?背景介紹
基金的收益和收益率計(jì)算至少包括兩個(gè)維度的概念：
基金本身的收益計(jì)算：即基金經(jīng)理管理的整個(gè)基金資產(chǎn)的收益計(jì)算纪铺，所計(jì)算的主體是基金資產(chǎn)捐寥。普通基金的收益需根據(jù)基金業(yè)協(xié)會(huì)制定的《中國(guó)基金估值標(biāo)準(zhǔn)》况鸣，由基金管理人及基金托管人分別計(jì)算。普通投資者看到的基金收益體現(xiàn)在基金凈值（凈值型基金）或萬份收益（貨幣基金）的變動(dòng)上酱虎；
基金投資者的收益計(jì)算：即投資者所投資的基金持倉的收益計(jì)算担猛，所計(jì)算的主體是客戶持有的基金，一般由基金銷售機(jī)構(gòu)或投資者自行計(jì)算岳遥；
在基金的分紅中已通過例子說明奕翔，投資者的收益與基金本身收益沒有必然的聯(lián)系。
基金的總投資收益可分為：
未實(shí)現(xiàn)收益浩蓉，也叫浮動(dòng)收益派继，即當(dāng)前持倉資產(chǎn)的公允價(jià)格/公允價(jià)值變化產(chǎn)生的浮動(dòng)收益，在基金估值標(biāo)準(zhǔn)中稱為“公允價(jià)值變動(dòng)損益”捻艳；
已實(shí)現(xiàn)收益驾窟，即股利收益或已經(jīng)賣出資產(chǎn)實(shí)現(xiàn)的價(jià)差收益，在基金估值標(biāo)準(zhǔn)中稱為“投資收益”认轨。如基金分紅就可以當(dāng)作投資收益（股利收益）绅络；
總投資收益公式：
投資收益=未實(shí)現(xiàn)收益+已實(shí)現(xiàn)收益
本文主要介紹基金視角和投資者視角的總投資收益和收益率的計(jì)算。
投資收益率的簡(jiǎn)單公式
不考慮基金的認(rèn)購/申購/贖回/分紅/折算等好渠，期末市值等于期初市值乘以（1+r?）：
收益率為：
其中昨稼，VE?為期末權(quán)益/市值，VS?為期初權(quán)益/市值拳锚。
舉例：
某投資者持有基金100份假栓，5.21日基金單位凈值為1.0100元，5.22日單位凈值為1.0200元霍掺。
5.21日到5.22日的收益率r=（100*1.0200-100*1.0100）/（100*1.0100）=0.99%匾荆。
上述公式?jīng)]有考慮外部現(xiàn)金流（External Flows）的影響。
何為外部現(xiàn)金流杆烁？將投資者的基金持倉（不包括現(xiàn)金）或基金的整體資產(chǎn)看作一個(gè)整體牙丽，從外部流入的現(xiàn)金或資金可以視為外部現(xiàn)金流。當(dāng)發(fā)生外部現(xiàn)金流時(shí)兔魂，需要考慮外部現(xiàn)金流的大小和流入時(shí)間烤芦，方可正確計(jì)算收益率。
簡(jiǎn)單內(nèi)部收益率（Simple Internal Rate of Return）
為考慮外部現(xiàn)金流對(duì)收益率的影響析校，上述公式變?yōu)椋?/p>
可以將該公式理解為累計(jì)的外部現(xiàn)金流C?在收益率計(jì)算區(qū)間的中點(diǎn)流入构罗，并與期初資產(chǎn)一樣按照收益率r?產(chǎn)生收益，達(dá)到期末資產(chǎn)凈值VE?智玻。
簡(jiǎn)單Dietz方法（Simple Dietz?Method）
簡(jiǎn)單內(nèi)部收益率公式為超越函數(shù)遂唧，需通過數(shù)值法迭代計(jì)算，手工計(jì)算較復(fù)雜吊奢「桥恚考慮到該公式的一個(gè)隱含含義為“復(fù)利”，因此若假設(shè)為“單利”，則上述公式可以簡(jiǎn)化為：
演算過程為：
舉例：
5.21日某投資者持有某基金100份召边，5.22日申購1020元（此處為投資者視角的收益率铺呵，不考慮申購費(fèi)）。
收益率r=(1133-101-1020)/(101+1020/2)=1.96%掌实。
投資收益
收益率公式的分子可以理解為投資收益陪蜻，分母可以理解為等效投資成本，則投資收益公式為：
當(dāng)發(fā)生申購時(shí)現(xiàn)金流流入Cp贱鼻，發(fā)生贖回時(shí)現(xiàn)金流流出Cr宴卖，分紅時(shí)現(xiàn)金流流出Ci?，總現(xiàn)金流為：
假設(shè)期初持倉為0邻悬，得到：
即為基金單位凈值症昏、申購和投資收益一文中的收益計(jì)算公式。
修正內(nèi)部收益率法（Modified Internal Rate of Return）
