(i)}-f_\theta(x^{(i)}))\cdot x_j^{(i)}\right)$

因?yàn)橐顾迫缓瘮?shù)最大化，因此超棺，參數(shù) $\theta$ 應(yīng)該向似然函數(shù)增大的方向移動(dòng) 向族，即： $\theta_j$ 的移動(dòng)方向應(yīng)該與微分符號(hào)一致，因此上式中使用加號(hào)"+"

$\theta_j$ ：第j個(gè)參數(shù)棠绘，共有n個(gè)參數(shù)
$\eta$ ：學(xué)習(xí)率 件相，超參數(shù)
$m$ ：樣本的個(gè)數(shù)

線性不可分問題

通過構(gòu)造合理的 $\theta^Tx$ ，即構(gòu)造不同形狀的決策邊界曲線 $\theta^Tx=0$ 氧苍，使用邏輯回歸模型夜矗，即可處理線性不可分問題，示例如下

上圖中让虐，這兩類無法用一條直線來區(qū)分侯养，可以尋找一條曲線 $\theta^Tx=0$ 來作為決策邊界，來解決這個(gè)線性不可分問題澄干。如下圖所示

根據(jù)邏輯回歸模型中參數(shù)更新的方式逛揩，使用樣本進(jìn)行訓(xùn)練，不斷更新參數(shù) $\theta$ 麸俘，就可以得到合理的決策邊界辩稽，進(jìn)而完成線性不可分問題的分類。

邏輯回歸示例

現(xiàn)有數(shù)據(jù)集data3.csv从媚，如下所示：

data3.csv

劃分?jǐn)?shù)據(jù)集逞泄，并做圖如下

# 劃分?jǐn)?shù)據(jù)
 train = df.values
 train_x = train[:,:2]
 train_y = train[:,-1]
 
 
 # 作圖觀察數(shù)據(jù)
 df0 = df[df['y'] == 0]
 df1 = df[df['y'] == 1]
 plt.figure(dpi=150)
 plt.plot(df0['x1'], df0['x2'], 'x', label='class 0')
 plt.plot(df1['x1'], df1['x2'], 'o', label='class 1')
 plt.legend()
 plt.show()

根據(jù)圖像觀察樣本點(diǎn)分布位置，初步猜測(cè)決策邊界為二次函數(shù)，如下所示：

$\theta^Tx=\theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \theta_3x_1^2=0$

據(jù)此喷众，共4個(gè)參數(shù)各谚，則輸入數(shù)據(jù)X應(yīng)該具有4列，如下所示

# 構(gòu)造輸入矩陣X
  X = np.c_[np.ones(len(train_x)), train_x, train_x[:,0]**2]
 
 # 隨機(jī)初始化4個(gè)參數(shù)
  theta = np.random.rand(4)

根據(jù)參數(shù)更新表達(dá)式到千，迭代更新參數(shù)

# 定義模型表達(dá)式
 def f(X):
  z = np.dot(X, theta)
  return 1 / (1 + np.exp(-z))
 
 # 設(shè)定學(xué)習(xí)率為0.001
 ETA = 0.001
 
 # 設(shè)置更新次數(shù)為5000
 epoch = 5000
 
 # 開始迭代更新
 for i in range(epoch):
  theta = theta + ETA * np.dot(train_y-f(X), X)

根據(jù)決策邊界：
$\theta^Tx=\theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \theta_3x_1^2=0$
計(jì)算得到昌渤，決策邊界曲線為：
$x_2 = \frac{-(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_3x_x^2)}{\theta_2}$
作圖查看分類結(jié)果

 # 作圖查看分類結(jié)果
 df0 = df[df['y'] == 0]
 df1 = df[df['y'] == 1]
 
 x1 = np.linspace(-3, 5, 100)
 x2 = -(theta[0] + theta[1] * x1 + theta[3]*x1**2) / theta[2]
 
 plt.figure(dpi=100)
 plt.plot(df0['x1'], df0['x2'], 'x', label='class 0')
 plt.plot(df1['x1'], df1['x2'], 'o', label='class 1')
 plt.plot(x1, x2, '--')
 plt.legend()
 plt.show()

邏輯回歸解決線性不可分問題

參考內(nèi)容：《白話機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)》[日]立石賢吾
文中數(shù)據(jù)：https://zlzsm.lanzoui.com/iSMCSu5wkzc

最后編輯于：2021.09.18 22:28:10

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[機(jī)器學(xué)習(xí)]-邏輯回歸-原理及代碼實(shí)現(xiàn)(含數(shù)據(jù))

提出問題

邏輯回歸-概率分類

sigmoid函數(shù)

決策邊界

似然函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))

對(duì)數(shù)似然函數(shù)

線性不可分問題

邏輯回歸示例

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