以上兩個(gè)公式均假設(shè)外部現(xiàn)金流在區(qū)間中點(diǎn)流入父丰，如果不滿足這個(gè)條件或者想計(jì)算更準(zhǔn)確的收益率肝谭，應(yīng)如何計(jì)算？
根據(jù)簡(jiǎn)單內(nèi)部收益率法蛾扇，可以推測(cè)：如果將每次的現(xiàn)金流均以收益率r?產(chǎn)生收益攘烛，則收益率公式變?yōu)椋?/p>
其中，
Ct?為每次的外部現(xiàn)金流镀首，TD為整個(gè)計(jì)算周期的天數(shù)坟漱，Dt?為期初到發(fā)生現(xiàn)金流的天數(shù)（包括非交易日）。
修正Dietz方法（Modified Diets Method）
同樣的更哄，該函數(shù)為超越函數(shù)芋齿，將“復(fù)利”改為“單利”，可以得到：
演算過程為：
舉例：
5.21日某基金凈資產(chǎn)為101萬成翩，5.22日外部投資者申購流入1020萬元觅捆，5.25日外部投資者申購流入1030萬元（此處為基金視角的收益率，5.23和5.24為非交易日）麻敌。
1.假設(shè)外部現(xiàn)金流在盤前流入（基金經(jīng)理可將該筆資金用作當(dāng)天投資）栅炒，則：
收益率r=(2205-101-1020-1030)/(101+1020*5/6+1030*2/6)=4.17%。
其中术羔，外部現(xiàn)金流1020的時(shí)間權(quán)重為5/6（即基金經(jīng)理只有5.22-5.26號(hào)5天可將該筆資金用作投資）职辅，外部現(xiàn)金流1030的時(shí)間權(quán)重為2/6（即基金經(jīng)理只有5.25-5.26號(hào)2天可將該筆資金用作投資）。
2.假設(shè)外部現(xiàn)金流在盤后流入（可用作第二天投資）聂示，則：
收益率r=(2205-101-1020-1030)/(101+1020*4/6+1030*1/6)=5.67%。
其中簇秒，外部現(xiàn)金流1020的時(shí)間權(quán)重為4/6（即基金經(jīng)理只有5.23-5.26號(hào)4天可將該筆資金用作投資）鱼喉，外部現(xiàn)金流1030的時(shí)間權(quán)重為1/6（即基金經(jīng)理只有5.26號(hào)1天可將該筆資金用作投資）。
外部現(xiàn)金流的判斷
在實(shí)際計(jì)算中，一筆交易是否應(yīng)當(dāng)做外部現(xiàn)金流應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況判斷扛禽。
案例1锋边，基金本身收益率計(jì)算：某基金期初資產(chǎn)為現(xiàn)金1000萬元，基金經(jīng)理使用基金資產(chǎn)中的現(xiàn)金申購其他基金200萬编曼。由于使用的現(xiàn)金屬于基金本身資產(chǎn)的一部分豆巨，計(jì)算金額加權(quán)收益率時(shí)，申購資金不當(dāng)做外部現(xiàn)金流掐场。
案例2往扔，投資者收益率計(jì)算：投資者銀行賬戶有10萬元，從該銀行賬戶支付申購款10萬元熊户，由于申購的資金不屬于客戶的基金持倉萍膛，因此計(jì)算投資者基金持倉的金額加權(quán)收益率時(shí)，應(yīng)當(dāng)做外部現(xiàn)金流處理嚷堡。
時(shí)間加權(quán)收益率（Time-Weighted Rate of Return (TWRR)）
以上公式均屬于金額加權(quán)收益率（Money-Weighted Rate of Return (MWRR)或Dollar-Weighted Rate of Return）蝗罗。
時(shí)間加權(quán)收益率計(jì)算每個(gè)發(fā)生現(xiàn)金流變動(dòng)的子區(qū)間的收益率，并將不同區(qū)間的收益率連乘得到總收益率蝌戒。
假設(shè)每個(gè)區(qū)間的現(xiàn)金流在期末流入串塑，則時(shí)間加權(quán)收益率為：
如果令：
則可以簡(jiǎn)記為：
假設(shè)現(xiàn)金流在期初流入，則公式為：
假設(shè)現(xiàn)金流在區(qū)間中點(diǎn)流入北苟，每個(gè)區(qū)間的收益率為：
對(duì)應(yīng)時(shí)間加權(quán)收益率為：
因此桩匪，現(xiàn)金流流入的時(shí)間不同，收益率公式的形式略有不同粹淋，以準(zhǔn)確反映現(xiàn)金流特點(diǎn)吸祟。
時(shí)間加權(quán)收益率要求每次發(fā)生現(xiàn)金流時(shí)都需對(duì)基金進(jìn)行估值，而金額加權(quán)收益率只需在需要時(shí)計(jì)算一次桃移，因此時(shí)間加權(quán)收益率一定程度上增加了基金的運(yùn)營(yíng)成本屋匕。這也是很多定期開放基金在非開放交易日不進(jìn)行估值，但均會(huì)在開放日估值的原因借杰。
假設(shè)NAVi?為基金在第i?天的單位凈值过吻，則其時(shí)間加權(quán)收益率為：
時(shí)間加權(quán)收益率概念也是基金的累計(jì)單位凈值和復(fù)權(quán)單位凈值一文中使用復(fù)權(quán)單位凈值增長(zhǎng)率計(jì)算基金（時(shí)間加權(quán)）收益率的理論基礎(chǔ)。國(guó)內(nèi)的每天開放申贖的開放式基金一般均會(huì)在每個(gè)交易日估值蔗衡，因此可通過每天凈值數(shù)據(jù)計(jì)算任意區(qū)間時(shí)間加權(quán)收益率纤虽。
金額加權(quán)收益率與時(shí)間加權(quán)收益率的比較
1.對(duì)投資者來講，金額加權(quán)收益率可以反映投資者投資的主動(dòng)擇時(shí)效果绞惦，時(shí)間加權(quán)收益率無法反映逼纸。
舉例：
兩個(gè)投資者投資相同基金相同金額，如果投資者甲在低點(diǎn)買入高點(diǎn)賣出济蝉，投資者乙在高點(diǎn)買入低點(diǎn)賣出杰刽，則投資者甲的金額加權(quán)收益率更高菠发。
2.投資者的金額加權(quán)收益率可與該投資者或其他投資者的其他投資收益率做直接對(duì)比，以評(píng)估投資效果贺嫂，而時(shí)間加權(quán)收益率無法直接對(duì)比滓鸠。
舉例：
某投資者2019年投資某基金的金額加權(quán)收益率為3.68%，投資某銀行理財(cái)產(chǎn)品的收益率為3.81%第喳，則可以認(rèn)為2019年整體看來糜俗，該銀行理財(cái)產(chǎn)品的收益率更高。
3.從投資經(jīng)理角度來看曲饱，由于外部投資者可能在不同時(shí)間投入不同金額（通過申購等形式）悠抹，投資經(jīng)理無法控制外部現(xiàn)金流及其對(duì)金額加權(quán)收益率的影響，因此為評(píng)價(jià)不同基金及其基金經(jīng)理的投資表現(xiàn)渔工，應(yīng)采用時(shí)間加權(quán)收益率而非金額加權(quán)收益率锌钮，以剔除外部現(xiàn)金流的影響。
4.采用金額加權(quán)收益率時(shí)引矩，所有不同時(shí)間流入流出的現(xiàn)金流收益率均為r?梁丘，無法計(jì)算區(qū)間內(nèi)不同時(shí)間段的收益率。如果基金每天均進(jìn)行估值旺韭，通過時(shí)間加權(quán)收益率可以靈活計(jì)算不同區(qū)間的收益率氛谜。
根據(jù)基金單位凈值計(jì)算的時(shí)間加權(quán)收益率與內(nèi)部計(jì)算的時(shí)間加權(quán)收益率異同
從投資者角度，假設(shè)投資者在T日申購某基金1萬元区端，T日單位凈值1元值漫。不考慮申購費(fèi)，T+1日確認(rèn)1萬份织盼。如果T+1日單位凈值為1.1元杨何，則T+1日收益為1000元，收益率為10%沥邻。
從基金的角度危虱，T日投資者申購的1萬元一般在T+2日交收給基金賬戶，基金經(jīng)理可能在T+3日才能運(yùn)用這筆資金唐全。
因此埃跷，投資者在T+1日獲得的收益并不是投資者投入的1萬元所產(chǎn)生，而是其他已有投資者的資產(chǎn)所產(chǎn)生的收益邮利。
對(duì)基金經(jīng)理而言弥雹，根據(jù)實(shí)際現(xiàn)金流到賬日期計(jì)算的時(shí)間加權(quán)收益率比根據(jù)單位凈值計(jì)算的時(shí)間加權(quán)收益率更能準(zhǔn)確反映投資經(jīng)理的投資效果。
參考資料
1.Carl Bacon.Practical Portfolio Performance Measurement and Attribution. West Sussex: Wiley, 2003. ISBN 0-470-85679-3
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